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2013年全国高中数学联赛湖南省赛区预赛


2013 年湖南省高中数学竞赛试题 一、填空题(每小题 8 分,共 72 分) 1 .设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? log3 x ,若 x ? 1 ,则将 a、b、c 按从小到大的顺序排列
x x 4

3 4

4 3





2.已知 a, b

为常数,若 f ( x) ? x 2 ? 2x ? a , f (bx) ? 4x 2 ? 4x ? 1 ,则 f (ax ? b) ? 0 的 解集为 . 3.已知向量 a? (0, 1 ), b? (?

3 1 3 1 ,则 , - ), c? ( , - ), xa ? yb ? zc ? ( 1 , 1 ) 2 2 2 2
2 2 Sn ? ?a12 ,对任何等差数列 {an } 及任何正 2 n

x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为



4.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若不等式 an ? 整数 n 恒成立,则 ? 的最大值为 .

5.平面上三条直线 x ? 2 y ? 2 ? 0,x ? 2 ? 0,x ? ky ? 0 ,如果这三条直线将平面划分成 六个部分,则 k 可能取值的个数是
?


?

6.已知异面直线 a、 b 成 60 角, P 为空间中一定点,则过点 P 且与 a、 b 均成 45 角的平 面的个数是 . 7. 有一个 1, 2, 3, …, 9 的排列, 现将其重新排列, 则 1 和 2 不在原来位置的概率是 . (答 案中可含有排列数表示式)

(x ? 20?) ? cos (x ? 10?) ? cos (x ? 10?) 8.若 sin ,则 tan x ?
9.今天(2013 年 7 月 19 日)是星期五,则 3
2013

. .

天之后是星期

二、解答题(共 4 个小题,共 78 分) 10. (19 分)如图所示,在对边乘积相等的圆内接凸四边形 ABCD 中, M 为对角线 BD 的 中点, T 为劣弧 BC 上一点,且 CT // DB ,求证: A、M、T 三点共线.

11.(19 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 . ,an?1 ? 2an ?( 1 n ? N ?) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ??? ? n ? . 2 3 a2 a3 an?1 2

1

x2 y2 ? ?( 1 a ? b ? 0) 上一点. a 2 b2 0) (1)设直线 l 为过点 P 的椭圆的切线,试求过椭圆焦点 F(- c, 且垂直于 l 的直线方程;
12.(20 分)已知 P(x0,y0) 为椭圆 (2)求证:椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心,且过长轴顶点 的圆. 13.2013 个白球和 2014 个黑球任意排成一列,求证:无论如何排列,都至少有一个黑球, 其左侧(不包括它自己)的黑球和白球的个数相等(可以为 0).

解答 1. c ? a ? b

3 x 3 x 4 x ?1 3 1- x 4 4 3 4 数,可得 0 ? a ? b .由对数函数 y ? log3 x 为减函数,可得 c ? log3 x ? 0 ,故 c ? a ? b .
4

( )为减函 ( ) ,b ? ( ) ? ( ) ,又 x ? 1 则 1 ? x ? 0 . 由指数函数 y ? 提示:a ?
4

2. {x ? R | x ? 1}

2b ? -4,a ? 1三式同时成 提示:因为 f (bx) ? b2 x 2 ? 2bx ? a ? 4x 2 ? 4x ? 1 ,所以 b ? 4,
2

,b ? -2 ,故 f (ax ? b) ? 0 ,可化为 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 . 立,由此解得 a ? 1
2

3.

4 3

提示:由 xa ? yb ? zc ? ,得 ( 1 , 1 )

? 3 3 ? ?- 2 y ? 2 z ? 1 ? ? x ? y ? z ?1 ? 2 2 ? ? 3 ?1 ? ?- (y ? z) 即 ? 2 ? x ? y ? z ?1 ? 2 ? 2 ? ? y?z ?进一步变形,得 ? 3 ? 2 x ? 1) ?y ? z ? (
2 2 (y ? z) 2 2 2 2 (y ? z) ? x ? y ? z ? x ? 由于 2 2 2 ? x2 ? ( 2 x ? 1) ? 3 2 2 4 ?( 3 x? ) ? 3 3

2

故最小值为 4.

