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立体几何练习题(含答案)


立几测 001 试
一、选择题: 1.a、b 是两条异面直线,下列结论正确的是 A.过不在 a、b 上的任一点,可作一个平面与 a、b 都平行 B.过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都相交 C.过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都平行 D.过 a 可以且只可以作一个平面与 b 平行 2.空间不共线的四点,可以确定平面的个数为 A. 0

B. 1 C. 1 或 4 D.无法确定 ( ) ( )

3.在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别为棱 AA1 、 BB1 的中点,则异面直线 CM 和 D1 N 所成角 1 的正弦值为 A. ( B. )

1 9

2 3

C.

4 5 9

D.

2 5 9

4.已知平面 ? ? 平面 ? , m 是 ? 内的一直线, n 是 ? 内的一直线,且 m ? n ,则:① m ? ③m ? (

? ;② n ? ? ;

? 或 n ? ? ;④ m ? ? 且 n ? ? 。这四个结论中,不正确的三个是 ...
B.①②④ B. 5 C.①③④ C. 6 D.②③④ ) D. 8

) A.①②③

5.一个简单多面体的各个面都是三角形,它有 6 个顶点,则这个简单多面体的面数是( A. 4 ( A. ) D.

6. 在北纬 45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为 90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球半径为 R)

? 2 ? B. C. R ?R R 2 4 3 7. 直线 l⊥平面α,直线 m ? 平面β,有下列四个命题 (1) ? // ? ? l ? m (2) ? ? ? ? l // m (3) l // m ? ? ? ?
( ) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4) A. (1)与(2)
?
6

R 3

(4) l ? m ? ? // ? 其中正确的命题是

8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形,侧面与底面所成角为α,则下列不等式成立的是( A. 0 ? ? ? B.

)

?
6

?? ?

?
4

C.

?
4

?? ?

?
3

D.

?
3

?? ?

?
2

9. ?ABC 中, AB ? 9 , AC ? 15 , ?BAC ? 120? , ?ABC 所在平面 ? 外一点 P 到点 A 、 B 、 C 的距离 都是 14 ,则 P 到平面 ? 的距离为( A. 7 B. 9 ) D. 13 C. 11

10.在一个 45? 的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角 45? ,则此直线与二面角的另一个平面所 成角的大小为 A. 30? ( B. 45? ) C. 60? D. 90?

11. 如图,E, F 分别是正方形 SD1DD2 的边 D1D,DD2 的中点, 沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使 D1,D,D2 重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD⊥面 DEF; ②SE⊥面 DEF;

1

③DF⊥SE; ④EF⊥面 SED,其中成立的有: ( A. ①与② A. 24 ? cm
2

) D. ③与④ )
2 2

B. ①与③ B. 48 ? cm
2

C. ②与③ C. 144 ? cm

12. 某地球仪的北纬 60 度圈的周长为 6 ? cm,则地球仪的表面积为( 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 直二面角α—MN—β中, 等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC ? α, AC ? β,BC 与β所成角的正弦值是 __________。

D. 288 ? cm

一直角边 小为

6 ,则 AB 与β所成角大 4

2

14. 如图在底面边长为 2 的正三棱锥 V—ABC 中,E 是 是

P

BC 中点,若△VAE 的面积

1 ,则侧棱 VA 与底面所成角的大小为 4
A D

15. 如图, 已知矩形 ABCD 中, AB ? 1 ,BC ? a , 若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ ? QD ,则 a

PA ? 面 ABCD 。
的值等于______.

B

Q C

16. 六棱锥 P—ABCDEF 中,底面 ABCDEF 是正六边形,PA⊥底面 ABCDEF,给出下列四个命题 ①线段 PC 的长是点 P 到线段 CD 的距离; ②异面直线 PB 与 EF 所成角是∠PBC; ③线段 AD 的长是直线 CD 与平面 PAF 的距离; ④∠PEA 是二面角 P—DE—A 平面角。 其中所有真命题的序号是_______________。 三.解答题:(共 74 分,写出必要的解答过程) 17.(本小题满分 10 分) 如图,已知直棱柱 ABC ? A B1C1 中, 1

C
B M A

?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? , BC ? 1 ,

AA1 ? 6 , M 是
C1 B1 A1

CC1 的中点。
求证: AB1

? A1M

18.(本小题满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 (1)求证: PB ? 面 PAD ; (2)求点 A 到平面 PBD 的距离; (3)求直线 AB 与平面 PBD 的成角的大小

3 , BC ? 3 ,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使点 C 移到 P 点,且 P

在平面 ABD 上的射影 O 恰好在 AB 上。

P (C )

B

A B

C

D

O
D

A

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 PA ? 面 ABC , AD ? BC ,垂足 D 在 BC 的延长线上,且 BC ? CD ? DA ? 1 (1) 记 PD ? x , ?BPC ? ? ,试把 tan ? 表示成 x 的函数,并求其最大值. P

3

(2) 在直线 PA 上是否存在点 Q ,使得 ?BQC ? ?BAC

20. (本小题满分 12 分) 正三棱锥 V-ABC 的底面边长是 a, 侧面与底面成 60°的二面角。 求(1)棱锥的侧棱长; (2)侧棱与底面所成的角的正切值。

21. (本小题满分 14 分) 已知正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的底面边长为 8,面的对角线 B1C=10,D 为 AC 的中点, (1) (2) (3) 求证:AB 1 //平面 C1BD; 求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值; 求直线 AB1 到平面 C1BD 的距离。

22. (本小题满分 14 分) 已知 A1B1C1-ABC 为直三棱柱,D 为 AC 中点,O 为 BC 中点,E 在 CC1 上, ∠ACB=90°,AC=BC=CE=2,AA1=6.

4

(1)证明平面 BDE∥AO; (2)求二面角 A-EB-D 的大小; (3)求三棱锥 O-AA1D 体积.

5

立测试 001 答案
一.选择题:(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二.填空题:(每题 4 分,共 16 分) 13. 15. 2 60? 14. 16.

arctan
①④

1 4

三.解答题:(共 74 分,写出必要的解答过程) 17.(10 分)解:【法一】 ?ACB ? 90? 所以 B1C1

? B1C1 ? AC1 ,又三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 1

? 面 AC ,连结 AC ,则 AC1 是 AB1 在面 AC 上的射影 1 1 1

在四边形 AAC1C 中, 1

? AA1 A1C1 ? ? 2 ,且 ?AA1C1 ? ?A1C1M ? , 2 A1C1 C1M
? AB1 ? A1M

??AAC1 ? ?AC1M , ? AC1 ? A1M 1 1

【法二】以 C1B1 为 x 轴, C1 A 为 y 轴, C1C 为 z 轴建立空间直角坐标系 1 由 BC ? 1 , AA 1

? 6 , ?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? ,
6 ) , B1 (1,0,0) 2

易得 A (0, 1

3,0) , A(0, 3, 6) , M (0, 0,

????? ???? 6 ? AB1 ? (1, ? 3, ? 6) , A1M ? (0, ? 3, ) 2 ???? ????? 6 ? AB1 ?A1M ? 0 ? 3 ? (? 6) ? ?0 2
故斜线 BP 在平面 ABD 上的射影为 AB 。 又? DA ? AB ,? DA ? BP ,又 BC ? CD ,? BP ? PD

???? ????? ? AB1 ? A1M

所以 AB1

? A1M

18.解:(1)? P 在平面 ABD 上的射影 O 在 AB 上,? PO ? 面 ABD 。

? AD ? PD ? D ? BP ? 面 PAD (2)过 A 作 AE ? PD ,交 PD 于 E 。 ? BP ? 面 PAD ,? BP ? AE ,? AE ? 面 BPD 故 AE 的长就是点 A 到平面 BPD 的距离 ? AD ? AB , DA ? BC ? AD ? 面 ABP ? AD ? AP
在 Rt ?ABP 中, AP ?

AB2 ? BP2 ? 3 2 ;
3
6

在 Rt ?BPD 中, PD ? CD ? 3

在 Rt ?PAD 中,由面积关系,得 AE

?

AP?AD 3 2 ? 3 ? ? 6 PD 3 3

(3)连结 BE ,? AE ? 面 BPD ,? BE 是 AB 在平面 BPD 的射影

? ?ABE 为直线 AB 与平面 BPD 所成的角
在 Rt ?AEB 中, sin ?ABE

?

AE 2 , ? AB 3

??ABE ? arcsin
?

2 3

19.(1)? PA ? 面 ABC , BD ? AD,? BC ? PD ,即 ?PDB ? 90 .

2 1 , tan ?CPD ? , x x 2 1 ? x ( x ?1) ? tan ? ? tan ?BPC ? tan(?BPD ? ?CPD) ? x x ? 2 2 1 x ?2 1? ? x x
在 Rt ?PDB 和 Rt ?PDC 中, tan ?BPD ?

1 x? 2 x

?

1 2 2

?

2 2 ,当且仅当 x ? 2 时, tan ? 取到最大值 . 4 4

(2)在 Rt ?ADB 和 Rt ?DC 中, tan ?BAD =2, tan ?CAD ? 1

? tan ?BAC ? tan(?BAD ? ?CAD) ?

2 ?1 1 2 ? ? 1 ? 2 ?1 3 4

故在 PA 存在点 Q (如 AQ ? 1 )满足

1 2 ,使 ?BQC ? ?BAC ? tan ?BQC ? 3 4

20. (12 分)解:(1)过 V 点作 V0⊥面 ABC 于点 0,VE⊥AB 于点 E ∵三棱锥 V—ABC 是正三棱锥 则 OA= ∴O 为△ABC 的中心

2 3 3 1 3 3 ? a? a ,OE= ? a? a 3 2 3 3 2 6
∴∠VEO=60°

又∵侧面与底面成 60°角

则在 Rt△VEO 中;V0=OE·tan60° =

3 a a? 3 ? 6 2

在 Rt△VAO 中,VA=

VO 2 ? AO2 ?

a a 7a 2 21a ? ? ? 4 3 12 6

2

2

即侧棱长为

21 a 6

7

a VO 3 (2)由(1)知∠VAO 即为侧棱与底面所成角,则 tan∠VAO= ? 2 ? AO 2 3 a 3
21 (12 分)解:(1)连结 BC1 交 B1C 于点 E,则 E 为 B1C 的中点,并连结 DE ∵D 为 AC 中点 ∴DE∥AB1 而 DE ? 面 BC1D, AB1 ? 面 BC1D ∴AB1∥面 C1BD (2)由(1)知 AB1∥DE,则∠DEB 或其补角为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角 由条件知 B1C=10, BC=8 ∵E 三棱柱中 AB1=BC1 又∵BD= 则 BB1=6 ∴DE=5

3 ?8 ? 4 3 2
cos?BED ? BE 2 ? DE 2 ? BD 2 25 ? 25 ? 48 1 ? ? 2 BD ? DE 2?5?5 25
1 25

∴在△BED 中

故异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为

(3)由(1)知 A 到平面 BC1D 的距离即为直线 AB1 到平面 BC1D 的距离 设 A 到平面 BC1D 的距离为 h,则由 VA?BC1D

? VC1 ? ABD 得

S ? CC1 1 1 ? S ?BC1D ? h ? ? S ?ABD ? C1C 即 h= ?ABD 3 3 S ?BC1D
由正三棱柱性质得 BD⊥C1D 则 S ?BC1D ?

1 BD : C1 D 2

1 BD ? AD ? CC1 AD ? CC1 4?6 24 12 13 2 ∴h ? ? ? ? ? 2 2 1 C1 D 13 52 6 ?4 BD ? C1 D 2
即直线 AB1 到平面的距离为 22. (14 分) 证明: ①设 F 为 BE 与 B1C 的交点,G 为 GE 中点 ∵AO∥DF ∴AO∥平面 BDE ②α=arctan

12 13 13

2 -arctan

2 或 arcsin1/3 2

③用体积法 V=

1 1 × ×6×h=1 3 2

8

9

立几测试 002
一、选择题(12×5 分) 1.已知直线 a、b 和平面 M,则 a//b 的一个必要不充分条件是( A.a//M, b//M C.a//M, b ? M B.a⊥M,b⊥M D.a、b 与平面 M 成等角 ) )

2.正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为( A.

