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对数的概念及运算


问题:
1.若2 ? 16, 则x ? 4
x

1 2.若3 ? , 则x ? ?3 27
x

3.若5 ? 9, 则x ? ?
x

归结:已知底数和幂的值,求指数的问题.

即指数式a ? N中,已知a和N 求x.
x

>对数

对数的概念
一般地,如果a ? N (a ? 0, 且a ? 1),
x

那么数x叫做以a为底N的对数,记作: x ? log a N , 其中a叫做对数的底数,N 叫做真数.
问题解决:若5x ? 9, 则x ? log5 9.

真数大于0,负数和0没有对数.

指数式与对数式
指数 幂值 真数 对数

log a ? N ?a N ? x
x
底数

例如:满足2x=3的x的值,我们用log23 表示,即x=log23,并叫做“以2为底3的 x=16,2x= 1 ,4x=8 对数”.那么满足2 4 的x的值可分别怎样表示?

两个重要的对数:
(1)通常把以10为底的对数叫常用对数,

并把 log10 N ,

简记作

lg N .

log 例如: log10 5 简记作lg5; 10 3.5 简记作lg3.5.

(2)自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,即以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 log e N 简记作lnN。

例如: log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10

例1

a ? N ? x ? log N
(1) (2) (3)

将下列指数式化为对数式: x a
54 ? 625

log5 625 ? 4

1 2 ? 64
?6

1 log 2 ? ?6 64

3 ? 27
a
m

log3 27 ? a

?1? (4) ? ? ? 5.73 ?3?

log 1 5.73 ? m
3

例2

将下列对数式化为指数式:

?1?
? 2?
? 3?
? 4?

log 1 8 ? ?3
2

?1? ? ? ?8 ?2?

?3

log 3 81 ? 4
lg 0.01 ? ?2
ln10 ? 2.303

3 ? 81
4

10 ? 0.01

?2

e

2.303

? 10.

(1)

你能把下列指数式写成对数式? 2 x ? ?3, 2 x ? 0, 没有意义,不成立

(2) 这样的对数 log 2 ? 3 log 2 0 有意义吗? 没有意义 (3) 从(2)中你能得出什么结论? 零和负数没有对数 (4) 你能写出下列对数的值吗?
log 2 1

lg1
log 2 2

lg10

?1 ?1

?0 ?0

log 3 1

ln1
log 3 3

ln e

?0 ?0 ?1 ?1

(5)从(4)中你发现有什么规律? 1的对数等于0, 底的对数等于1

ab ? N 中的b用 b ? log a N (1)如果把式子

代换,

(2)把式子 log a N ? b 中的N用 N ? ab 代换, 会得到什么样的式子?

从而得到: a

log a N

? N,

log a a b ? b

这两个式子,我们叫对数恒等式

对数的基本性质:
(1) 零和负数没有对数 (2) 1的对数等于0,即 (3) 底的对数等于1,即 (4) 对数恒等式
log a 1 ? 0.

log a a ? 1.
b

a

log a N

说明: (1)在对数式

log a N

? N , log a a ? b
中,要注意各量的取值范围 且

N ? 0, a ? 0
(2)

a ? 1.

log a 1 ? 0.

log a a ? 1. 两个最特殊的对数值,

常用来化简对数式。 (3)对于 一些特殊的对数式,可以用对数恒等式 直接求解。

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的b次幂等于N, 就是 b a ? N ,那么数 b叫做以a为底 N的对数,记作
log a N ? b

a叫做对数的底数,N叫做真数。
b

说明:(1) 我们把 a

? N 叫作指数式,
叫作对数式,

log a N ? b

由定义知两者是互逆运算的,即:

a ? N ? log a N ? b (a ? 0, a ? 1)
b

几个常用结论:
1、N>0,即负数与零没有对数.

? a ? 0, 且a ? 1? 3、log a a ? 1 ? a ? 0, 且a ? 1?
2、log a 1 ? 0
log a N
b

4、a

?N
?b

(a ? 0, 且a ? 1, N ? 0)

5、 a a log

例3 求下列各式中x的值:

?1? ? 3?

2 log 64 x ? ? 3 lg100 ? x

? 2? ? 4?

log x 8 ? 6 ? ln e ? x.
2

?1? ? 3?

2 log 64 x ? ? 3 lg100 ? x

? 2? ? 4?
? 2 3

log x 8 ? 6 ? ln e ? x.
2

2 解: ? ? log 64 x ? ? ,? x ? 64 ?1 3

? ?4
1 6

2 ? 3 3

?

1 ?4 ? 16
?2
1 3 6

2 ? ? log x 8 ? 6,? x6 ? 8, 又? x ? 0,? x ? 8 ? ? 2 ?
x 2

?

