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对数的运算 教案


对数的运算 教案
105012007081 胡小艳 一. 教学目标 1. 知识与技能 理解并掌握对数性质及运算法则,能推导对数的运算性质,能初步准确地运用 对数运算性质进行运算、求值、化简,并掌握化简求值的技能。 2. 过程与方法 和学生一起探究和推导对数的运算法则. 3.情感态度价值观 (1)通过对对数运算法则的探究,培养学生具有从特殊到一般的概括思想,渗 透化归思想

及逻辑思维能力. (2)激发学生学习的积极性,养成大胆探索,实事求是的科学精神. 二.教学重点 掌握对数运算的性质,能对对数进行化简、运算、求值 三.教学难点 难点是对对数运算法则的探究,推导证明 四.引入新课 我们学习了对数的概念之后知道,对数与指数从运算上讲它们互为逆运算的关 系. 既然是一种运算,自然就应有相应的运算法则,所以我们今天重点研究对数 的运算法则. 五.对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的, 自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来 探求对数的运算法则,所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则:
r a r a s ? a? s

(ar )s ? ars

(ab) r ? a r br

(1)然后直接提出课题: 若 是否成立?

由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举 ),在肯定结论的正确性的同时再提出



可提示学生利用刚才的反例,把 ,而 32=2

5 改写成

应为

,除此还可以让学生再找几个例子,

. 之后让学生大胆说出发现有什么规 律? 则会有学生猜想回答应有 成立.

现在它只是一个猜想,要保证其对任意 么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢?

都成立,需要给出相应的证明,怎

学生经过思考后找出可以利用对数概念,性质及与指数的关系,再找学生提 出证明的基本思路,即对数问题先化成指数问题,再利用指数运算法则求解.找 学生试说证明过程,在此过程中可适当提示,然后板书. 证明:设 则 ,由指数运算法则







. (板书法则 1)

法则出来以后,要求学生能 从以下几方面去认识: (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出.注意是每个真数都大于零,每个 对数式都有意义为使用前提条件).

(2)能用文字语言叙述这条法则:两个正数的积的对数等于这两个正数 的对数的和,简言之即:积的对数=对数的和

例 1:计算

(1)

(2)

(3)

解:(1)=11

(2)=0

(3)=1

(2)由学生回案后,提醒学生应该注意运算法则的双向应用 .然后提出新 问题:

可由学生说出 证明. 证明:设 则

.得到大家认可后,再让学生完成

,由指数运算法则得

在肯定其证明过程的同时, 提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论?

有的学生可能会提出把

看成

再用法则,但无法解决

计算

问题,再引导学生如何回避

的问题.经思考可以得到如下证法



这种证明方法体现了化归的思想. 最后板书法则 2,并让学生用文字语言叙述法 则 2. 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差,即商的对数=对数的差) (

请学生完成下面的计算 例 2: (1) (2)

解:(1)
lg 10 100 ? lg10 ? lg100 ? 1 ? 2 ? ?1

(2)

lg 20 ? lg 2 20 2 ? lg10 ? lg ?1

(3)计算后再提出刚才没有解决的问题即

并将其一般化改为

学生在说出结论的同时就可给出证明如下:









从而由此运算法则可得出对数的一个恒等公式:

loga ab ? b

在此基础上问学生 :那这个式子 :

aloga N ? ?

类似于运算法则的证明方法,设

ab ? N b ? log a N ? a loga N ? ab ? N

例题 3:利用关系式

ab ? N

则有

b ? log a N

证明下式:

log a N ?
证明:设

log m N log m a
则有

log a N ? b

N ? ab

logm N logm a b b logm a ? ? ? ?b logm a logm a logm a

即证得loga N ?

logm N logm a

这就是对数里面一个很重要的公式: 换底公式. 例4 用

loga x,loga y,loga z

表示下列各式:

(1)

(2)

log a
解: 1) (

xy z

log a

x2 y
3

z

log a

xy z ? log a ( xy ) ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z

(2)

log a

x2 y
3

z y ? log a 3 z

? log a ( x 2 y ) ? log a 3 z ? log a x 2 ? log a 1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

由学生上黑板写出求解过程. (有时间的话就讲一下这题) 例题: 利用换底公式证明下式
log a n b m ? m log a b(a ? 0, a ? 1, b ? 0, n, m ? R, n ? 0) n

证明:

loga n b m ?

六.总结 1.运算法则的内容 2.运算法则的推导与证明 3.运算法则的使用 七.作业

logc b m m logc b m ? ? loga b logc a n n logc a n


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