3 3 3 3 B. C. D. 2 6 4 3 3.a, b 是异面直线,A、B∈a, C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所成的角为(
A.30° 4.给出下面四个命题: ①“直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件是:直线 a、b 不相交; ②“直线 l 垂直于平面 ? 内所有直线”的充要条件是:l⊥平面 ? ; ③“直线 a⊥b”的充分非必要条件是“a 垂直于 b 在平面 ? 内的射影”; ④“直线 a ∥平面 ? ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 ? 内的一条直线”. 其中正确命题的个数是( A.1 个 (1)若 l1 ? ? , l2 ? ) C.3 个 D.4 个 B.2 个 B.60° C.90° D.45°



5.设 l1 、l2 为两条直线,a、β 为两个平面,给出下列四个命题:

l2∥a

? ,l1∥β ,l1∥a 则 a∥β (4)若 a⊥β ,l1 ? ? ,则 l1⊥β
) C.2 个 B.1 个

.

(2)若 l1⊥a ,l2⊥a,则 l1∥l2

(3)若 l1∥a,l1∥l2,则

其中,正确命题的个数是( A.0 个

D.3 个

A1 C1 A C H B

B1

6.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ? 底面 ABC, ? 直线 A1C 与底面成 60 角, AB ? BC ? CA ? 2 ,

AA1 ? A1 B ,则该棱柱的体积为( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 4 D. 3 7.已知直线 l ⊥面α ,直线 m ? 面β ,给出下列命题:
(1) ? / / ? ? l?m (3) l / / m ? ??? 其中正确的命题个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4 (2) ??? ? l / / m (4) l?m ? ? / / ?

B S G A E C ) F

8.正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 a,侧棱长为 b,那么经过底 边 AC 和 BC 的中点且平行于侧棱 SC 的截面 EFGH 的面积为( A. ab B.

ab 2

C.

ab 4

D.

2 ab 2

9.已知平面α 、β 、γ ,直线 l、m,且 l ? m,? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l ,给出下列四个结论:① ? ? ? ; ② l ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? .则其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ) 的中心,

10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD P 是棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与支线 AM 所成角的大小为( A.45? B.90? C.60? D.不能确定 ) A1 P

D1 C1 B1 M

10
D C A O

11.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得点 A 到点 A’的位置,且 A’C=1,则折起后二面角 A’ -DC-B 的大小为( A. arctan )

12.

? ? C. arctan 2 D. 4 3 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E、F 分别是 AA1 、CC1 的中点,P 是 CC1 上的动点(包括端点),过 E、D、
2 2
B. P 作正方体的截面,若截面为四边形,则 P 的轨迹是( A. 线段 C1 F B. 线段 CF D. 线段 C1 F 和一点 C )

C. 线段 CF 和一点 C1 二、填空题(4×4 分)

13.矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 成 60°角,把矩形所在的平面以 AC 为折痕,折成一个直二面角 D—AC— B,连结 BD,则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 . ,球的表面积为

14.将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球,则这个球的体积为 (不计损耗). 15. 四面体 ABCD 中,有如下命题: ①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC;

?

②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD 上的射影是△ABD 的外心 ④若四个面是全等的三角形,则 ABCD 为正四面体。 其中正确的是:______。(填上所有正确命题的序号) 16.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的每一个顶点都在同一个球面上,若 AC ?

2, BC ? CC1 ? 1 ,
D1 C1

?ACB ?

?
2

,则 A、C 两点之间的球面距离为

A1 . B1

三、解答题(12+12+12+12+12+14 分) 17.已知长方体 AC1 中,棱 AB=BC=1,棱 BB1=2,连结 B1C, 过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E,交 B1C 于 F. (1)求证 A1C⊥平面 EBD; (2)求点 A 到平面 A1B1C 的距离; (3)求平面 A1B1CD 与直线 DE 所成角的正弦值.

E A B F C D

18.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 3 若折后 AB ? CD 。

2 , AD ? 2 3 , ?ADB ? 90? ,沿 BD 将其折成二面角 A-BD-C,
A D E B C B

(1)求二面角 A ? BD ? C 的大小; (2)求折后点 C 到面 ABD 的距离。

19.在棱长 AB=AD=2,AA’=3 的长方体 AC1 中,点 E 是平面 BCC1B1 上动点,点 F 是 CD 的中点。 D1 A1 (1)试确定 E 的位置,使 D E⊥平面 AB F。
1 1

(2)求二面角 B1-AF-B 的大小。

B1

C1

11
A F D

20. (本小题满分 14 分) 如图, 在正三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,D 、E 分别是棱 BC 、CC1 的中点,AB ? AA1 ? 2 。 (Ⅰ )证明: BE ? AB1 ;(Ⅱ )求二面角 B ? AB1 ? D 的大小。
C1 A1 B1 E

C

21.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

A

D B

BC ? AA1 ? 4,AC ? 3 ,∠ACB=90°,D 是 A1 B1 的中点。 (1)在棱 BB1 上求一点 P,使 CP⊥BD; (2)在(1)的条件下,求 DP 与面 BB1C1C 所

成的角的大小。

22. 如图, 三棱锥 P—ABC 中, PB⊥底面 ABC 于 B, PB=BC=CA= 4

∠BCA=90°, 的中点.

2 ,点 E,点 F 分别是 PC,AP
P

(1)求证:侧面 PAC⊥侧面 PBC; (2)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (3)求二面角 A—BE—F 的平面角. E F C B

A

12

立几测试 002 答案
一、选择题(12×5 分) 1.已知直线 a、b 和平面 M,则 a//b 的一个必要不充分条件是(D) A.a//M, b//M C.a//M, b ? M B.a⊥M,b⊥M D.a、b 与平面 M 成等角

2.正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为(B)

3 3 3 3 B. C. D. 2 6 4 3 3.a, b 是异面直线,A、B∈a, C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所成的角为(B)
A. A.30° 4.给出下面四个命题: ①“直线 a、b 为异面直线”的充分非必要条件是:直线 a、b 不相交; ②“直线 l 垂直于平面 ? 内所有直线”的充要条件是:l⊥平面 ? ; ③“直线 a⊥b”的充分非必要条件是“a 垂直于 b 在平面 ? 内的射影”; ④“直线 a ∥平面 ? ”的必要非充分条件是“直线 a 至少平行于平面 ? 内的一条直线”. 其中正确命题的个数是(B) A.1 个 (1)若 l1 ? ? , l2 ? B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.设 l1 、l2 为两条直线,a、β 为两个平面,给出下列四个命题: B.60° C.90° D.45°

l2∥a

? ,l1∥β ,l1∥a 则 a∥β (4)若 a⊥β ,l1 ? ? ,则 l1⊥β
B.1 个 C.2 个

.

(2)若 l1⊥a ,l2⊥a,则 l1∥l2

(3)若 l1∥a,l1∥l2,则

其中,正确命题的个数是(B) A.0 个 D.3 个 A1 C1 A C S H B E C F G A B1 6.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ? 底面 ABC, ? 直线 A1C 与底面成 60 角, AB ? BC ? CA ? 2 ,

AA1 ? A1 B ,则该棱柱的体积为(B) A. 4 3 B. 3 3 C. 4 D. 3 7.已知直线 l ⊥面α ,直线 m ? 面β ,给出下列命题:
(1) ? / / ? ? l?m (3) l / / m ? ??? 其中正确的命题个数是(B) A. 1 B. 2 C. 3 (2) ??? ? l / / m (4) l?m ? ? / / ? D. 4

B

8.正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 a,侧棱长为 b,那么经过底 边 AC 和 BC 的中点且平行于侧棱 SC 的截面 EFGH 的面积为(C) A. ab B.

ab 2

C.

ab 4

D.

2 ab 2

9.已知平面α 、β 、γ ,直线 l、m,且 l ? m,? ? ? , ? ? ? ? m, ? ? ? ? l ,给出下列四个结论:① ? ? ? ; ② l ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? .则其中正确的个数是(C) A.0 B.1 C.2 D.3 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与支线 AM 所成角 的大小为(B) A1 P D1 C1 B1 M

13
D C A O

A.45? B.90?

C.60?

D.不能确定

11.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得点 A 到点 A’的位置,且 A’C=1,则折起后二面角 A’ -DC-B 的大小为(C)

12.

? ? C. arctan 2 D. 4 3 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E、F 分别是 AA1 、CC1 的中点,P 是 CC1 上的动点(包括端点),过 E、D、
A. arctan

2 2

B.

P 作正方体的截面,若截面为四边形,则 P 的轨迹是(C) A. 线段 C1 F C. 线段 CF 和一点 C1 二、填空题(4×4 分) B. 线段 CF D. 线段 C1 F 和一点 C

13.矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 成 60°角,把矩形所在的平面以 AC 为折痕,折成一个直二面角 D—AC— B,连结 BD,则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为

21 7

.

14.将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球,则这个球的体积为 (不计损耗). 15. 四面体 ABCD 中,有如下命题: ①若 AC⊥BD,AB⊥CD,则 AD⊥BC;

? 6

,球的表面积为

?

②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小; ③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD 上的射影是△ABD 的外心 ④若四个面是全等的三角形,则 ABCD 为正四面体。 其中正确的是:___①③____。(填上所有正确命题的序号) 16.直三棱柱 ABC—A1B1C1 的每一个顶点都在同一个球面上,若 AC ?

2, BC ? CC1 ? 1 ,
D1 C1

?ACB ?

?
2

,则 A、C 两点之间的球面距离为

? 2

A1 . B1

三、解答题(12+12+12+12+12+14 分) 17.已知长方体 AC1 中,棱 AB=BC=1,棱 BB1=2,连结 B1C, 过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E,交 B1C 于 F. (1)求证 A1C⊥平面 EBD; (2)求点 A 到平面 A1B1C 的距离; (3)求平面 A1B1CD 与直线 DE 所成角的正弦值. 解:(1)连结 AC,则 AC⊥BD ∵AC 是 A1C 在平面 ABCD 内的射影∴A1C⊥BD;

E A B F C D

又∵A1B1⊥面 B1C1CB,且 A1C 在平面 B1C1CB 内的射影 B1C⊥BE,

? A1C ? BE又 ? BD ? BE ? B

? A1C ? 面EBD

(2)易证:AB//平面 A1B1C,所以点 B 到平面 A1B1C 的距离等于点 A 到平面 A1B1C 的距离,又 BF⊥平 面 A1B1C, ∴所求距离即为 BF ?

2 ?1 2 ?1
2 2

?

2 5 . 5

(3)连结 DF,A1D, ? EF ? B1C, EF ? A1C
EF ? 面A1 B1C ,∴∠EDF 即为 ED 与平面 A1B1C 所成的角.

14

由条件 AB=BC=1,BB1=2,可知 B1C ? 5 ,

BF ?

FC ? BB1 1 FC ? BF 5 2 5 4 5 5 ? , EC ? ? . , B1 F ? , CF ? , EF ? B1 F 10 B1 F 2 5 5 5

? ED ? EC 2 ? CD 2 ?

5 . 2

? sin?EDF ?

EF 1 ? . ED 5

18.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 3 若折后 AB ? CD 。

2 , AD ? 2 3 , ?ADB ? 90? ,沿 BD 将其折成二面角 A-BD-C,
A D E B C B

(1)求二面角 A ? BD ? C 的大小; (2)求折后点 C 到面 ABD 的距离。 解法一:设 A 点在面 BCD 内的射影为 H, 连结 BH 交 CD 于 E,连 DH,在Δ ADB 中, AB2=AD2+BD2,∴AD⊥DB。 又 AH⊥面 DBC,∴BH⊥DH。 ∴∠ADH 为二面角 A—BD—C 的平面角。 由 AB⊥CD,AH⊥面 DBC,∴BH⊥CD。 易求得 CE= 2 2 ,DE= 2 。 又∵Rt△DEH∽Rt△CEB ∴DH=

3。

在 RtΔ ADH 中, cos ?ADH ? ∴二面角 A—BD—C 的大小为

1 ? , ? ?ADH ? , 2 3

? 。 3

法二:在△BCD 中,由余弦定理得 cos?BDC ? 3 , ?ADB ? ?DBC ? 90? 。 3 ∵ DA ? BD , BC ? DB , ?二面角的大小就是? DA , BC ? 。 ∵ AB ? DC , ? AB? DC ? 0 , 即( DB ? DA) ? CD ? 0 , 即 DB? CD ? DA? CD ? 0 , 故DB? CD ? DA? CD 。

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? DA ? BC = DA( DC ? DB) = (DA? DC) ? (DA? DB) = DB ? DC ? ? cos DA, BC ? ???? ??? 12 12 2 3 ?2 3 | DA || BC |

DB DC cos(DB, DC)
= =

6 ?3 2 ? 12

12

3 3 ?1 2

? ( DA, BC) ? 60?
(2)由对称性成等积性知:C 到面 ABD 的距离等于 A 到面 BCD 的距离

AH ? AD ? sin ?ADH ? 2 3 ?

