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江苏省盐城市时杨中学2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷


江苏省盐城市时杨中学 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数 学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.sin(﹣ π)的值等于.

2.若角 α 在第一象限,且|cos

|=﹣cos

,则

在第象限.

3.sin2cos3tan4 的值的符号为. 4.在函数 y=sin|x|、y=|sinx|、 π 的函数有个. 5.已知点 P(cosθ,sinθ)在第三象限,则角 θ 的终边落在第象限. 6.设 cos80°=k,则 tan100°=. 7.函数 f(x)=ax+bsinx+1,若 f(5)=7,则 f(﹣5)=. 8.函数 的值域是. 、 中,最小正周期为

9.已知

,那么 tanα 的值为.

10.如果 sinα+cosα= ,那么 sinα﹣cosα 的值为.

11.若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30°)的值为. 12.若集合 ,B={x|﹣2≤x≤2},则 A∩B=.

13.函数 y=2sin(2x+

) (x∈[﹣π,0])的单调递减区间是.

14.已知 sinθ=

,cosθ=

,若 θ 是第二象限角,则实数 a 的值是.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.已知角 α 的终边经过 P(4a,﹣3a) , (a≠0) ,求 2sinα+cosα 的值. 16.已知扇形的周长为 30,当它的半径 R 和圆心角 α 各取何值时,扇形的面积 S 最大?并 求出扇形面积的最大值. 17.已知 tanα=2,求下列各式的值: (1) .

(2)
2


2

(3)4sin α﹣3sinα?cosα﹣5cos α. 18.已知 (1)函数的最小正周期; (2)函数的单调增区间; (3)若 ,求函数的值域. 求:

19. (16 分) 已知关于 x 的方程 2x ﹣ ( 求 (1)m 的值 (2)方程的两根及此时 α 的值.
2

2

+1) x+m=0 的两根为 sinα 和 cosα, 且 α∈ (0, 2π) ,

20. (16 分)设关于 x 的函数 y=2cos x﹣2acosx﹣(2a+1)的最小值为 f(a) . 求: (1)写出 f(a)的表达式; (2)试确定能使 f(a)= 的 a 的值,并求此时函数 y 的最大值.

江苏省盐城市时杨中学 2014-2015 学年高一上学期 12 月 月考数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.sin(﹣ π)的值等于 .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 集合. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣sin 故答案为: 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. =﹣sin(4π﹣ )=sin = ,

2.若角 α 在第一象限,且|cos

|=﹣cos

,则

在第三象限.

考点: 三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 写出第一象限角的集合,除以 2 得到 |cos |=﹣cos ,可知 为第三象限角. 的范围,可知 为第一、三象限角,结合

解答: 解:∵角 α 在第一象限, ∴ 又|cos ∴cos 则 |=﹣cos ≤0, , ,则 .

为第三象限角.

故答案为:三. 点评: 本题考查三角函数值的符号, 关键是正确写出第一象限角的集合, 是基础的会考题 型. 3.sin2cos3tan4 的值的符号为负. 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 分别判断出 2,3,4 所在的象限,得到对应三角函数值的符号,则 sin2cos3tan4 的 值的符号可求. 解答: 解:∵ ∵ ∵ ,∴sin2>0.

,∴cos3<0. ,∴tan4>0.

则 sin2cos3tan4 为负值. 故答案为:负. 点评: 本题考查了三角函数的象限符号,是基础的会考题型.

4.在函数 y=sin|x|、y=|sinx|、 π 的函数有 3 个. 考点: 专题: 分析: 解答:



中,最小正周期为

三角函数的周期性及其求法. 计算题;三角函数的图像与性质. 分别判断四个函数是否是周期函数,求出函数的周期,然后判断即可. 解:由 y=sin|x|的图象知,它是非周期函数.y=|sinx|是周期函数,周期为:π; ) 、是周期函数,周期是 π; ) ,是周期函数周期是 π;

y=sin(2x+ y=cos(2x+

最小正周期为 π 的函数的个数为:3 故答案为:3. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性, 周期的判断, 周期的求法, 牢记三角函数的图象, 解题时会方便快捷,属于基本知识的考查. 5.已知点 P(cosθ,sinθ)在第三象限,则角 θ 的终边落在第三象限. 考点: 三角函数值的符号. 专题: 计算题. 分析: 由已知可得 cosθ<0,θ 可能在第三象限或者第二象限,sinθ<0,θ 可能在第三象 限或者第四象限,从而确定角 θ 的终边. 解答: 解:∵点 P(cosθ,sinθ)在第三象限, ∴cosθ<0,θ 可能在第三象限或者第二象限或 x 轴的负半轴, sinθ<0,θ 可能在第三象限或者第四象限或 y 轴的负半轴, 所以 θ 在第三象限. 故答案为:三. 点评: 本题主要考察了三角函数值的符号的确定,属于基本知识的考查.

6.设 cos80°=k,则 tan100°=﹣



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系,诱导公式求得 tan100°的值. 解答: 解: ∵cos80°=k, ∴sin80°= , 则 tan100°=﹣tan80°=﹣ =﹣ ,

故答案为:﹣



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式的应用,属于基础题. 7.函数 f(x)=ax+bsinx+1,若 f(5)=7,则 f(﹣5)=﹣5. 考点: 奇函数;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由已知中函数 f(x)=ax+bsinx+1,我们可以构造函数 g(x)=f(x)﹣1=ax+bsinx, 根据函数奇偶性的性质我们易得 g(x)为一个奇函数,由奇函数的性质及 f(5)=7,我们 易得到结果. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣1=ax+bsinx 则 g(x)为一个奇函数 又∵f(5)=7, ∴g(5)=6, ∴g(﹣5)=﹣6, ∴f(﹣5)=﹣5 故答案为:﹣5 点评: 本题考查的知识点为奇函数及函数的值, 其中构造函数 g (x) =f (x) ﹣1=ax+bsinx, 然后将问题转化为利用奇函数的定义求值,是解答本题的关键.

8.函数

的值域是{﹣1,3}.

考点: 三角函数值的符号;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 本题需要对于角所在的象限讨论,确定符号,对于四个象限,因为三角函数值的符 号不同,需要按照四种不同的情况进行讨论,得到结果. 解答: 解:由题意知本题需要对于角所在的象限讨论,确定符号, 当角 x 在第一象限时,y=1+1+1=3, 当角在第二象限时,y=1﹣1﹣1=﹣1, 当角在第三象限时,y=﹣1﹣1+1=﹣1, 当角在第四象限时,y=﹣1+1﹣1=﹣1. 故答案为:{﹣1,3} 点评: 本题考查三角函数值的符号,考查函数的值域,本题是一个比较简单的综合题目, 这种题目若出现是一个送分题目.

9.已知

,那么 tanα 的值为﹣



考点: 同角三角函数基本关系的运用;弦切互化. 专题: 计算题.

分析: 将已知等式中的左边分子、分母同时除以余弦,转化为关于正切的方程,解方程求 出 tanα. 解答: 解:∵ 解方程可求得 tanα=﹣ 故答案为﹣ . , = =﹣5,

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系的应用,运用了解方程的方法.

10.如果 sinα+cosα= ,那么 sinα﹣cosα 的值为±



考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 对 sinα+cosα= ,两端平方可求得 2sinαcosα=﹣
2

,于是可求得(sinα﹣cosα)

=1+

=

,再开方即可.

解答: 解:∵sinα+cosα= , ∴(sinα+cosα) = ∴1+2sinαcosα= , ;
2



解得:2sinαcosα=﹣ 令 t=sinα﹣cosα,

则 t =(sinα﹣cosα) =1+ ∴t=± ,即 sinα﹣cosα=± .

2

2

=

, .

故答案为:±

点评: 本题考查三角函数间的化简求值,考察二倍角的正弦的应用,属于中档题. 11.若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30°)的值为﹣1. 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目已知函数 f(cosx)=cos3x,求 f(sin30°)的值.可根据特殊角的三 角函数关系 sin30°=cos60°,代入函数 f(sin30°)替换化简即可得到答案. 解答: 解:因为已知 f(cosx)=cos3x,和特殊角的三角函数得:sin30°=cos60° 所以 f(sin30°)=f(cos60°)=cos(3×60°)=cos180°=﹣1.

