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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.3.1函数的单调性与导数》导学案


§ 1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
王新敞
奎屯 新疆

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有

= 的 函数. 复习 2: C ' ?
(loga x)' ?

,那么函数 f(x)就是区间 I 上

; ( xn )' ? ; (e )' ?
x x

(sin x) ' ? ;

(cos x) ' ? ;

(ln x) ' ? ;



; (a )' ?



二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系:
问题:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的导数.从函数

y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图像来观察其关系:
y=f(x)=x2-4x+3 切线的斜率 f′(x) (2,+∞) (-∞,2) 区间(2, ? ? )内为 函数; 在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为 而 在区间 (2,? ? ) 内, 切线的斜率为 , 函 数 y ? f ( x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 , 即 y ? ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 在

/ ,即 y ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间( ? ? ,2)内为

,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大 函数.

y
f?x? = ?x2-4?x?+3

新知: 一般地, 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函 数 y ? f ( x) 在这个区间内的减函数.

B O
1 2 3

A

x

试试: 判断下列函数的的单调性, 并求出单调区间: (1)f ( x) ? x3 ? 3x ; (2)f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1.

反思:用导数求函数单调区间的三个步骤: ①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递减区间.

探究任务二:如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 f ( x) 有什么特性?

典型例题 例 1 已知导函数的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .试画出函数 f ( x) 图象的大致形状.

变式:函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,试画出导函数 f ?( x) 图象的大致形状.

例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器 中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

动手试试 练 1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4 ; (2) f ( x) ? e x ? x ; (3) f ( x) ? 3x ? x3 ; (4) f ( x) ? x3 ? x2 ? x .

练 2. 求证:函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数.

三、总结提升 学习小结 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的定义域; ②求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ③令 f ?( x) ? 0 ,求出全部驻点; ④驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内 f ?( x) 的符号,由此确定 f ( x) 的单 调区间 注意:列表时,要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑. 知识拓展 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快,这时,函数的图象就比较“陡峭” (向上或向下) ;反之,函数的图象就“平缓”一些. 如 图,函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a, 0) 内的图象“陡峭” ,在 (b, ??) 或 (??, a) 内的图象“平缓”.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则一定有(
A. b ? 4ac ? 0
2



B. b ? 3ac ? 0
2

C. b2 ? 4ac ? 0 D. b 2 ? 3ac ? 0 2.函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) ? 3? A. ( , ) B. (? , 2? ) 2 2 3? 5? C. ( , ) D. (2? ,3? ) 2 2 3. 若在区间 (a, b) 内有 f ?( x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在 (a, b) 内有( A. f ( x ) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x ) ? 0 D.不能确定 4.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是 5.已知 f ( x) ? x ? 2xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于
2



,减区间是

课后作业
1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ; (2) f ( x) ? 3x ? x3 ; (3) f ( x) ? x ? cos x, x ? (0, ) . 2

?


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