3 ?3 2

(12分)

19.在棱长 AB=AD=2,AA’=3 的长方体 AC1 中,点 E 是平面 BCC1B1 上动点,点 F 是 CD 的中点。 (1)试确定 E 的位置,使 D1E⊥平面 AB1F。 (2)求二面角 B1-AF-B 的大小。 B1 A1 C1 D1

15
A F D

解:(1)建立空间直角坐标系,如图 A(0,0,0),F(1,2,0),B1(2,0,3),D1(0,2,3), 设 E(2,y,z)

? D1 E ? (2, y ? 2, z ? 3) , AF ? (1,2,0) , AB1 ? (2,0,3)
由 D1E⊥平面 AB1F ? ?

?D1 E ? AF ? 0 ? ?D1 E ? AB1 ? 0 ?

,即

?y ?1 ? 2 ? 2( y ? 2) ? 0 ? ?? 5 ? ?4 ? 3( z ? 3) ? 0 ?z ? 3 ?

∴E(2,1,

5 )为所求。 3

(2)当 D1E⊥平面 AB1F 时, D1 E ? (2,?1,? ) , B1 B ? (0,0,?3) 又 B1 B 与 D1 E 分别是平面 BEF 与平面 B1EF 的法向量,则 二面角 B1-AF-B 的平面角等于< B1 B , D1 E >。 ∵cos< B1 B , D1 E >=

4 3

4 ? 3(? ) 3 4 3 2 2 ? 1 ? (? ) 2 3

?

4 61 61

∴B1-AF-B 的平面角为 arccos

3 5 4 61 或用传统法做(略) ( arctan ) 61 4
C1 A1 B1 E

20. (本小题满分 14 分) 如图, 在正三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,D 、E 分别是棱 BC 、CC1 的中点,AB ? AA1 ? 2 。 (Ⅰ )证明: BE ? AB1 ;(Ⅱ )求二面角 B ? AB1 ? D 的大小。 解:如图建立空间直角坐标系,则 (Ⅰ)证明:因为 B ( ?1 , 0 , 0) , E (1 , 0 , 1) ,

A(0 , 3 , 0) , B1 (?1, 0 , 2) , ??? ? ???? ? 所以 BE ? (2 , 0 ,1) , AB1 ? (?1, ? 3 , 2) ,故 ??? ??? ? ? BE ? AB1 ? 2 ? (?1) ? 0 ? (? 3) ? 1? 2 ? 0 ,
因此,有 BE ? AB1 ; (Ⅱ)设 n1 ? ( x , y , z ) 是平面 ABB1 的法向

C A D B
z

?? ?

???? ? ???? 因为 AB1 ? (?1, ? 3 , 2) , BB1 ? (0 , 0 , 2) ,
A1 B1

量, 所以由
C1

E x

y A D B

C

16

?? ???? ? ? ?? ???? ? ? ? ?n1 ? AB1 ?n1 ? AB1 ? ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?? ? ? ? 可取 n1 ? ( 3 , ? 1, 0) ; ? ? ? ?? ???? ? ? ?? ???? ?n1 ? BB1 ?n1 ? BB1 ? 2 z ? 0 ? ?
同理, n2 ? (2 , 0 ,1) 是平面 AB1 D 的法向量。 设二面角 B ? AB1 ? D 的平面角为 ? ,则

?? ?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n1 ? n2 | 15 15 ? ? 。 cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? ?? ? ? ? ? arccos 5 5 | n1 | ? | n2 |
21.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

BC ? AA1 ? 4,AC ? 3 ,∠ACB=90°,D 是 A1 B1 的中点。 (1)在棱 BB1 上求一点 P,使 CP⊥BD; (2)在(1)的条件下,求 DP 与面 BB1C1C 所成的角的大小。
解法一:(1)如图建立空间直角坐标系 设P

?4,0,z? ,则 CP ? ?4,0,z?

?

? ? 3 ? ? 3 ? 0, 4 由 B?4, 0 ?,D? 2, ,? 得: BD ? ? ? 2, ,? 4 2 ? ? 2 ? ? ? ? 由 CP⊥BD,得: CP BD ? 0 · ?z ? 2
所以点 P 为 BB1 的中点时,有 CP⊥BD (2)过 D 作 DE⊥B1C1,垂足为 E, 易知 E 为 D 在平面 BC1 上的射影, ∴∠DPE 为 DP 与平面 BC1 所成的角

? ? 3 ? ? 3 ? 4 由(1),P(4,0,z), D? 2, ,? 得: PD ? ? ? 2, ,? 2 2 ? 2 ? ? ?
∵ E (2 , 0 , 4) ,∴ PE ? (?2 , 0 , 2) 。 PD? PE ?| PD | ? | PE cos ?DPE , ∴ cos ?DPE ?

4 82 4 82 ,∴ ?DPE ? arccos 。 41 41 4 82 。 41

即 DP 与面 BB1C1C 所成的角的大小为 arccos 解法二:取 B1C1 的中点 E,连接 BE、DE。

显然 DE⊥平面 BC1 ⊥BD,则必有

∴BE 为 BD 在面 BC1 内的射影, P 是 BB1 上一点且 CP 若 CP⊥BE ∵四边形 BCC1 B1 为正方形,E 是 B1C1 的中点

17

∴点 P 是 BB1 的中点, ∴ BB1 的中点即为所求的点 P (2)连接 DE,则 DE⊥ B1C1 ,垂足为 E,连接 PE、DP

? ?D P E为 DP 与平面 BC1 所成的角
由(1)和题意知: DE ?
t a n DPE ? ?

3 , PE ? 2 2 2

DE 3 2 3 2 ? , ? ?D P E a r c t a n ? PE 8 8

即 DP 与面 BB1C1C 所成的角的大小为 arctan

3 2 8

22.如图,三棱锥 P—ABC 中,PB⊥底面 ABC 于 B,∠BCA=90°,PB=BC=CA= 4 PC,AP 的中点. (1)求证:侧面 PAC⊥侧面 PBC; (2)求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (3)求二面角 A—BE—F 的平面角. 解:(1)∵PB⊥平面 ABC,∴平面 PBC⊥平面 ABC, 又∵AC⊥BC, ∴AC⊥平面 PBC C E F B P

2 ,点 E,点 F 分别是

A

∴侧面 PAC⊥侧面 PBC. (2)以 BP 所在直线为 z 轴,CB 所在直线 y 轴, 建立空间直角坐标系,由条件可设

P(0,0,4 2 ), B(0,0,0), C (0,?4 2 ,0), A(4 2 ,?4 2 ,0) 则E (0,?2 2 ,2 2 ), F (2 2 ,?2 2 ,2 2 ) AE ? (?4 2 ,2 2 ,2 2 ), BF ? (2 2 ,?2 2 ,2 2 ), ? AE ? BF ? ?16, | AE | ? | BF |? 24 2 ,

? cos ? AE, BF ?? ?

2 2 , ? AE与BF所成的角是 arccos 3 3

(3)平面 EFB 的法向量 a =(0,1,1),平面 ABE 的法向量为 b =(1,1,1)

cos ? a, b ??

6 , 3

18

?二面角A ? BE ? F的平面角为arccos

6 . 3

19

立几测试 003
一.选择题(请将选择题的答案填在第二页的表格中) (3 ? 12 ? 36) 1.设 M={平行六面体},N={正四棱柱},P={直四棱柱},Q={长方体},则这些集合之间的关系是 (A) M ? N ? P ? Q (C) N ? Q ? P ? M (B) Q ? M ? N ? P (D)以上都不正确

2.空间四边形的对角线相等且互相垂直,顺次连接这个空间四边形的各边中点所得的四边形为 (A)平行四边形 (B)梯形 (C)矩形 (D)正方形

3.两个平行平面间的距离为 d ,则到这两个平面的距离为 2 : 1 的点的轨迹是 (A)一个平面 (B)两个平面 (C)三个平面 (D)四个平面

4.在正四面体 P ? ABC 中,如果 E、F 分别为 PC 、 AB 的中点,那么异面直线 EF 与 PA 所成的角为 (A) 90
0

(B) 60

0

(C) 45

0

(D) 30
?

0

5.已知在 ?ABC 中, AB ? 9, AC ? 15 , ?BAC ? 120 , ?ABC 所在平面 ? 外一点 P 到三角形的三个顶 点的距离均为 14,则点 P 到平面的距离为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13

6.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , ?ABC 是直角三角形,则三棱锥的三个侧面中直角三角形有 (A)2个 (B)3个 (C)至多2个 (D)2个或3个

7.正方体的棱长为1, P 为 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心,则 DD1 与平面 PAO 所成角的正切值为

(A)

2 2

(B)

2
2

(C) 2

2

(D)以上皆非

8.已知球内接正方体的全面积是 a ,则这个球的表面积是 (A)

? a2
3

(B)

? a2
2

(C) 2? a

2

(D) 3? a

2

9.正 n 棱锥的侧面积是底面积的 2 倍,则侧面与底面所成二面角的度数为 (A)

? 3

(B)

? 2

(C)

? 6

(D)与 n 的取值有关

10.设长方体的三条棱长分别为 a , b , c ,若其所有棱长之和为24,一条对角线的长度为5,体积为2,则

1 1 1 ? ? 为 a b c
(A)

11 4

(B)

4 11

(C)

11 2

(D)

2 11

11.一长为 a 的线段夹在互相垂直的两平面间,它和这两平面所成角分别为 30° 45° 和 ,由线段端点作平面 交线的垂线,则垂足间的距离为 20

(A)

a 2

(B)

a 3

(C)

2a 2

(D)

2a 3

12.在下列的四个命题中: ① a, b 是异面直线,则过 a, b 分别存在平面 ? , ? ,使 ? // ? ;
②a, b 是异面直线,则过 a, b 分别存在平面 ? ,

? ,使 ? ? ?



③a, b 是异面直线,若直线 c, d 与 a, b 都相交,则 c, d 也是异面直线; ④a, b 是异面直线,则存在平面 ? 过 a 且与 b 垂直. 真命题的个数为 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

二.填空题. (4 ? 4 ? 16) 13. A 是两条异面直线 a, b 外的一点,过 A 最多可作 14.二面角 ? ? l ? ? 内一点 P 到平面 ? , 个平面,同时与 a, b 平行.

? 和棱 l 的距离之比为 1: 3 : 2 ,则这个二面角的平面角是
?
2

__________ 度.
15.在北纬 60 圈上有甲乙两地,它们在纬度圈上的弧长为 为 . (只
?

R ( R 为地球的半径),则甲乙两地的球面距离

16. 若四面体各棱长是 1 或 2, 且该四面体不是正四面体, 则其六条棱长的一组可能值是 须写出一种可能值即可). 三.解答题 (12 ? 4 ? 48)

17. ABCD 是边长为 1 的正方形, M , N 分别为 DA, BC 上的点,且 MN // AB ,沿 MN 将正方形折成直二 面角 AB ? MN ? CD (1)求证:平面 ADC ? 平面 AMD ; (2)设 AM ? x (0 ? x ? 1) ,点 N 与平面 ADC 间的距离为 y ,试用 x 表示 y .

18.某人在山顶 P 处观察地面上相距 2800 m 的 A ,B 两个目标,测得A在南偏西 67 ,俯角为 30 ,同时测 得 B 在南偏东 83 ,俯角为 45 ,求山高.
? ?

?

?

21

19.已知三棱柱 ABC? A1 B1C1 的底面是边长为

1 的正三角形,

?AA1 B1 ? ?AA1C1 ? 45 ,顶点 A 到底面
距离相等,求此三棱柱的侧棱长及侧面积.

?

A1 B1C1 和侧面 B1C 的

20.长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , BB1 (1)求证: AE ? 平面 A1 D1 E ; (2)求二面角 E ? AD1

? 2 , E 为 BB1 的中点.

? A1 的正切值;

(3)求三棱椎 A ? C1 D1 E 的体积.