故答案为﹣1. 点评: 此题主要考查任意角三角函数的相互化简问题,对于特殊角的三角函数需要记 忆.题目主要考查概念性问题,属于基础题目. , B={x|﹣2≤x≤2}, 则 A∩B=[﹣2, 0]∪[

12. 若集合 2].



考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 将两集合的解集表示在数轴上,找出公共部分,即可得到两集合的交集.

解答: 解:∵A={x|kπ+ ≤x≤kπ+π,k∈Z},B={x|﹣2≤x≤2}, ,2]. ,2]

∴A∩B=[﹣2,0]∪[

故答案为:[﹣2,0]∪[

点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. ) (x∈[﹣π,0])的单调递减区间是[﹣ ].

13.函数 y=2sin(2x+

,﹣

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 找出正弦函数的一个递减区间,令 2x+ 属于这个区间列出关于 x 的不等式,再

由 x 的范围求出不等式的解集,即为函数的单调递减区间. 解答: 解:∵正弦函数的单调递减区间为[﹣ ∴﹣ 解得﹣ ≤2x+ ≤﹣ , ,﹣ ]. ,又 x∈[﹣π,0], ,﹣ ],

≤x≤﹣

则函数的单调递减区间是[﹣ 故答案为:[﹣ ,﹣ ].

点评: 此题考查了正弦函数的单调性,熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键, 同时在确定区间时注意 x 的范围.

14.已知 sinθ=

,cosθ=

,若 θ 是第二象限角,则实数 a 的值是 .

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: θ 是第二象限角,则 sinθ∈(0,1) ,cosθ∈(﹣1,0) ,并且满足 sin θ+cos θ=1 求 出 a 的值.

解答: 解:依题意得

解得 a= 或 a=1(舍去) . 故实数 a= . 故答案为: . 点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系,象限角的问题,值得注意,属于基本知识的 考查. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.已知角 α 的终边经过 P(4a,﹣3a) , (a≠0) ,求 2sinα+cosα 的值. 考点: 专题: 分析: 解答: 任意角的三角函数的定义. 计算题. 先求点 P 到原点的距离,再利用定义,应注意分类讨论,否则会漏解. 解:由题意,r=5|a|,

若 a>0,r=5a,则 sinα=﹣ ,cosα= ,2sinα+cosα=﹣ ; 若 a<0,r=﹣5a,则 sinα= ,cosα=﹣ ,2sinα+cosα= ; 所以 2sinα+cosα=± 点评: 本题的考点是任意角的三角函数的定义,主要考查任意角的三角函数的定义的运 用,关键是计算 r=5|a|, 再用定义,特别注意的是要分类讨论. 16.已知扇形的周长为 30,当它的半径 R 和圆心角 α 各取何值时,扇形的面积 S 最大?并 求出扇形面积的最大值. 考点: 扇形面积公式;弧长公式. 专题: 三角函数的求值.

分析: 首先,首先,设扇形的弧长,然后,建立关系式,求解 S= lR=﹣R +15R,结合二 次函数的图象与性质求解最值即可. 解答: 解:设扇形的弧长为 l, ∵l+2R=30, ∴S= lR= (30﹣2R)R =﹣R +15R =﹣(R﹣ ∴当 R= )+
2 2

2

, ,

时,扇形有最大面积

此时 l=30﹣2R=15,α= =2, 答:当扇形半径为 ,圆心角为 2 时,扇形有最大面积 .

点评: 本题重点考查了扇形的面积公式、 弧长公式、 二次函数的最值等知识, 属于基础题. 17.已知 tanα=2,求下列各式的值: (1) .

(2)
2


2

(3)4sin α﹣3sinα?cosα﹣5cos α. 考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)将所求的关系式中的“弦”化“切”,将 tanα=2 代入计算即可; (2)将所求的关系式中的“弦”化“切”,再将 tanα=2 代入计算; (3)将所求关系式化简为原式= 解答: 解: (1)∵tanα=2, ∴ = =﹣1; ,再将 tanα=2 代入计算.