?2 ? 2

1 2

? 3? ? lg100 ? x,?10 ? 100 ? 10 ,? x ? 2 2 2 ?x 2 ? 4 ? ? ? ln e ? x,? ln e ? ? x,? e ? e ,? x ? ?2

例4:计算:

(1) log 9 27

( 2) log 4 3 81
x

解:(1)设 x ? log 9 27 ?9 3 2x 3 ?3 ? 3 ? x ? 2 (2)设x ? log 4 3 81 ?
x 4

? 27

? 3?
4

x

? 81

?3 ? 3

4

?x ? 16

前课复习
定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 就是
b

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N

以a为底 N的对数,记作 log a N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

前课复习 有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ log a 1 ? 0, log a a ? 1 ⑶对数恒等式

a

log a N

?N

log a a ? b
b

前课复习
⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log 10 N 简记作lgN。 ⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 log e N 简记作lnN。 (6)底数a的取值范围: (0,1) ? (1,??) 真数N的取值范围 : (0,??)

新课教学 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N log a M n ? nlog a M(n ? R) (3)
为了证明以上公式,请同学们 回顾一下指数运算法则 : a m ? a n ? a m? n (m, n ? R)

(a ) ? a (m, n ? R)
m n mn

(ab) n ? a n ? b n (n ? R)

证明:①设 log a M ? p, 由对数的定义可以得:M ∴MN= a 即证得
p

log a N ? q,

?a ? a
q

? a , N ? aq
p

p?q

? log a MN ? p ? q

log a (MN) ? log a M ? log a N (1)

证明:②设 log a M ? p, 由对数的定义可以得:M
p

log a N ? q,

? a , N ? aq
p

M ∴ ? N
即证得

a p ?q M ?a ? log a ? p?q q N a
M log a ? log a M ? log a N (2) N

证明:③设 log a M ? p, 由对数的定义可以得:M ∴

?a ,
p

M ?a
n

np

? log a M n ? np

即证得

log a M ? nlog a M(n ? R) (3)
n

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N log a M n ? nlog a M(n ? R) (3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
log a ( MN ) ? log a M ? log a N , log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N

其他重要公式1:

log a m
证明:设

n N ? log a N m
n

log a m N n ? p,

由对数的定义可以得: ∴

N ? (a ) ,
n m p
m p n

N ?a
n

mp

?N ?a
n

即证得

m ? log a N ? p n

log a m

n N ? log a N m

其他重要公式2:

logc N log a N ? logc a
证明:设

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)

log a N ? p

由对数的定义可以得:
p

N ?a ,
p

? log c N ? log c a , ? log c N ? p log c a,
log c N ? p? 即证得 log c a

这个公式叫做换底公式

logc N log a N ? logc a

其他重要公式3:

1 log a b ? logb a

a, b ? (0,1) ? (1,??)

log c N 证明:由换底公式 log a N ? log c a log b b 取以b为底的对数得: log a b ? log b a 1 ? logb b ? 1, ? log a b ? log a b
还可以变形,得

log a b ? log b a ? 1

课堂小结 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N n log a M ? nlog a M(n ? R) (3)
其他重要公式:

log a m

log c N log a N ? log c a
log a b ? log b a ? 1

n N ? log a N m
n

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) a, b ? (0,1) ? (1,??)

例题讲解 例1 计算 (1) (2)

log 2 (2 ? 4 )
5 7

log 9 27
3 ? log3 7 ? log 7 8

(3) log 2

例题讲解 例2 用

log a x, loga y, log a z 表示下列各式:

xy (1)log a ; z

(2) log a

x

2 3

y z

例题讲解

7 例3计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法一:

解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg 14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg 18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg(2 ? 3 ) 14 ? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg 1 ? 0 ?0

例题讲解

lg 243 例3计算: (2) lg 9

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg 1.2

lg 243 lg 35 ? 5 lg 3 ? 5 解: (2) ? 2 lg 3 2 lg 9 lg 32

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10 ) (3) ? 3 ? 22 lg 1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ?2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

例4 已知 log 3 12 ? a ,求 log 3 24 的值.
3a ? 1 2

1 1 例5 设 3 ? 5 ? m ,已知 ? ? 2 , a b m
a b



的值.

15

例题讲解

例6: 已知 lg 2 ? a,

求lg 45. lg3 ? b,

练习: 已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 用 a, b 表示log42 56
解:因为log23 = a,则

1 ? log 3 2 a

, 又∵

log3 7 = b,

log 3 56 log3 7 ? 3 ? log3 2 ab ? 3 ? ? ∴ log 42 56 ? log 3 42 log3 7 ? log3 2 ? 1 ab ? b ? 1

课堂小结 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N (2) N n log a M ? nlog a M(n ? R) (3)
其他重要公式:

log a m

log c N log a N ? log c a
log a b ? log b a ? 1

n N ? log a N m
n

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) a, b ? (0,1) ? (1,??)

1、计算: (1) log 5 35 -2log 5

7 + log 5 7 -log 5 1. 8 3

(2) lg 2 5 + lg 2 lg 5 + lg 2

2、 计算:①

5

1? log0.2 3

② log 4 3 ? log 9 2 ? log 1
2

4

32


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