答案
一、选择题(3×12=36) 1.D 10.A 13.1 14.900 或 1500 15. 2.D 11.A 3.D 12.B 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.A

二、填空题

?
3

R

16.1,2,2,2,2,2 或 1,1,2,2,2,2 或 1,1,1,2,2,2 三、解答题(4×4=16) 17.解: (1)MN⊥AM,MN//CD (12)∴CD⊥AM 又 CD⊥DM ∴CD⊥平面 ADM ∴平面 ADC⊥平面 ADM ∵MN//CD ∴MN//平面 ADC ∴M、N 到平面 ADC 的距离相等 过 M 作 MP⊥AD MN ? 平面 ADC CD ? 平面 ADC

22

∵平面 ADM⊥平面 ADC ∴MP⊥平面 ADC (2)∵MN⊥DM ∴∠AMN=90
0

MN⊥AM

在 Rt△ADM 中

MP ?

x(1 ? x) x 2 ? (1 ? x) 2
x(1 ? x) 2x 2 ? 2x ? 1

∴y

? MP ?

18.解:设 PQ 垂直于地面,Q 为垂足 (12)∵PQ⊥平面 AQB ∴∠AQB=670+830=1500 ∠PAQ=300 设 PQ=h 在 Rt△AQP 中,AQ= 在 Rt△PQB 中 ∠PBQ=450

3h

QB=h

在△AQB 中,由余弦定理

AB2 ? AQ2 ? QB 2 ? 2 AQ ? QB ? cos1500 ? 3h 2 ? h 2 ? 2 ? h ? 3h ?

3 h ? 7h 2 ? 28002 2

h 2 ? 400? 2800 ? h ? 400 7(m)
19.解:作 AO⊥平面 A1B1C1,O 为垂足 (12)∵∠AA1B1=∠AA1C1=450 ∴O 在∠C1A1B1 的平分线上 连结 A1O 并延长交 B1C1 于 D1 点 ∵A1C1=A1B1 ∴A1A⊥B1C1 ∴BB1⊥B1C1 ∴四边形 BB1C1C 为矩形 取 BC 中点 D,连结 AD ∵DD1//BB1 ∴B1C1⊥DD1 又 B1C1⊥A1D1 ∴B1C1⊥平面 A1D1DA ∴平面 A1ADD1⊥平面 B1C1CB 过 A 作 AN⊥DD1,则 AN⊥平面 BB1C1C ∴AN=AO ∵四边形 AA1D1D 为□ ∴A1D1=DD1 ∴ DD1 DD1 ∴A1D1⊥B1C1

?

3 2

23

? AA1 ?

3 2 3 2 3 6 3 ? ? ?1 ? ? 2 2 2 2 2

S 侧 ? 2 ? 1?

20.解(1): A1 E (12)AA1=2 ∴A1E⊥AE 又 AE⊥A1D1 ∴AE⊥平面 A1D1E

? 2

AE ? 2

(2)取 AA1 中点 F,过 F 作 FP⊥AD1 ∵EF⊥平面 AA1D1D ∴EP⊥AD1 ∴∠FPE 即为 E-AD1-A1 的平面角 在 Rt△AA1D1 中,可求 PF FP⊥AD1

?

5 5

? tan ?FPE ?
(3)∵EF//C1D1

EF ? 5 FP

∴EF//平面 AC1D1 ∴VA-C1D1E =VE-AC1D1 =VF-AC1D1 = VC1 -AFD1

1 S ? AFD1 ? C1 D1 3 1 1 = ? ( ? 1 ? 2) ? 1 3 4 1 = 6 ?

24

立几测试 004
一、选择题 1.如果 a、b 是异面直线,直线 c 与 a、b 都相交,那么由这三条直线中的两条所确定的平面个数是 ( A.0 A.平行 A.外心 B.1 C.2 D.3 ) ) C.垂直 C.垂心 D.以上三种情况都有可能 D.重心 ( ) B.a∥b∥c ? a、b、c 共面 2.若平面α 上有不共线的三个点到平面β 的距离都相等,则平面α 与平面β 的位置关系是 ( B.相交 B.内心 )

3.四面体 PABC 中,若 P 到 AB、BC、CA 边的距离相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影是△ABC 的( 4.已知 a、b、c 是三条直线,则下列命题正确的是 A.a∩b∩c=P ? a、b、c 共面 C.a∥b,b⊥c ? a、b、c 共面 D. a ? b ? P, b ? c ? Q, c ? a ? S (P,Q,S 是不同的三点) ? a,b,c 共面 5.设直线 m 在平面α 内,则平面α 平行于平面β 是直线 m 平行于平面β 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

6.棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 DD1 与 BC1 之间的距离为( A.a B.
2 a 2

c.

2a

D.

3a
( )

7.若 a,b 是异面直线, a ? ? , b ? ? 且? ? ? = l ,则 A. l 与 a、b 分别相交; C. l 至少与 a、b 中的一条相交; (A)底面是矩形

B. l 与 a、b 都不相交 D. l 至多与 a、b 中的一条相交 ( (C)一个侧面是矩形 ) (D)两个相邻侧面是矩形

8.四棱柱作为平行六面体的充分不必要条件是 (B)侧面是平行四边形 ( )

9.如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积(自上而下)为 1:8:27,则这时棱锥的高 被分成上、中、下三段之比为 (A) 1: (3 (C)1:

2 ? 1) : (3 3 ? 3 2 ) (B)1: 3 2 : 3 3
(D)1:1:1 )

1 1 : 2 3
? ?

10、一凸多面体的棱数是 30,面数为 12,则它的各面的多边形的内角总和为( A、5400 B、6480 C、7200
?

D、7920

?

二、填空题 11.若两个平行平面之间的距离为 12cm,一条直线和它们相交,且夹在这两个平面间的线段长为 24cm,则这 条直线与该平面所成角为___________________. 12.已知二面角α —m—β 的平面角为 600,点 P 在半平面α 内,点 P 到半平面β 的距离为 h,则点 P 到棱 m 的 距离是________________. 13.已知集合 A={平行六面体}, B={正四棱柱}, C={长方体}, D={四棱柱}, E={正方体},写出这些集合之间的 连续包含关系

14.正方体的表面积为 m,则正方体的对角线长为

25

15.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积为

三、解答题 16、如图,已知四边形 ABCD 是空间四边形,E 是 AB 的中点,F、G 分 别是 BC、CD 上的点,且

CF CG 1 ? ? . CB CD 3

(1)设平面 EFG∩AD=H,AD=λ AH, 求λ 的值
A

(2)试证明四边形 EFGH 是梯形.

H E D G B F
o

C

17、AB 为圆 O 的直径,圆 O 在平面 α 内,SA⊥α ,∠ABS=30 ,P 在圆周上移动(异于 A、B),M 为 A 在 SP 上 的射影, (Ⅰ)求证:三棱锥 S—ABP 的各面均是直角三角形;

(Ⅱ)求证:AM⊥平面 SPB;

18.菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60 ,将面 ABC 沿对 棱锥 B-ABD,当三棱锥 B-ACD 的体积最大时,求 的体积是多少?

0

角线 AC 折起,组成三 此时的三棱锥 B-ACD

19.ABCD 是边长为 2 的正方形,GC⊥平面 AC, M,N GC=1, 求点 B 到平面 GMN 的距离。

G

分别是 AB,AD 的中点,且

C M D N A

B

20、在正三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 点,F 是 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:DF‖平面 ABC;

AA1=AB=a,D 是 CC1 的中

26

(Ⅱ)求证:AF⊥BD; (Ⅲ)求平面 A1BD 与平面 ABC 所成的锐二面角的大小。

参考答案:

1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、A 7、C 8、A 9、D 10、B 11、300 12、 2 3 h 3

13、E? B? C? A? D 14、 15、 2m 2 2 3 a 4

16、? =2 17、证明 (略)
27

18、a3/8

28

立几测试 005
一、 选择题(每小题只有一个正确的答案,每小题 4 分): 1、下列命题中,正确的是 A、空间三点确定一个平面 C、一条直线和一点确定一个平面 2.有下列三个命题: 命题 1:垂直于同一平面的两个平面互相平行 命题 2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 命题 3:一条直线与一个平面的无数条直线垂直,则此直线垂直于该平面 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 ( 3.在下列命题中,真命题是 ( ) D. 3 ) ( ) B、空间两条垂直的直线确定一个平面 D、 空间任意的三点一定共面

(A) 垂直于一个平面的斜线的直线一定垂直于它的射影 (B) 过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 (C) 过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条 (D) 若 a 和 b 是异面直线,a∥c,则 b 和 c 也是异面直线; 4.下列说法中正确的是 ( ) A.平行于同一直线的两个平面平行 C.平行于同一平面的两条直线平行 A.若 m∥α , n ?α ,则 m∥n C.若α ∥β , m?α , n ?β 则 m∥n B.垂直于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一直线的两条直线平行 ) B.若 m⊥n , n ?α , 则 m ⊥α D.若 m⊥β , m?α ,则α ⊥β

5.已知直线 a、b、c 及平面α ,β 下列命题中正确的是 (

6.已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分,则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的 比为 ( ) A.2∶ 1 B. 2 ∶ 1 C.1∶ ( 2 -1) D.1∶ ( 3 2 -1)

7.图中给出的是长方体形木料想象沿图中平面所示位置截长方体,若那么截面图形是下面四个图形中的 ( )

A

B

C

D
D1 A1 P ?
1

8. 如图所示, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的侧面 AB1 内有一 直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为

C1 B

动点 P 到直线 A1 B1 与 ( )

A1 P A

B1

A1 P

B1

A1 P

B1 A

D

A1 B P A D

C

B1

A

B A

A

B A

A

C

B A

B A

二、填空(每小题 4 分):

B

9.设 M={正方体},N={直四棱柱},O={长方体},P={正四棱柱},则它们的包含关系为_________ 32 10.球的体积是 π ,则此球的表面积是 3

29

11.一个三棱柱的底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱与底面所成的角为 60°,则这个棱柱的体积 为 12.在一个坡面的倾斜角为 60°的斜坡上,有一条与坡脚的水平线成 30°角的直线,沿这条道行走到 20m 时 人升高了 米(坡面的倾斜角为坡面与水平面所成的二面角的平面角) 13.已知点 A、B 到平面 ? 的距离分别为 3cm、9cm,P 为线段 AB 上一点,且 AP:BP=1:2,则 P 到平面 ? 的距离为

30

三、解答题(答题要求:请写出规范的完整的解答过程,每题 12 分,): 14.已知:如图,长方体 AC’中,AD=AA’=4,E 为 AB 上任意一点 (1) 求证:EC’ ⊥ A’D

(2)

若 M 为 B’C’的中点,求直

D' A' B' D B E

C'

线 AB 与平面 DMC 的距离。

C

A

15.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 为 PC 中点. (1)求证:PA∥平面 EDB. (2)求 EB 和底面 ABCD 成角正切值. E C B

P

D

A

31

16. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥底面 ABCD, PA=AD=2a, 且 AB=a, ∠ABC=60° (1)求证平面 PDC⊥平面 PAC. P (2)求异面直线 PC 与 BD 所成的角的余弦值. A B C D

17.已知:如图,直棱柱 ABC-A’B’C’的各棱长都相等,D 为 BC 中点,CE⊥C’D 于 E (1) (2) 求证:CE⊥平面 ADC’ 求二面角 D-AC’-C 的平面角的大小

A' B'

C'

A

E D

C

B

参考答案 一、1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C

二、9. M ? P ? Q ? N 10. 16?
3 11. 8 a 2

b

12. 5

3

13.5cm 或 1cm

三、14.(2) 8 5 5

32

15.(2) arctan 55
3 16.(2) arccos7

17.(2) arcsin

10 5

33

立几测试 006
一、选择题(计 60 分) 1、条件甲:直线 a、b 是异面直线;条件乙:两条直线 a 、b 无公共点,则甲是乙的 ( ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

A.充分非必要条件 C.充要条件

2、若球的大圆的面积扩大为原来的 3 倍,则它的体积扩大为原来的( A.3 倍 B.27 倍 C.3

3倍

D.