(2)

=

=

= ;

(3)4sin α﹣3sinαcosα﹣ 5cos α=
2

2

=

=

=1. 点评: 本题考查三角函数的化简求值,将所求的关系式中的“弦”化“切”是关键,属于基础 题.

18.已知 (1)函数的最小正周期; (2)函数的单调增区间; (3)若

求:

,求函数的值域.

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 f(x)=﹣sin(2x﹣ ) ,利用正弦函数的周期性、单调性、定义域和

值域,可得函数 f(x)的最小正周期、单调增区间、值域. 解答: 解: (1)由于 为 =π. )的减区间,∴令 2kπ+ ,kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z, =﹣sin(2x﹣ ) ,∴它的最小正周期

(2)本题即求函数 y=sin(2x﹣ 求得 kπ+ (3)若 sin(2x﹣ ≤x≤kπ+

,故 f(x)的增区间为[kπ+ ,则 2x﹣ ∈[﹣ ,

],k∈z. )∈[﹣1, ],f(x)=﹣

],sin(2x﹣

)∈[﹣ ,1].

点评: 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域,属于基础题. 19. (16 分) 已知关于 x 的方程 2x ﹣ ( 求 (1)m 的值 (2)方程的两根及此时 α 的值. 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.
2

+1) x+m=0 的两根为 sinα 和 cosα, 且 α∈ (0, 2π) ,

分析: (1)由已知方程利用韦达定理得到①与②,将①两边平方,利用同角三角函数 间基本关系化简,结合②求出 m 的值即可; (2)把 m 的值代入方程求出两根,确定出 sinα 与 cosα 的值,即可确定出 α 的度数. 2 解答: 解: (1)∵关于 x 的方程 2x ﹣( +1)x+m=0 的两根为 sinα 和 cosα,且 α∈(0, 2π) , ∴sinα+cosα= ①,sinαcosα= ②, =1+ ,即 sinαcosα= ,

将①两边平方得:1+2sinαcosα= 结合②得: = (2)把 m=
2

,即 m=


2

代入方程得:2x ﹣( +1)x+ =0,

+1)x+

=0,

整理得:4x ﹣2( 解得:x1= 可得 sinα= 则 α= 或

,x2= , ,cosα= 或 sinα= ,cosα= . ,

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 20. (16 分)设关于 x 的函数 y=2cos x﹣2acosx﹣(2a+1)的最小值为 f(a) . 求: (1)写出 f(a)的表达式; (2)试确定能使 f(a)= 的 a 的值,并求此时函数 y 的最大值.
2

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 2 分析: (1)由已知中函数 y=2cos x﹣2acosx﹣(2a+1)的解析式,利用余弦函数的值域 为[﹣1,1],可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题,我们分 ≤﹣1,﹣1< <1, >1,三种情况,分别求出函数 y=2cos x﹣2acosx﹣(2a+1)的最小值,即可得到 f(a) 的表达式(分段函数的形式) ; (2)根据(1)中函数 f(a)的表达式,我们根据分段函数分段处理的原则,分别构造 f(a) = 的方程,在三种情况下,分别解方程求出满足条件的根,即可得到满足条件的 x 值,进 而得到函数 y 的最大值. 解答: 解: (1)y=2(cosx﹣ ∵﹣1≤cosx≤1, ﹣ .
2



(2)当 a≤﹣2 时,f(a)=1,从而 f(a)= 无解; 当﹣2<a<2 时,由 得 a +4a﹣3=0,解之得 a=﹣1 或 a=﹣3(舍去) ;
2

当 a≥2 时,由 1﹣4a= 得 a= (舍去) . 综上所述 a=﹣1,此时有 y=2(cosx+ ,

当 cosx=1 时,即 x=2kπ(k∈Z)时,y 有最大值为 5. 点评: 本题考查的知识点是三角函数的最值,二次函数在定区间的最值问题,分段函数, 函数的值,是函数问题比较综合的考查,有一定的难度,其中(1)的关键是根据余弦函数 的值域为[﹣1,1],将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题,而(2)的关键是根据 分段函数分段处理的原则,分类讨论解方程 f(a)= .



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