4 . 3

1 5
2 2 n

提示:由题意,

S2 1 ? n(n ? 1 )? 2 a ? n ? ?a1 ? (n ? 1 )d ? ? 2 ?na1 ? d? 2 n n ? 2 ? 5 2 2 ? 2a12 ? ( 3 n ? 1)a1d ? (n ? 1) d 4
? 3 ? 1 1 5 ? a12 ? ? a1 ? (n ? 1)d ? ? a12 . 5 2 5 ? 5 ?
此不等式恒成立, 故 ? 的最大值为 为负整数时,取最大值。
2

1 6a 6a 3 5 , 仅当 即 n ? 1? 1 且 1 a1 ? (n ? 1 )d ? 0 , 5 5d 5d 2 5

5. 3 个 提示:易知三条直线相交于一点或其中两条直线平行时,平面被分成六个部分.当 3 条直线 (2, 2) 相交于一点 时, 对应一个 k 值; 当直线 x ? ky ? 0 与 x ? 2 y ? 2 ? 0 或者 x ? 2 ? 0 平行, 则对应两个 k 值. 6. 2 个 提示: 原题可简化为已知两条相交直线 a、 b 成 60 角, 求空间中过交点且与 a、 b 均成 45 角的直线的条数.由最小角定理可知答案为 2.
7 57? A7 7. 9 A9 ?1
? ?

9 8 7 7 提示: A9 ? 2 A8 ? A7 ? 57A7

8. 提

3
示 : 由

? sin (x ? 20?) ? cos (x ? 10?) ? cos (x ? 10?) , 得 ? ? ? sin x cos20 ? cos x sin 20 ? 2 cos x cos10 ,等式两边同时除以 cos x ,得 tan x ? 3 .

9. 四

3 mo7 d), 3 ? ( 2 mod7), 3 ? ( 6 mod7), 3 ? ( 4 mod7), 提 示 : 因 为 3 ?(
1 2 3 4
6 7 35 ? ( 5 mod7) 1 mod7) 3 mod7) , 3 ?( ,3 ?( ,所以在模 7 的意义下周期为 6.又由于 2013 3 2013 ? ( 3 mod 7) ? 3(mod7) ?( 6 mod7) ,从而 3 .

10.

由题设,在圆内接四边形 ABCD 中, AB ? CD ? BC ? DA .连结 DT 、BT 、AC . 由 CT // DB 知四边形 DBTC 为等腰梯形,从而 CD ? TB,DT ? BC . 由 AB ? CD ? BC ? DA ,可知 AB ? BT ? DT ? DA . 注意到 ? ABT 与 ?TDA 互补,知

1 1 AB ? BT sin ?ABT ? DT ? DA sin ?TDA ,即 2 2

S?ABT ? S?ADT . 由此可知 AT 过 DB 的中点,故 A、M、T 三点共线.
3

11.
2 (1)因为 an?1 ? 2an ? 1 ,所以 an?1 ? 1 ? 2a(an ? 1 ) ? 2( an?1 ?1 ) ? ? ? ? ? 2n?1 ,

即 an ? 2n ?( . 1 n ? N ?) (2)因为

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? k ?1 1 ak ?1 2 ? 1 ( 2 2 ? 1) 2 2k ? ) 2 ( 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? k ,( k ? 1, 2, ? ? ?,n) . k k 2 3? 2 ? 2 ? 2 2 3 2
所以

a a1 a2 n 1 1 1 1 ? ? ??? ? n ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ) a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 n 1 1 n 1 ? ?( 1? n ) ? ? . 2 3 2 2 3
又因为

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? ,(k ? 1, 2, ? ? ?,n) k ?1 1 ak ?1 2 ? 1 ( 2 ( 2 2 ? 1 ) 2 k 22 ? ) 2
所以

a a1 a2 n ? ? ??? ? n ? . a2 a3 an ?1 2
综上可知,

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ??? ? n ? . 2 3 a2 a3 an?1 2
12. (1)易知直线 l 的方程为

x0 x y0 y ? 2 ? 1 .① a2 b y0 x x0 y 0) ? 2 ? F ? 0 ,将 F(- c, 代入方 b2 a

0) 设过焦点 F(- c, 且垂直于 l 的直线方程为
程得 F ? -

y0 c ,故要求的方程为 b2 y0 x x0 y y0 c ? 2 ? 2 ?0. ② b2 a b 0) (2)先考察左焦点 F(- c, 在切线上的射影. 2 ? c 1 x0 y0 x ? ( ? ), ? 2 4 ? D a b 由①②联立解得 ? x yc ? y ? 1( y0 ? 02 02 ) . 2 ? D a ab ?
2 2 x0 y0 其中 D ? 4 ? 4 . a b

4

x2 ? y 2 ?