3

3倍
( )

3、如果直线 a∥平面 ? ,那么直线 a 与平面 ? 内的 A、一条直线不相交 C、无数条直线不相交 B、两条相交直线不相交

D、任意一条直线都不相交

4、已知 P 是三角形 ABC 所在平面外的一点,且 P 到三角形三个顶点的距离相等,那么 P 在平面 ABC 内的射 影一定是三角形 ABC 的( A、垂心 B、外心 ) C 、内心 D、重心 ( )

5、侧棱长为 2a 的正三棱锥其底面周长为 9a,则棱锥的高为

A、

a
)

B、 2a

C、

3 a 2

3 D、 27a

6、已知一个凸多面体面数为 8,各面多边形的内角总和为 16 ? ,则它的棱数为 ( A、24 B、32 C、18 D、16

7、正方形 ABCD 与正方形 ABEF 成 90° 的二面角,则异面直线 AC 与 BF 所成的角为 ( ) B、60° C、30° D、90° )

A、45°

8、在正方体 ABCD—A?B?C?D?中,BC?与截面 BB?D?D 所成的角为(

? A. 3

? B. 4

? C. 6

D.arctan2 )

9、有一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面(

A、一定都是直角三角形
C、至多只能有两个直角三角形

B、至多只能有一个直角三角形
D、可能都是直角三角形

10、已知球面上的三点 A , B , C ,且 AB ? 6 cm , BC ? 8 cm , AC ? 10 cm ,球的半径为 13 cm ,则球 心到平面 ABC 的距离是( A、11 cm
3 2

) C 、13 cm D、14 cm ( )

B、12 cm

11、方程 x -6x +9x-10=0 的实根个数是

34

A、3 B、2 C、1 D、0 12、一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状 可以是(1)三角形(2)菱形(3)矩形(4)正方形(5)正六边形其中正确的是 ( ) A、(1)(2)(3)(4)(5) B、(2)(3)(4) C、(2)(3)(4)(5) D、(3)(4) 二、填空题(计 16 分)

13、正方形 ABCD 中,AB=10 ㎝,PA 垂直于 ABCD 所在的平面且 PA=5 ㎝,则 P 到 DC 的距离为____________;
14、函数 f(x)= x -6x +9x(0<x<5)的单调增区间为___________; 15、已知正方体的八个顶点中,有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体与正方体的体积之比是 _______________; 16、将边长为 2,锐角为 60 的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD,点 E、F 分别为 AC、BD 的 中点,则下列命题中正确的是______(将正确的命题序号全填上) ① EF∥AB ②EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线
0 3 2

③当四面体 ABCD 的体积最大时,AC= 三、解答题(74 分)

6

④AC 垂直于截面 BDE

17、 等腰直角三角形 ABC 中, ∠C=90°, 平面 ABC 外一点 P 在平面 ABC 内的射影是 AB 边的中点, PC=AB=24, 若 求: (1)PC 与平面 ABC 所成的角 (2)
P

P 点到直线 AC,BC 的距离。 (12 分)

A

D C B

18、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等, 求① 斜高与棱锥高之比

② 相邻两个侧面所成二面角的大小。 (12 分)

35

19、在立体图形 V-ABC 中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,① 平面 VAB 与平面 VBC 有何种位置关系?请说明理 由。② BC=BA= 若

1 VA=4,试求 A 点到平面 VBC 的距离(12 分) 2
V

B

C

A

20、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形, ?ACB ? 90? ,AC=1,C 点到 AB1 的距离 为 CE=

3 ,D 为 AB 的中点. (12 分) 2
C1

(1)求证:AB1⊥平面 CED; (2)求异面直线 AB1 与 CD 之间的距离; (3)求二面角 B1—AC—B 的平面角.
A1

B1

E A

C

D

B

21、已知实数 a≠0,函数 f(x)=ax(x-2) (x∈R)有极大值 32。 (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间。(12 分)

2

36

22、如图所示,正方形的边长为 3a,E、F、G、H 是正方形边 AB、 CD 的三等分点,将正方形沿 EH、FG 对折成一个三棱柱 AEF-DHG 求: (14 分) ① 异面直线 EA 与 FD 所成的角 ② 求二面角 F-HD-G 大小 ③ 求棱锥 A-DHF 的体积
A E F B E F

A

H D H G C D

G

37

2004—2005 学年第二学期第二次月考 数学答题卷 一、选择题(60 分) 题 号 答 案 二、填空题 13、5 A C D B A D B C D B C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 ; 14、(0,1)和(3,5);15、1∶3; 16、②③④

三、解答题 17、(1)60 18、(1)
0

;(2)6

14 ;

1 3 ∶ 2 ;(2) ? -arccos ; 3

19、(1)垂直 ;(2)

8 5 ; 5

1 ;(3)arctan 2 ; 2 2 21、(1)a=27 ;(2)x ? (- ? , )和 x ? (2,+ ? )单调第增; 3 2 x ? ( ,2)单调递减 3
20、(1)略 ;(2) 22、(1)arccos

10 3 3 ;(2)arctan2 3 ;(3) a 20 4

38

立体 007
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1、在空间中,l,m,n,a,b 表示直线,α 表示平面,则下列命题正确的是( A、若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α C、若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α A、90° B、60° C、45° B、若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n D、若 l⊥α,l∥a,则 a⊥α ) D、30° )

2、在四面体 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,E,F 分别为 AB,CD 的中点,则 EF 与 AC 所成角为(

3、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为 (A)

6 : 2 ,则侧面与底面的夹角为( )。

? ? (B) 12 6

(C)

? 4
(C) 4

(D)

? 3
(D) 6 )

4、 在斜棱柱的侧面中,矩形最多有 ( (A) 2 (B) 3

)个。

5、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( (A) 各侧面是正三角形

(C) 各侧面三角形的顶角为 45 度

(B)底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6、已知α ,β 是平面,m,n 是直线.下列命题中不正确的是( ) . A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C.若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β B.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n D.若 m⊥α , m ? )

? ,则α

⊥β

7、下列命题中,正确命题的个数是( (1) 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体

(2)三棱锥的表面中最多有三个直角三角形 (2) 简单多面体就是凸多面体

(4)过球面上二个不同的点只能作一个大圆 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D. 3 个

8、已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别为 6 ? 和 8 ? ,则两平行截面间的距离是( ). A.1 B.2 C.1 或 7 D.2 或 6

9、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等.则该棱锥一定不是( ) A.六棱锥 B.五棱锥 C.四棱锥 D.三棱锥 10、 地球半径为 R , 在北纬 300 圈上有两点 A 、 , 点的经度为东经 1200 , 点的经度为西经 600 , B A B 则 A 、B 两点的球面距离为( ).

A.

?
3

R

B.

3 ?R 2

C. ?R

1 2

D.

2 ?R 3


11、空间有不共线的三点,过其中一点到另外两个点等距离的平面的个数为(

39

A、0

B、1

C、2

D 无数个

12、 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 1 与 BD 所成角为 ?1 , 1 与 B1D1 所成角为 ? 2 , 与平面 ABC1D1 AD AC BC 所成角为 ? 3 ,则有( A、 ?1 < ? 2 < ? 3 C、 ? 2 > ?1 > ? 3 )
D1 C1

B、 ?1 > ? 2 > ? 3 D、 ? 2 > ? 3 > ?1

A1

D B

C

A

40

二、填空题 13、边长为 2 的正方形 ABCD 在平面α 内的射影是 EFCD,如果 AB 与平面α 的距离为 所成角的大小是 。

2 ,则 AC 与平面α

14、球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离等于大圆周长的 个球的半径为________.

1 ,经过这 3 个点的小圆周长为 4 ? ,那么这 6

15、一个十二面体共有 8 个顶点,其中 2 个顶点处有 6 条棱,其它的顶点处有相同数目的棱,则其它各顶点的 棱数是 。

16、如图是一个正方体的展开图.在原正方体中有下列命题:

①AB 与 EF 所在直线平行; ③MN 与 BF 所在直线成 600 角;

②AB 与 CD 所在直线异面; ④MN 与 CD 所在直线互相垂直.

其中正确命题的序号是________________.
17、(本题 12 分)叙述并证明直线和平面平行的判定定理

18、(本题 12 分)球 O 的球面上有三点 A ,B ,C ,已知 AB=9 ,BC=12 ,AC=15 ,且球半径是球心 O 到 平面 ABC 的距离的 2 倍,求球 O 的表面积.

19、(本题 12 分)三棱锥 V-ABC 的底面是腰长为 5 底边长为 6 的等腰三角形,各个侧面都和底面成 450 的二面角,求三棱锥的高.

41

42

20、(本题 12 分) 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=A1C1,AC1⊥A1B,M,N 分别是 A1B1,AB 的中点。 (1)求证:面 ABB1A1⊥面 AC1M; (2)求证:A1B⊥AM; (3)求证:面 AMC1∥面 NB1C

A1 M B 1

C1

A N B

C

21、(本题 12 分)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=1, 2∠BCD=∠BAD=90 。 现将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角。 (1)求证:平面 ABC⊥平面 ADC; (2)求二面角 A-BC-D 的正切值的大小。
0

A

D

A

B B C C

D

22、(本题 14 分)如图,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面 AC,且 PA=1 (1)问 BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ⊥QD,并说明理由; (2)若 BC 边上有且只有一个点 Q,使得 PQ⊥QD;求这时二面角 Q-PD-A 的大小。

P

A

D

B

Q

C

43

2005 年春学期高二数学第一次月考试卷答卷纸
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 A 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、 30
0

14、

2

3

15、

4

16、

② ④

三、解答题: 17.已知: a ? ?,b ? ?,a ∥ b 求证: a ∥ ?

β

a

证明: a ∥ b,? 直线a与b可确定一个平面β , ? 又 ? b ? ?, ? ? ?=b, ? 假设直线a与平面?不平行,又? 直线a在平面?外, ? 直线a与平面?一定相交,设a ? ? ? P, 则P ? b, ? a ? b ? P, 这与已知条件a与b平行矛盾 ? 假设直线a与平面?不平行不成立, ? a ∥?
18、球 平面 的球面上有三点 , , ,已知 , , ,且球半径是球心 到

α

P

的距离的 2 倍,求球

的表面积.

答案:300 ? 19、解:过点 V 作底面 ABC 的垂线,垂足为 O ∵各个侧面和底面成 45 的二面角 ∴点 O 为三角形 ABC 的内心 设 OD= x ,则有
0

V

1 1 (5 ? 5 ? 6) x ? ? 6 ? 4 2 2 3 ∴x= 2 3 ∴三棱锥的高 VO 为 2
20、 证明:(1)∵三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱 ∴AA1⊥面 A1B1C1 ∴AA1⊥C1M ∴C1M⊥A1B1
A1

A D

C O B

∵BC=A1C1,M 是 A1B1 的中点 AA1 ? A1 B1

C1 又 M B1

? A, AA1 ? 面AA1BB1 ? 面AC1M
A

A1B1 ? 面A1ABB1, 面ABB1A1 ? (2)

C N B

44

? A1B ? AC1,C1M ? 面A1ABB1, A1B ? AM ?
(3) ? M、N分别是A1 B1,AB的中点, 四边形ANB1 M是平行四边形, ? ? AM ∥ B1 N, AM ∥ 平面NB1C,由C1 M ? 平面A1 ABB1同理可证 ? CN ? 平面A1 ABB1, C1 M ∥ CN,C1 M ∥ 平面NB1C ? 又AM ? C1 M=M, 平面AMC1 ∥ NB1C ?
A

A

D

B

D

证明() 2?BCD=?BAD=90?, ?BCD=45? 1? ? 又 ? AD平行BC,AD=AB ?△BAD,△BDC为等腰直角三角形 ? 二面角A-BD-C为直二面角, ? BD CD ? CD ? 平面ABD

B

C
C

又 ? AB ? 平面ABD, CD ? AB,又? AB ? AD, ? AD ? CD=D, AB ? 平面ACD, 平面ABC ? 平面ADC ? ?
(2)过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,则 AE⊥平面 BCD,过点 E 作 EF⊥BC,垂足 为 F,连结 AF,则∠AFE 为二面角 A-BC-D 的平面角,过点 D 作 DG⊥BC,垂足为 G,

? AB ? AD ? 1,? BD ? 2 ,? AE ? 2 1 ? EF ? ,? tan?AFE ? 2 ? 2 1 2 2

2 ,? BD ? DC ? 2 ,? BC ? 2,? DG ? 1, 2
22、(本题 14 分)如

图,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面 AC,且 PA=1 (1)问 BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ⊥QD,并说明理由; (2)若 BC 边上有且只有一个点 Q,使得 PQ⊥QD;求这时二面角 Q-PD-A 的大小。 解:存在点 Q,使得 PQ⊥QD,连结 AQ, ∵PA⊥平面 AC ∴欲使 PQ⊥QD,只要 DQ⊥AQ 即可,过点 Q 作 QE⊥AD,垂足为 E 设 AE= x ,则 DE= a - x ,∴1= x ( a - x )

