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黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三上学期12月月考数学(文)试题


哈尔滨市第六中学 2016 届十二月月考 高三文科数学试卷 考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字 体工整, 字迹清楚; (3)请在各题目的答题区域内

作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答 题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是 符合题目要求的. 1 . 若 复 数 z 满 足 i?z ? ? ( ) A. ?

1 (1 ? i ) , 则 z 的 共 轭 复 数 的 虚 部 是 2 1 2
1 2


1 i 2

B.

1 i 2

C. ?

D.

2. 设 A ? ?x | 2 ? x ? 6?,B ? ?x | 2a ? x ? a ? 3?, 若 B ? A, 则实数 a 的取值范围是 ( A. 1,3 3 ( . )
2 2 ① 命题 " ?x ? R, 均有 x ? 3x ? 2 ? 0" 的否定是: " ?x0 ? R, 使得 x0 ? 3x0 ? 2 ? 0" ;

? ?
下 列

B. [3,??) 四 种 说 法

C. [1,??) 中 , 正

D. ?1,3? 确 的 个 数 有

② “命题 P ? Q 为真”是“命题 P ? Q 为真”的必要不充分条件;
m ③ ?m ? R 错误!未找到引用源。 ,使 f ( x) ? mx
2

?2m

错误!未找到引用源。是幂函数,

且在错误!未找到引用源。 (0,??) 上是单调递增;

④ 不过原点(0,0)的直线方程都可以表示成 A.3 个 B.2 个 C.1 个

x y ? ?1; a b
D.0 个

4.如图是底面积为 3 ,体积为 3 的正三棱锥的主视图(等腰三角形) 和左视图,此正三棱锥的左视图的面积为 A. ( D. )

3 3 2

B.3

C. 3

3 2

?x ? 2 y ? 0 ? y , 5. 设 z ?x ? 其中实数 x ,y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 6 , 则 z 的最小值为 ( ?0 ? y ? k ?
A. ?3 6.将函数 y ? sin(6 x ? 再向右平移 B. ?2 C. ?1 D. 0



?
4

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,
( )

? 个单位,所得函数图像的一个对称中心是 8
B. ?

A. ?

?? ? ,0 ? ? 16 ?

?? ? ,0 ? ?9 ?

C. ?

?? ? ,0 ? ?4 ?

D. ?

?? ? ,0 ? ?2 ?
( )

a a a 7. 若数列 a1 , 2 , 3 , ?, n 是首项为 1, 公比为 ? 2 的等比数列, 则 a4 等于 a1 a2 an ?1
A. ?8 B. ?2 2 C. 2 2 D. 8

* 8.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,对任意的 n ? N 都有 an?1 ? a1 ? an ? n ,

则 ( ) A.

1 1 1 ? ? ?? ? ? a1 a2 a2016

2015 2016

B.

4032 2017

C.

4034 2017

D.

2016 2017

9.定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ? f ? ?x ? , 当 x ? ? 0, ? 时 , 2

? ?

1? ?

? 3? f? ? x? l o2 ?g ? x? , 1 则 f ? x ? 在 区 间 ?1, ? 内 是 ? 2?



) A.减函数且 f ? x ? ? 0 C.增函数且 f ? x ? ? 0 B.减函数且 f ? x ? ? 0 D.增函数且 f ? x ? ? 0

?? x ? a?2 ? 10 . 若 函 数 f ? x ? ? ? 1 ?x ? ? a x ?
( ) A. ? ?1, 2? B. ? ?1,0?

?

x? 0 ?

? x ? 0?

的 最 小 值 为 f ? 0? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

C. ?1, 2?

D. ? 0, 2?

11 .在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 cos ( ) A.正三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形

2

B a?c ? ,则 ?ABC 的形状为 2 2c

D.等腰三角形或直角三角形

12 (

. )





































① 存在两个不等实数 ? , ? ,使得等式 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立; ② 若数列 ?an ? 是等差数列,且 am ? an ? as ? at (m、n、s、t ? N *) ,则 m ? n ? s ? t ; ③ 若 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S6 , S12 ? S6 , S18 ? S12 成等比数列; ④ 若 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,且 Sn ? Aqn ? B(其中A 、B是非零常数,n ? N* ), 则 A? B ? 0;
2 2 2 ⑤ 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? b ? c ,

则 ?ABC 一定是锐角三角形; A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 13.对某同学的 6 次物理测试成绩(满分 100 分)进行 统计,作出的茎叶图如图所示,给出关于该同学物理 成绩的以下说法:①中位数为 84; ②众数为 85; ③平均数为 85; ④极差为 12; 其中,正确说法的序号是____________; 14.某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 S 的值是__________;
否 是
开始

15. ?ABC 的外接圆圆心为 O ,半径为 2 ,

结束

??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? AB ? AC ? 0 ,
则 CB 在 CA 方向上的投影为____________;

??? ?