2 c 2 y0 x0 y0c 2 ? 1 ? x0 y0 ( ? )? ( 2 ? 2 2 )? 2 ? 2 4 D ? a b b ab ?

2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 x0 y0 c y0 c y0 2 x0 y0 c x0 yc ? 1 ? x0 ? 2( ? ( 4 ? 2 4 ? 404 ) ? 4? 2 4 ? 8 ) ? D ? a ab b b ab ab ?

?

2 2 2 2 2 2 ? y0 y0 c y0 x0 1 ? x0 ( ? ) ? ( ? ) 2 ? 4 4 4 4 4 ? D ? a b b b a ?

2 2 ? y0 ? 1 ? y0 ? 2 2 ? 1? ? 4 ? 1? ? ? 4(a ? b ) ?b ? D ?b ? 2 2 2 y ? 1 ?a y ③ ? ? 40 ? ( 1? 0 ) ? D? b b2 ?

1 ? 2 D

因为 P(x0,y0) 为椭圆
2 2 y0 x0 1? 2 ? 2 b a

2 2 x0 y0 x2 y2 ? ? ( 1 a ? b ? 0 ) ? ? 1 ,即 上一点,所以 a 2 b2 a 2 b2



将④带入③,得
2 2 2 2 ? a 2 y0 x0 x0 1 ? a 2 y0 x ? y ? ? 4 ? 2? ? ( 4 ? 4) ? a2 . D? b a ? D b a 0) 对于右焦点 F(c, 在切线上的射影,同理可证。 2 2

13. 方法一: 对每一个黑球定义坐标为 B , 其中 x i 表示其左侧 (不含自 ( ,2, ? ? ?, 2014 ) i xi,yi)(i ? 1 己)的黑球数, yi 表示其左侧(不含自己)的白球数。 再定义特征函数 f(i) ? yi ? xi . 由题意知, xi ? ?0, ?,yi ??0,2013? ,且 xi 、 yi 均为非负整数。 2013

1) ? 0 ,若 f( 1) ? 0 ,则问题得证。 易知 f( f( 1) ? 0 , 考 虑 f(2 0 ) 1, 4 因 为 对 最 后 一 个 黑 球 , f(2014 ) ? y2014 ? x2014 ? y2014 ? 2013? 0 .


) ?0, ) ? 0 ,注意到 { yi } 递增(非严格) 若 f(2014 则问题亦得证; 若 f(2014 ,{xi }
以 1 为差距递增,即 xi ?1 ? xi ? 1.

f(i ? 1 ) ? f(i) ? (yi ?1 ? xi ?1) ? (yi ? xi) ? (yi ?1 ? yi) ? (xi ?1 ? xi) ? (yi ?1 ? yi) ? 1.
因为 (yi ?1 ? yi) ? 0 或 1,所以有 f(i ? 1) ? f(i) ??

?- 1,yi ?1 ? yi ? 0, ? 0,yi ?1 ? yi ? 1.

1) ? 0 , f(2014 ) ? 0 可知,必有 i0 满足 f(i0) 结合 f( ? 0 ,即必有 xi 0 ? yi 0 ,得

证.
5

方法二: 将 2014 个黑球从左至右依次记为 A1,A2,A3, ? ? ?,A2014 ,设 Ai 与 Ai ?1 之间白球的个数 为x , Ai 左侧的白球的个数为 x1 ,且记 Si ? ( ,2, ? ? ?, 2014 ) i i ?1 用反证法:假设原命题不成立,则 Si ? i ? 1 . 先考虑 Ai ,S1 ? x1 ? 0 ,所以 S1 ? 1 ;再考虑 A2 ,S2 ? 1 ,S2 ? S1 ? x2 ,由于 S1 ? 1 , 所以 S 2 ? 2 ……可得 S2014 ? 2014.这与题目共 2013 个白球矛盾!命题得证. . ? ? ?, 2014 ) ? x(i ? 1,2,
k ?1 k i

6


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