P

x 2 ? ax ? 1 ? 0,? x ?

a ? a2 ? 4 2

A

D

只要a 2 ? 4 ? 0,即a ? 2即可,而已知条件 ? 0 a ? 在BC边上存在点 ,使PQ ? QD Q
B Q C
45

? BC边上有且只有一个点 ,使得P Q ? QD, a ? 2 Q ? 过点A作AG ? P Q,过点G作GH ? P D,垂足分别为 ,H,连结AH G ? DQ ? AQ,P A ? DQ,P A ? AQ=A, DQ ? 平面PAQ ? 又 ? AG ? 平面PAQ, DQ ? AG,又 ? AG ? P Q,P Q ? QD=Q, ? ? AG ? 平面PQD, ?AHG为二面角Q-P D-A的平面角 ?
(2)? AQ=

1? 2 6 2,P A=1, P Q= 3, AG= ? ? = 3 3

1? 2 2 5 又 ? AD=2, P D= 5, AH= ? ? = 5 5 6 AG 30 30 ? sin ?AHG ? ? 3 ? ? ?AHG ? arcsin AH 2 5 6 6 5

46

立几测试 008
一、选择题:(每小题 3 分,共 30 分)
1、空间两条直线 a、b 与直线 l 都成异面直线,则 a、b 的位置关系是( A、平行或相交 ; B、异面或平行; C、异面或相交; D、平行或异面或相交 )

2、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,则棱 A1B1 所在直线与面对角线 BC1 所在直线间的距离是 ( A、 )

2 a 2

B、a

C、

2a

D、

a 2

王新敞
奎屯

新疆

3、若一条直线与平面成 45°角,则该平面内与此直线成 30°角的直线的条数是( A、0 B、1 C、2 D、3



4、三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 )





5、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,则侧面与底面所成的角等于( A.30° B.45° C.60° D.75°

6、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 AC1 与面 ABCD 所成的角为α、AC 与 AB 所成的角为β AC1 与 AB 所成的角为γ,则有成立 ( )

A. sinα=sinβsinγ C. cosγ=cosβcosα
(A)

B. cosα=sinβcosγ D. sinα=cosβsinγ
)_ (C)

7、三棱锥 A—BCD 的棱长全相等, E 是 AD 中点, 则直线 CE 与直线 BD 所成角的余弦值为(

3 6

(B)

3 2

33 6

(D)

1 2

8、若四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB=PD= 2a ,则在它的 五个面中,互相垂直的面共有
A.3 对 B.4 对 C.5 对





D.6 对 ( (C) 50????????????????D) 200? )

9、 长方体一个顶点上三条棱的长分别为 3, 4, 5, 且它的八个顶点都在同一 个球面上,这个球的表面积是 (A) 20 2 ? (B)25 2 ?

10、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等。则动 点 P 的轨迹大致为 D A
1 1

( C B
1



D
A

P 。

1

C B

47

A、

B、

C、

D、

二、填空题:(每小题 4 分,共 20 分) 11、三棱锥 V-ABC 的三条侧棱两两为 300 角,在 VA 上取两点 M、N,VM=6,VN=8,用 线绳由自 M 向 N 环绕一周,线绳的最短距离是
12、在正四棱锥 P—ABCD 中,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°, 则异面直线 PA 与 BC 所成 角的正切值为 ;

13、在 120°的二面角内和二面角的棱距离为 20cm 的一点,到二面角的两个面的距离相等,则这个距离等于 _

14、已知两异面直线 a、b 所成的角为

? 3

,直线 L 分别与 a、b 所成的角为 ? ,则的 ? 取值范围是 A

.

三、解答题: (每题 10 分,共 50
16、10 分) ( 已知正三棱锥 S ? ABC 的高 SO ? h , 中点 O? 平行于底面的截面 ?A?B?C ? 的面积
王新敞
奎屯 新疆

分)
斜高 SM ? l ,求经过 SO 的

17、(10 分) 有三个球,一球切于正方体的
各棱,一球过正方体的各项点,求这三个球的体积之比.
C

各面,一球的切于正方体的

18、如图,已知直棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90? ,
?BAC ? 30? , BC ? 1 , AA ? 6 , M 是 CC1 的中点。 1
求证: AB1

B M

A

C1 B1
A1

? A1M

19、(10 分)正三棱锥 V-ABC 的底面边长是 a, 侧面与底面成 60°的二面角。 求(1)棱锥的侧棱长 (2)侧棱与底面所成的角的正切值。

48

20. (本小题满分 10 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 (1)求证: PB ? 面 PAD ; (2)求点 A 到平面 PBD 的距离; (3)求直线 AB 与平面 PBD 的成角的大小

3 ,BC=3,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使点 C 移到 P 点,且 P 在平

面 ABD 上的射影 O 恰好在 AB 上。

P (C )
B A B

C

D

O
D

A

49

参考答案 一、选择题答案: 1 2 3 D A A 二 填空题答案: 11、 14、. 10 12、

4 A

5 C

6 C

7 A

8 C

9 C

10 C

2 15、

13、

10 3

?? ? ? ?6 , 2? ? ?

10 5

三、解答题:(每题 10 分,共 50 分)
16 解:连结 OM , OA ,在 Rt ?SOM 中, OM

? l 2 ? h2 .

∵棱锥 S ? ABC 是正三棱锥,∴ O 是 ?ABC 中心, ∴ AB ? 2 AM

? 2OM ? tan 60? ? 2 3 l 2 ? h2 ,

S?ABC ?

3 AB 2 ? 3 3(l 2 ? h2 ) , 4

S?A?B?C? h?2 1 由棱锥截面性质得: ? 2 ? , S?ABC h 4


S?A?B?C? ?

3 3 2 (l ? h2 ) 4

17、解分析:本例涉及四个几何体,看似繁杂光绪,但三个球都与正
体有 用正方体棱长表示球半径的关系式.



关,故以正方体为主线,分析三个球分别与正方体的关系,得到

解:设正方体棱长为 ,则由图 2 可知,与正方体各面相切的球半径 ;过各项点的球半径为

;与各棱相切的球半径

所以,三个球的体积之比

50

18、(10 分)解:【法一】 ?ACB ? 90? 所以 B1C1

? B1C1 ? AC1 ,又三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 1

? 面 AC ,连结 AC ,则 AC1 是 AB1 在面 AC 上的射影 1 1 1

在四边形 AAC1C 中, 1

? AA1 A1C1 ? ? 2 ,且 ?AA1C1 ? ?A1C1 M ? , 2 A1C1 C1M
? AB1 ? A1M

??AAC1 ? ?AC1M , ? AC1 ? A1M 1 1

【法二】以 C1B1 为 x 轴, C1 A 为 y 轴, C1C 为 z 轴建立空间直角坐标系 1 由 BC ? 1 , AA 1

? 6 , ?ACB ? 90? , ?BAC ? 30? ,
6 ) , B1 (1,0,0) 2

易得 A (0, 1

3,0) , A(0, 3, 6) , M (0, 0,

???? ????? 6 ? AB1 ? (1, ? 3, ? 6) , A1M ? (0, ? 3, ) 2
???? ????? 6 ? AB1 ?A1M ? 0 ? 3 ? (? 6) ? ?0 2

???? ????? ? AB1 ? A1M

所以 AB1

? A1M

19、 (10 分)解:(1)过 V 点作 V0⊥面 ABC 于点 0,VE⊥AB 于点 E
∵三棱锥 V—ABC 是正三棱锥 则 OA= ∴O 为△ABC 的中心

2 3 3 1 3 3 ? a? a ,OE= ? a? a 3 2 3 3 2 6
∴∠VEO=60°

又∵侧面与底面成 60° 角

则在 Rt△VEO 中;V0=OE·tan60° =

3 a a? 3 ? 6 2
2 2

a a 7a 2 21a 在 Rt△VAO 中,VA= VO ? AO ? ? ? ? 4 3 12 6
2 2

即侧棱长为

21 a 6

20、解:(1)? P 在平面 ABD 上的射影 O 在 AB 上,? PO ? 面 ABD 。 故斜线 BP 在平面 ABD 上的射影为 AB 。 又? DA ? AB ,? DA ? BP ,又 BC ? CD ,? BP ? PD

? AD ? PD ? D ? BP ? 面 PAD (2)过 A 作 AE ? PD ,交 PD 于 E 。 ? BP ? 面 PAD ,? BP ? AE ,? AE ? 面 BPD 故 AE 的长就是点 A 到平面 BPD 的距离 ? AD ? AB , DA ? BC ? AD ? 面 ABP ? A D? A P
在 Rt ?ABP 中, AP ?

AB2 ? BP2 ? 3 2 ;

在 Rt ?BPD 中, PD ? CD ? 3

3
51

在 Rt ?PAD 中,由面积关系,得 AE

?

AP?AD 3 2 ? 3 ? ? 6 PD 3 3

(3)连结 BE ,? AE ? 面 BPD ,? BE 是 AB 在平面 BPD 的射影

? ?ABE 为直线 AB 与平面 BPD 所成的角
在 Rt ?AEB 中, sin ?ABE

?

AE 2 , ? AB 3

??ABE ? arcsin

2 3

52

立几测试 009
一、选择题(本大题共 12 小题,每道小题 5 分,满分 60 分) 1.直线 a、b、c 交于一点,经过这三条直线的平面( A.有 0 个 C.有无数个 B.有 1 个 D.可以有 0 个,也可以有 1 个 )

2.直线 l 1 、 l 2 互相平行的一个充分条件是( A.l 1 、 l 2 都平行于同一平面 C. l 1 平行于 l 2 所在的平面

B. l 1 、 l 2 与同一平面所成的角相等 D. l 1 、 l 2 都垂直于同一平面 )

3.如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角( A.相等 B.相等或互补 C.互补

D.无确定关系 )

4. 已知等边三角形 ABC 的边长为 1, BC 边上的高将它折成直二面角后, A 到直线 BC 的距离是 沿 点 (

A.1

B.

14 4

C.

2 2

D.

3 2
是异面线段 A1 D 和

5. 如右图, 正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,E、F

AC 的中点,则 EF 和 BD1 的关系是
A.相交不垂直 C.平行直线 B.相交垂直 D.异面直线 直线 a ? ? ,则在 ? 内

6.已知平面 ? ∥平面 ? ,它们之间的距离为 2 , 与直线 a 的距离为 2 的直线有( A.一条 B.两条 ) C.无数条 D.不存在

7.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一 条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

8.给出下列命题:①平行于三角形两边的平面平行于三角形的第三边;②垂直于三角形两边的直线垂直于 三角形的第三边;③与三角形各顶点距离相等的平面平行于三角形所在平面;④钝角三角形在一个平面内的射 影可以是锐角三角形.其中假命题的个数是( )

53

A.一个

B.两个

C.三个

D.四个

9.如果直线 l、 m 与平面 ?、?、? 满足:

l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? , m ? ? ,那么(
A. ?



? ?且l ? m

B. ? D. ?

? ?且m // ?

C. m // ?且l

?m

? ?且? // ?
棱 DD1 的中点, 为底面 O 与直线 AM 所成的角的大

10.如图在正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 ABCD 的中点, 为棱 A1B1 上任意一点, P 则直线 OP 小为(
A.



? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.与 P 点位置有关

11. 在三棱锥 P—ABC 中, E、 分别是 PA、 D、 F AD∶DP= 1∶3, BE∶EP = 1∶2,CF = FP, 锥 P—ABC 的体积比是(
A.1∶3

PB 、 PC 上 的 三 个 点 , 则三棱锥 P—DEF 与三棱


C.1∶5 D.1∶6

B.1∶4

12.已知 E 是正方体 AC1 的棱 BC 的中点,则二面角 D1

? B1 E ? C1 的正切值是(
3 2



A.

5

B.

5 2

C.

3

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每道 4 分,满分 16 分) 13.长方体全面积为 24cm2,各棱长总和为 24cm,则其对角线长为 cm.

14.以正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点中 4 个为顶点,且 4 个面均为直角三角形的四面体是 (只要写出一个四面体即可). 15.已知球的表面积为 20π ,球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=2,BC=2 的距离为______________. 16.如图为正三棱柱的平面展开图,该正三棱柱的各侧面都是正方形,对这个正三棱柱有如下判断: ① AB1 // BC1 ; ② AC1 与 BC 是异面直线;

3 ,则球心到平面 ABC

③ AB1 与 BC 所成的角的余弦为

2 ; 4
_______.

