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高中数学苏教版必修5课时作业 2.3.3等比数列的前n项和(一)


2.3.3

等比数列的前 n 项和(一)

课时目标 1.掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前 n 项和公式解 决一些简单问题.

1.等比数列前 n 项和公式: (1)公式:Sn=?
? ?

. ?q=1? (2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况.

2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1-q )=A(q -1).其中 A 1-q

? ?



?q≠1?

a1

n

n

=__________. 3.推导等比数列前 n 项和的方法叫________法.一般适用于求一个等差数列与一个等 比数列对应项积的前 n 项和.

一、填空题

S5 S2 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. S10 3.记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 =________. S5 S4 4.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =________. a2 5. 设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若{Sn}是等差数列, 则 q=________. 6. 若等比数列{an}中, a1=1, an=-512, 前 n 项和为 Sn=-341, 则 n 的值是________. 7.在等比数列{an}中,公比 q 是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和
1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =________. 为________. 8.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5= ____________. 9.如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则此数列的通项公式 an=________. n-1 10.在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),且前 n 项和为 Sn=3 +k,则实数 k 的 值为________. 二、解答题 11.在等比数列{an}中,a1+an=66,a3an-2=128,Sn=126,求 n 和 q.

12.求和:Sn=x+2x +3x +?+nx (x≠0).
1

2

3

n

能力提升 2 2 13.已知等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 Sn,S2n,S3n,求证:Sn+S2n= Sn(S2n+S3n).

14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an·log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

n+2

1.在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中 首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论,即 q≠1 和 q=1 时是不同 的公式形式,不可忽略 q =1 的情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列{an·bn}的 前 n 项和时,可采用错位相减的方法求和.

2.3.3

等比数列的前 n 项和(一) 答案

知识梳理 a1?1-qn? a1-anq a1 1.(1) na1 2. 3.错位相减 1-q 1-q q-1 作业设计 1.-11 解析 由 8a2+a5=0 得 8a1q+a1q =0,∴q=-2,则 = 2.3
2
4

S5 a1?1+25? =-11. S2 a1?1-22?

解析 S6=4S3?
3

a1?1-q6? 4·a1?1-q3? 3 3 = ? q =3(q =1 不合题意,舍去). 1-q 1-q

∴a4=a1·q =1×3=3. 3.33

a1?1-q6? 1-q S6 3 解析 由题意知公比 q≠1, = =1+q =9, S3 a1?1-q3? 1-q a1?1-q10? 1-q S10 5 5 ∴q=2, = =1+q =1+2 =33. S5 a1?1-q5? 1-q
4. 15 2

解析 方法一 由等比数列的定义,S4=a1+a2+a3+a4= +a2+a2q+a2q ,

a2 q

2

S4 1 15 2 得 = +1+q+q = . a2 q 2 4 a1?1-q4? S4 1-q 15 方法二 S4= ,a2=a1q,∴ = = . 1-q a2 ?1-q?q 2 5.1
解析 方法一 ∵Sn-Sn-1=an,an 为定值,∴q=
n-1

an+1 =1. an

方法二 ∵an 是等比数列,∴an=a1q , ∵{Sn}是等差数列.∴2S2=S1+S3. 2 即 2a1q+2a1=a1+a1+a1q+a1q , 2 化简得 q -q=0,q≠0,∴q=1. 6.10 a1-anq 1+512q 解析 Sn= ,∴-341= , 1-q 1-q n-1 n-1 ∴q=-2,又∵an=a1q ,∴-512=(-2) ,∴n=10. 7.510 解析 由 a1+a4=18 和 a2+a3=12,
? ?a1+a1q =18 得方程组? 2 ?a1q+a1q =12 ?
3

? ?a1=2 ,解得? ?q=2 ?
8

a1=16 ? ? 或? 1 q= ? ? 2

.

2?2 -1? 9 ∵q 为整数,∴q=2,a1=2,S8= =2 -2=510. 2-1 31 8. 4 解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1, 2 ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a3=1,即 a3=1. 1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7,

q

q

即 6q -q-1=0. 1 1 故 q= 或 q=- (舍去), 2 3 1 ∴a1= 2=4.

2

q

3

1 4?1- 5? 2 1 31 ∴S5= =8(1- 5)= . 1 2 4 1- 2 n-1 9.2 解析 当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=2a1-1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1) n-1 * ∴an=2an-1,∴{an}是等比数列,∴an=2 ,n∈N . 1 10.- 3 解析 当 n=1 时,a1=S1=1+k, n-1 n-2 n-1 n-2 n-2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3 +k)-(3 +k)=3 -3 =2·3 . 2 1 由题意知{an}为等比数列,所以 a1=1+k= ,∴k=- . 3 3 11.解 ∵a3an-2=a1an,∴a1an=128,解方程组? 得? 或?
? ?a1=64, ?an=2, ? ? ?a1=2, ?an=64. ? ? ?a1an=128, ?a1+an=66, ?

① ②

a1-anq 1 ,可得 q= , 1- q 2 n-1 由 an=a1q 可解得 n=6. a1-anq 将②代入 Sn= ,可得 q=2, 1- q
将①代入 Sn= 1 可解得 n=6.故 n=6,q= 或 2. 2 12.解 分 x=1 和 x≠1 两种情况. n?n+1? (1)当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= . 2 2 3 n (2)当 x≠1 时,Sn=x+2x +3x +?+nx , xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn+1, x?1-xn? 2 3 n n+1 n+1 ∴(1-x)Sn=x+x +x +?+x -nx = -nx . 1-x x?1-xn? nxn+1 ∴Sn= . 2 - ?1-x? 1-x 由 an=a1q
n-1

n?n+1? ? ? 2 综上可得 S =? x?1-x ? nx ? ?1-x? -1-x ?
n n
2

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

n+1

13.证明 设此等比数列的公比为 q,首项为 a1, 当 q=1 时,则 Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S2 n+S2n=n a1+4n a1=5n a1,Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n a1, 2 2 ∴Sn+S2n=Sn(S2n+S3n). 当 q≠1 时,则 Sn= (1-q ),S2n= (1-q ),S3n= (1-q ), 1-q 1-q 1-q

a1

n

a1

2n

a1

3n

4

? a1 ?2·[(1-qn)2+(1-q2n)2]=? a1 ?2·(1-qn)2·(2+2qn+q2n). ? ?1-q? ?1-q? ? ? a 1 ? ?2·(1-qn)2·(2+2qn+q2n), 又 Sn(S2n+S3n)=? ? ?1-q?
∴Sn+S2n=?
2 2

∴Sn+S2n=Sn(S2n+S3n). n+2 14.解 (1)由题意,Sn=2 -4, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+2-2n+1=2n+1, 3 当 n=1 时,a1=S1=2 -4=4,也适合上式, n+1 * ∴数列{an}的通项公式为 an=2 ,n∈N . n+1 (2)∵bn=anlog2an=(n+1)·2 , 2 3 4 n n+1 ∴Tn=2·2 +3·2 +4·2 +?+n·2 +(n+1)·2 ,① 3 4 5 n+1 n+2 2Tn=2·2 +3·2 +4·2 +?+n·2 +(n+1)·2 .② ②-①得, Tn=-23-23-24-25-?-2n+1+(n+1)·2n+2 3 n-1 2 ?1-2 ? 3 n+2 =-2 - +(n+1)·2 1-2 3 3 n-1 n+2 =-2 -2 (2 -1)+(n+1)·2 n+2 3 n-1 =(n+1)·2 -2 ·2 n+2 n+2 n+2 =(n+1)·2 -2 =n·2 .

2

2

5


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