④ BC1 与 A1C 垂直.其中正确的判断是 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分)

54

17. (本小题满分 12 分) 如图, 直升飞机上一点 P 在地面 ? 上的射影是 A , P 看地面 ? 内一物体 B 以 (不同于 A ),视线 PB 垂直于飞机玻璃窗所在平面 ? ,试证: ① 平面 ? 与平面 ? 必相交; ② 若 ? ? ? ? l ,则 l ? AB .

18. (本小题满分 12 分)如图,在正方体

ABCD? A1B1C1D1 中,

E、F 分别是 BB 、 CD 的中点. 1
① 证明: AD ? D1F ; ② 求直线 AE 与 D1F 所成的角; ③ 证明:平面

AED ? 平面 A1FD1 .

19.(本小题满分 12 分)如图,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,PA = AD = a,M、N 分别是线段 AB、PC 的 中点. ① 求证:MN // 平面 PDA; ② 求直线 AB 到平面 PDC 的距离.

P

N D C

A

M

B

20.(本小题满分 12 分)已知正三棱锥 A-BCD,∠BAC=20°,侧棱 AB = AC = AD = 2,点 E、F 分别 在 AC、AD 上,求△BEF 周长的最小值,并求此时直线 CD 与平面 BEF 所成的角.

21.(本小题满分 12 分)如图:在正三棱柱 截面 A1 EC ? 侧面AC1 .

ABC? A1 B1C1 中, E ? BB1 ,

55

① 求证: BE ? ② 若 AA 1

EB1 ;

? A1 B1 ,求平面 A1 EC 与平面 A1 B1C1

所成锐二面角的度数.

22. (本小题满分 14 分) 如图, 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2, 底面△ABC 是等腰直角三角形, 且 ∠ACB = 90°,AC = 2, D 是 AA1 的中点. ① 求异面直线 AB 和 C1D 所成的角 (用反三角函数表示); ② 若 E 为 AB 上一点, 试确定点 E 在 AB 上的位置, 使得 A1E⊥C1D; ③ 在②成立的条件下, 求点 D 到平面 B1C1E 的距离.

武汉外国语学校 2004——2005 学年度下学期期中考试 高二数学参考答案 一、选择题: 1.D 7.B 2.D 8.A 3.D 9.A 4.B 10.C 5.D 11.B 6.C 12.B

二、填空题: 13. 2

3

14. 四面体 A1

? ABC (答案不唯一)

15.1

16.②③

三、解答题: 17.解:①(反证法)假设平面 ? 与平面 ? 不相交,则有 ? // ? ???(2 分) ∵ PA ? ? ∴ PA ?

?

,又 PB ?

?

,故 PA与PB 重合,即 A、B 重合,这与已知 A、B 不重合矛盾,

∴假设不成立,即平面α 与平面β 相交 ????(6 分) ② ∵ PA ? ? , l ? ? 理可知: l ? AB ∴ PA ? l ,同理 PB ? l ,而直线 PB 在平面 ? 内的射影为直线 AB ,由三垂线定

??????????????(12 分)

56

18.解:① ∵ ABCD? A B1C1D1 是正方体,∴ 1

AD ? 面 DC1 .又 D1 F ? 面 DC1 ,∴

AD ? D1F .??????????????? (4 分)
② 取 AB 中点 G,连结 A1G 、FG.易证 GFD A1 是平行四边形.∴ A1G // D1 F . 1 设 A1G 与 AE 交于点 H, ?AHA (或其补角)是 AE 与 D1 F 所成的角.??(6 分) 1 ∵ ∴ E 是 BB 的中点, ∴ 1 Rt△ A1 AG ≌Rt△ABE, ?GA A ? ?GAH , 1

?AHA ? 90°,即 AE 与 D1F 所成的角为 90°.????????(8 分) 1 ? 面 AED.

③ 由①知 AD ? D1F ,由②得 AE ? D1 F ,∵ AD ? AE ? A ,∴ D1 F ∵

D1 F ? 面 A1FD1 ,∴ 面 AED ? 面 A1FD1 . ???????? (12 分)

19.解:①取 PD 的中点 E,连结 AE、EN ??????????????(1 分) 易知 EN//DC,且 EN ?

1 1 1 DC ,又∵AM//DC 且 AM ? AB ? DC ,∴AM//DC 且 AM=DC,所以四边形 2 2 2

AMNE 是平行四边形 ?????????????(4 分) ∴MN//AE,而 AE ? 平面 PDA,MN ? 平面 PDA,∴MN//平面 PDA???(6 分) ②由 AB//CD 知 AB//平面 PDC,故直线 AB 到平面 PDC 的距离等于点 A 到平面 PDC 的距 离 ??????????????????????????????(7 分) ∵PA = AD,E 是 PD 的中点, ∴AE⊥PD, ∵PA⊥矩形 ABCD 所在平面, ∴CD⊥平面 PDA, AE ? 平面 PDA, 而 ∴CD⊥AE,又 PD ? CD=D,∴AE⊥平面 PDC,故 AE 的长即为点 A 到平面 PDC 的距 离 ??????????????(10 分) ∵PA ⊥ AD,PA = AD=a,且 E 是 PD 的中点,∴ AE ?

2 a ,即直线 AB 到平面 PDC 的距离为 2

2 a ??????????????????????(12 分) 2
20.解:将侧面沿着棱 AB 剪开,展成平面(如图)????????(2 分) 此时点 B 被一分为二,若使三角形周长最小连接 BB′,BB′与 AC、AD 的交点就是所求 E、F ????????(4 分)

∵∠BAC =∠BAD =∠DAC = 20°

57

∴△ABB′为等边三角形,所以周长最小值为 2 ????(7 分) ∵∠ABE =∠AB′F = 60°,∠BAE =∠B′AF = 20° ∴∠AEF =∠AFE,∴AE = AF ???????????(9 分) 又 AC=AD,∴CD∥EF , 又 EF ? 面BEF , CD ? 面BEF ∴CD∥面 BEF,∴直线 CD 与平面 BEF 所成的角为 0°???????(12 分)

21.解:① 在截面 A1 EC 内,过 E 作 EG ?

A1C ,G 是垂足

∵面 A1 EC ? 侧面AC1 ,∴EG⊥侧面 A1C ????????????(1 分) 取 AC 的中点 F,连结 BF,FG,由 AB=BC,得 BF⊥AC ∵ 面ABC ? 侧面A1C ,∴BF⊥侧面 AC1 ,得 BF∥EG ???????(3 分) BF、EG 确定一个平面,交侧面 AC1 于 FG ∵ BE // 侧面A1C , ∴BE∥FG,四边形 BEGF 是平行四边形,∴BE = FG ?????????(5 分) ∵ BE // AA ,∴ FG // AA , ?AA C 1 1 1 ∴ FG ?

~ ?FGC ;∵ AF ? FC ,

1 1 1 AA1 ? BB1 ,即 BE ? BB1 ,故 BE ? BB1 ???????(6 分) 2 2 2

② 分别延长 CE、 C1 B1 交于点 D,连结 A1 D ∵ EB1 // CC1 , EB1 ? ∴ ?DA C1 1 ∵ CC1

1 1 1 BB1 ? CC1 ∴ DB1 ? DC 1 ? B1C1 ,又 A1 B1 ? B1C1 , 2 2 2

? 90? ,即 DA1 ? A1C1 ????????????????(8 分)
∴ ?CA1C1

即 根据三垂线定理, DA ? A1C 得 ? 面A1C1 B1 , A1C1 是 A1C 在平面 A1C1 D 上的射影, 1

是二面角的平面角 ????????????(10 分) ∵ CC1

? AA1 ? A1 B1 ? A1C1

?A1C1C ? 90?

∴ ?CA1C1

? 45? , 即所求二面角为 45° ???????????? (12 分)

22.解:① 取 CC1 的中点 F, 连接 AF, BF, 则 AF∥C1D. ∠BAF(或其补角)为异面直线 AB 与 C1D 所成的角??(2 分)∵△ 角三角形, AC=2, ∴AB=2 ABC 为等腰直 ∵

2 .又∵CC1=2, ∴AF=BF= 5 .

cos?BAF ?

2 5

?

10 10 , ∴即异面 , ∴ ?BAF ? arccos 5 5

直线 AB 与 C1D

58

所成的角为 arccos

10 . ??(5 分) 5

② 过 C1 作 C1M⊥A1B 1, 垂足为 M, 则 M 为 A1B1 的中点,且 C1M⊥平面 AA1B1B. 连接 DM. ∴DM 即为 C1D 在平面 AA1B1B 上的射影. ??????????(7 分) 要使得 A1E⊥C1D, 由三垂线定理知, 只要 A1E⊥DM. ??????????(8 分) ∵AA1=2, AB=2

2 , 由计算知, E 为 AB 的中点. ???????????(10 分) 2,

③ 连接 DE, DB1. 在三棱锥 D ? B1C1E 中, 点 C1 到平面 DB1E 的距离为 B1E=

6 , DE= 3 , 又 B1E⊥DE, ∴△DB1E 的面积为

3 2 . ∴三棱锥 C1—DB1E 的体积为 2

1. ??????????????????????????(12 分) 设点 D 到平面 B1C1 E 的距离为 d, 在△ B1C1 E 中, B1C1 = 2, B1E =C1E=

6 , ∴△B1C1E 的面积为 5 . 由

1 3 5 ? d ? 5 ? 1, 得 d ? , 即点 D 到平面 B1C1 E 的距离为 3 5

3 5 .?????????????????????????????(14 分) 5

59

立几测试 010
二、 选择题 1.若点 Q 在直线 b 上,b 在平面 ? 内,则 Q、b、 ? 之间的关系可记作 ( A. Q ? b ? ? B. Q ? b ? ? C. Q ? b ? ? )

D. Q ? b ? ? ( )

2.已知 A、B 是两不重合的点,则以下四个推理中,错误的一个推理是 A. A ? l , A ? ? ; B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? ; B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB C. l ? ? , A ? l ? A ? ?

D.A、B、C ? ? , A、B、C ? ? ,且 A、B、C 三点不共线 ? ?与?重合 3.设 A、B、C 三点不共线,直线 m ? AB ,但 m 与 BC 不垂直,则 m 与 AC 一定 A.不垂直 B.不平行 C.不异面 D .垂直 ( ) ( )

4.对于直线 m, n 和平面 ? , ? ,则 ? ? A. m ? n, m // ? , n // ? C. m // n, n ?

? 的一个充分条件是

B. m ? n,? ? ? ? m, n ? ? D. m // n, m ? ? , n ?

?,m ? ?
B.互补
2

?
( ) D.不能确定 ( )

5.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是 A.相等 C.相等或互补

6.长方体的表面积为 22cm ,所有棱的总长度为 24cm ,则长方体的对角线的长度是 A.

14cm
)

B.

11cm

C.

12cm

D.

13cm
0

7.设地球半径为 R,在北纬 30°的纬度圈上有 A、B 两地,它们的经度差为 120 ,则这两地间的纬度线长等于 ( A.

3?R

B. 2?R

C.

3 ?R 3

D. ?R ( )

8.若三棱锥的顶点在底面内的射影是底面三角形的内心,则下列命题错误的是 .. A.各侧面与底面所成的二面角相等 B.顶点到底面各边距离相等 C.这个棱锥是正三棱锥 D.顶点在底面的射影到各侧面的距离相等

9.正二十面体的面是正三角形,且每一个顶点为其一端都有五条棱,则其顶点数 V 和棱数 E 应是 ( A.V=30,E=12 B.V=12,E=30 C.V=32,E=10 D.V=10,E=32

)

10.在正方形 SG1G2G3 中, E 、 F 分别是 G1G 2 及 G2 G3 的中点, D 是 EF 的中点,现沿 SE 、 SF 及 EF 把 这个正方形折成一个四面体,使 G1 、 G2 、 G3 三点重合记为 G ,则必有( A. SG ? 平面 EFG B. SD ? 平面 EFG )

60

C. GF ? 平面 SEF

D. GD ? 平面 SEF

11.异面直线 a,b 所成角为 80? ,过空间一点作与直线 a,b 所成角都为 θ 的直线只可以作 2 条, 则 θ 的取值范围为 A. 80? <θ<100? ( )

B. 40? <θ<50? C.40? <θ≤50? D.50? <θ<90?

12.设 a,b,c 表示直线, M 表示平面,给出下列命题:①若 a // M , b // M ,则 a // b ;②若

b ? M ,a // b , a // M ; 则 ③若 a ? c ,b ? c , a // b ; 则 ④若 a ? M ,b ? M , a // b . 则
其中错误命题的个数为 A.0 B.1 ( ) C.2 D.3

13.有一高度为 100 米的山坡,坡面与坡脚水平面成 60? 角,山坡上的一条直道与坡脚的水平线成 30? 角,一 人在山脚处沿该直道上山至山顶,则此人行走了 ( A. 25 ) D. 25 米

3米

B. 100 米

C. 400

3 3米

14. 已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , PA ? ? 于 A , PB ? ? 于 B , PA ? 5, PB ? 4 ,设 A 、 B 到二面 角棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是下列图中的( )

A

B

C

D )

15. 已知等边三角形 ABC 的边长为 1, BC 边上的高将它折成直二面角后, A 到直线 BC 的距离是 沿 点 (

A.1

B.

14 4

C.

2 2

D.

3 2

16.如右图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E、F 是异面线段 A1 D 和 AC 的中点,则 EF 和 BD 的关系是 1 ( ) B.相交垂直 D.异面直线

A.相交不垂直 C.平行直线

17.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一条侧 棱和高作截面,正确的截面图形是( )

61

18.给出下列命题:①平行于三角形两边的平面平行于三角形的第三边;②垂直于三角形两边的直线垂直于三 角形的第三边;③与三角形各顶点距离相等的平面平行于三角形所在平面;④钝角三角形在一个平面内的射影 可以是锐角三角形.其中假命题的个数是( A.一个 B.两个 C.三个 ) D.四个 )

19.如果直线 l、 m 与平面 ?、?、? 满足: l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? , m ? ? ,那么( A. ?

? ?且l ? m

B. ?

? ?且m // ?

C. m // ?且l

?m

D. ?

? ?且? // ?

20.如图在正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中点,P 为棱 A1B1 上任 意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角的大小为 ( )

? 4 ? C. 2
A.

B.

? 3

D.与 P 点位置有关

21.在三棱锥 P—ABC 中,D、E、F 分别是 PA、

PB、PC 上的三个点, FP,则三棱锥 P—DEF

AD∶DP= 1∶3, BE∶EP = 1∶2,CF =
与三棱锥 P—ABC 的体积比是(
A.1∶3 B.1∶4


D.1∶6

C.1∶5

22.已知 E 是正方体 AC1 的棱 BC 的中点,则二面角 D1

? B1 E ? C1 的正切值是(
D.



A.

5

B.

5 2

C.

3

3 2

23.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 ( A. )

100π 3 208π 3 500π 3 416 3π 3 B. C. D. cm cm cm cm 3 3 3 3 24.正三棱锥的底面边长为 2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为 ( )

A.

2 2 3

B. 2

C.

2 3

D.

4 2 3

25.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ① 若 m⊥ ? ,n∥ ? ,则 m⊥n; ② 若 ? ∥ ? , ? ∥ ? ,m⊥ ? ,则 m⊥ ? ;

62

③ 若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n; ④ 若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? 。 其中正确命题的序号是 (A)①和② ( ) (C)③和④ (D)①和④

(B)②和③

26.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一 动点, P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等, 若 则动点 P 的轨迹 所在的曲线是 (A) 直线 (B) 圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线 27.下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱 柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两全等,则该四棱柱为直四棱柱。 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)。
? ,则球心 O 到平面 ABC 2

(

)

28.已知球 O 的半径为 1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 的距离为( A
1 3

) B
3 3

C

2 3

D

6 3
D1 E1 F1 B1 C C1

29.如图,在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,

AB ? 6, AD ? 4, AA1 ? 3 ,分别过 BC、 A1 D1
的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积 分别记为 V1 若 V1

A1 D E F

? VAEA1 ?DFD1 , V3 ? VB1E1B?C1F1C 。

A

B

: V2 : V3 ? 1 : 4 : 1 ,则截面 A1 EFD1 的面积为 ( 10
) B 垂直 D 异面且成 60°的角 (B) 8

)

(A) 4

3

(C) 4

13

(D) 16 C D A B 其对角线长为 cm. 正方体中的位置关系是

30.将正方体的纸盒展开(如右图), 直线 AB, CD 在原来 ( A 平行 C 相交且成 60°的角 二、填空题 31.长方体全面积为 24cm2,各棱长总和为 24cm,则

32.以正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点中 4 个为顶点,且 4 个面均为直角三角形的四面体是 (只要写出一个四面体即可).

63

33.已知球的表面积为 20π ,球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=2,BC=2 的距离为________.

3 ,则球心到平面 ABC

34.如图为正三棱柱的平面展开图,该正三棱柱的各侧面都是正方形,对这个正三棱柱有如下判断: ① AB1 // BC1 ; ② AC1 与 BC 是异面直线;

③ AB1 与 BC 所成的角的余弦为 ④ BC1 与 A1C 垂直. 其中正确的判断是_________.

2 ; 4

35.长方体的全面积为 11 ,所有棱长之和为 24 ,则这个长方形对角线长为______。 36.已知 PA 为平面 ? 的一条斜线, AC 在平面 ? 内, P 到 ? 的距离为 1 , PA ? 2 ,则 ?PAC 的取值范围 用区间表示为______________________。 37.已知异面直线 a 、 b 的公垂线段 AB 长为

37 ,点 A 、 M 在直线 a 上, AM ? 6 ,若直线 a 、 b 所成的

角为 60? ,则点 M 到直线 b 的距离=________。 38.在四面体 ABCD 中,平面 CBD ? 平面 ABD , DA ? 平面 ABC ,给出下列结论: ① AB ? BD ; ② AB ? BC ; ③平面 ABC ? 平面 ABD ; ④平面 CBD ? 平面 ACD .其中正确结论的序 号为______________。 39.棱长为 a 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 AC、A1B1 的距离是 40.用平面α 截半径为 R 的球,如果球心到平面α 的距离为 ___。

R ,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为_ 2

三、解答题:
41. 在正三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 6, PA ? 5 。(1)求此三棱锥的体积 V ;(2)求二面角 P ? AB ? C 的 正弦值。

42. 如图,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 120? ,

AC ? ? , BD ? ? , AC ? l , BD ? l , AC ? BD ? 3 , CD ? 4 。
(1)求 AB 的长;(2)求直线 AB 与 CD 所成的角。

?

D A C l

B

?

64

43. 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, 求证: (1) 平面 A BD ? 平面 ACC1 A ; 求直线 A B 与平面 ACC1 A 1 1 1 (2) 1 1

D1 A1 B1 C1

所成的角。

D A B

C

44. 在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD ,M 、N 分别为 AB 、 PC 的中点。(1)求证: MN // 平面 PAD ;(2)当二面角

P ? CD ? A 的大小为多少时,就有 MN ? 平面 PCD 成立,证明你的结论。
P

N A M B C D

45. 已知正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E 为棱 CC 1 上的
D1 C1 B1 E D C A B

点.

(1)求证: A1 E ⊥ BD ; (2)求平面 A 1 BD 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 所成二面角的余弦值; (3)当 E 恰为棱 CC 1 的中点时,求证:平面 A1 BD ⊥平面

A1

EBD ;

46. 如图, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,? ABC= ? BCD=900, AB=BC=PB=PC=2CD, 侧面 PBC ? 底面 ABCD.(1)求斜线 PB 与平面 ABCD 所成角大小. (2)PA 与 BD 是否相互垂直,请证明你的结论. (4)求证:平面 PAD ? 平面 PAB. (3)求二面角 P-BD-C 的大小.

P

D

C

65

A

B

47. 如图,在正方体 ABCD? A B1C1D1 中, E、F 分别是 BB 、 CD 的中点. 1 1 ① 证明: AD ? D1F ; ② 求直线 AE 与 D1F 所成的角;

③ 证明:平面

AED ? 平面 A1FD1 .

48.(本小题满分 12 分)如图,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,PA

= AD = a,
N

M、N 分别是线段 AB、PC 的中点.
① 求证:MN

P

// 平面 PDA;

D

C

② 求直线 AB 到平面 PDC 的距离.

A

M

B

49. (本小题满分 14 分)如图, 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面△ABC 是等腰直角三角形, 且

∠ACB = 90°,AC = 2, D 是 AA1 的中点.
① 求异面直线 AB 和 C1D 所成的角 (用反三角函数表示); ② 若 E 为 AB 上一点, 试确定点 E 在 AB 上的位置, 使得 A1E⊥C1D; ③ 在②成立的条件下, 求点 D 到平面 B1C1E 的距离.

66

50.

如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、PB 的中点.

(Ⅰ)求证:EF⊥CD; (Ⅱ)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论; (Ⅲ)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小.

51. 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ?

1 AA1 , 2
A1

D1 B1

C1

1 点 G 为 CC1 上的点,且 CG ? CC1 。 4
(1)求证: CD1 ? 平面 ADG ; (2)求二面角 C ? AG ? D 的大小(结果用反余弦表示)。

D A B

C

52.在直角梯形 P1DCB 中,P1D//CB,CD//P1D 且 P1D = 6,BC = 3,DC = 6 ,A 是 P1D 的中点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P-CD-B 成 45° 角,设 E、F 分别是线段 AB、PD 的中点. (1)求证:AF//平面 PEC; (2)求平面 PEC 和平面 PAD 所成的二面角的大小; (3)求点 D 到平面 PEC 的距离. P C P1 A D

B F

A E B C

D

67

53.已知在正方体 ABCD —A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG = 求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值; (3)求二面角 F—EG—C1 的大小(用反三角函数表示).

1 CD .(1) 4

54.在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 棱长 AA 1 点,求证: B1D1

。 ? 2 (Ⅰ)

E 为棱 CC1 的中

? AE ;(Ⅱ)求二面角 C-AE-B 的平面角的正切值;(III)求点 D1 到平面 EAB 的距离。

55. 如图,已知四棱锥 P——ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧面 PDC 为正三角形,且平面 PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点. (1)求证:PA//平面 EDB; (2)求证:平面 EDB⊥平面 PBC; (3)求二面角 D—PB—C 的大小.

56.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD.底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC, AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.

68

(1) 求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (2) 求证:PC∥平面 EBD; (3) 求二面角 A—BE—D 的大小(用反三角函数表示).

57.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形且∠ABC=120° ,PA⊥底面 ABCD,AB=1,PA= 中点.(Ⅰ)求直线 DE 与平面 PAC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 E ? AD ? C 平面角的正切值;

3 ,E 为 PC 的

(Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M,使 PC⊥平面 MBD 成立.如果存在,求出 MC 的长;如果不存在,请说 明理由. P

E

D

C

A

B 58.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是正方形 A1B1C1D1 的

中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP. (Ⅰ)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H⊥AP; (Ⅲ)求点 P 到平面 ABD1 的距离.
D1 O · A1 · H P D A B C B1 C1

59 如图,在正三棱柱 ABC=A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面 经过棱 CC1 到 M 的最短路线长为

29 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N,求:

(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (II)PC 和 NC 的长;

69

(III)平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)。

60.如图所示的几何体中,底面 ABCD 是边长为 6

的正方形, ?EAD 是以

?E 为顶点的等腰直角的三角形,且垂直于底面。
若 EF ? 平面EAD, EF ? 3 。 R为BC 边上的中 三等分。(1) 求证: AG ? FB ,RH ? FB (2) 求二面角 A ? FB ? C 的大小。 (3) 求该几何体体积。 E G C H R A
B

点,G,H为FB 上的两个

F

D

70

参考答案
选择题: B C A A C;
填空题

C B

B; B

A C C

C

C A;

B

A; D ②④

B B

D C

C

B D .

B ;

D

B

A

31. 2 3 37. 8 解答题: 41. 3 39 ,

32.

A ? ABC

33. 1 39. a

34. 2,3

35. 5

? ? 5? ? 36. ? , ? ?6 6 ?

38. 2,3

40. 3:16

13 4

42. 43 arctan

3 3 4

43. 300
2 a 2 3 2 2

44. 45 0

45.

3 3

46. 60 0 , arctan 15
3 6

47. 90 0
10 10

48.

49. arctan

10 3 5 , 5 5

50. arcsina
2 5 5

51. arccos

52. 300

53.

51 ? ? arctan 13 17

54. 3

55. arctan 6
3 2 2

56. 600 arctan 5
4 5

57. 300
4 5

arctan 2

6 4
45

58. arctan

4 17 17

59.

97

2

arctan

60. 1200

71


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