??? ?

16.已知正三角形 ?? C 的三个顶点都在半径为 2 的 球面上,球心 ? 到平面 ?? C 的距离为 1 , 点 ? 是线段 ?? 的中点,过点 ? 作球 ? 的截面, 则截面面积的最小值是_________; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A, sin B), n ? (cos B, cos A), m ? n ? sin 2C, 且 A、B、C 分别为△ABC 的三边

a、b、c 所对的角.
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sinC, sin B成等差数列, 且CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 边的长.

18.(本小题满分 12 分) 甲乙两个学校高三年级分别有 1200 人,1000 人,为了了解两个学校全体高三年级学生在 该地区 六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 110 名学生的数学 成绩, 并作出了频数分布统计表如下: 甲 分组 频数 分组 频数 [70,80) 3 [110,120) 15 [80,90) 4 [120,130) [90,100) 8 [130,140) 3 2 [100,110) 15 校:

x

乙校: 分组 频数 分组 频数 [70,80) 1 [110,120) 10 [80,90) 2 [120,130) 10 [90,100) 8 [130,140) [100,110) 9

y

3

(1)计算 x,y 的值. (2) 若规定考试成绩在内为优秀,请分别估计两个学校数 学成绩的优秀率; (3)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并判断是否 有 90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 参考公式: K ?
2

甲校 优秀 非优秀 总计

乙校

总计

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

临界值表 P(K≥k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,且 AA1 ? 面 ABCD,

?DAB ? 60?, AD ? AA1 ? 1, F 为棱 AA1 的中点, M 为线段 BD1 的中点.
(1)求证:平面 D1FB ? 平面 BDD1 B1 ; (2)求三棱锥 D1 ? BDF 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

2 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,且短轴长为 2. 2 2 a b

(1)求椭圆的方程; (2)若与两坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 且 OA ? OB ?

2 2 , S ?AOB ? ,求直线 l 的方程. 3 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? a, x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x 2 ? x ; (3)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围;

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分. 作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 90 ? ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于 D ,

过点 D 作圆 O 的切线交 BC 于 E , AE 交圆 O 于点 F . (1)证明: E 是 BC 的中点; (2)证明: AD ? AC ? AE ? AF .

23.(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度 单位相同;
? x ? 1 ? t cos? ? 曲线 C 的方程是 ? ? 2 2 sin( ( t 为参数, ? ? ) ,直线 l 的参数方程为 ? 4 ? y ? 2 ? t sin?

, 0 ?? ?? ) 设 P(1,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点. (1)当 ? ? 0 时,求 | AB | 的长度; (2)求 | PA | 2 ? | PB | 2 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ?m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ( a ? R ) ; (2)若函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

题号 选项

1 C

2 C

3 B

4 A

5 A

6 D

7 D

8 B

9 A

10 D

11 B

12 B

哈尔滨市第六中学 2016 届十二月月考高三文科数学参考答案 一、选择题 : 二、填空题: 13. ①③ 14. 3018 15. 3 16.

9? 4

17.(本小题满分 12 分)解: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin(A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.

又? m ? n ? sin 2C ,? sin 2C ? sinC, cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

(2)由 sin A, sin C , sin B成等差比数列 , 得2 sin C ? sin A ? sin B , 由正弦定理得 2c ? a ? b. ? CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18 , 即 ab cos C ? 18, ab ? 36. 由余弦弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? (a ? b) 2 ? 3ab ,
? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.

18、 (本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)甲校抽取 110× 乙校抽取 110×

1200 ? 60 人, 2200
???4 分 甲校 优秀 非优秀 15 45 60 乙校 20 30 50 总计 35 75 110

1000 =50 人,故 x=10,y=7, 2200 15 ? 25% , (Ⅱ)估计甲校优秀率为 60
20 乙校优秀率为 =40%. 50
2

???8 分

(Ⅲ) k =

2

110(15 ? 30 ? 20 ? 45) ≈2.83>2.706 60 ? 50 ? 35 ? 75

总计

又因为 1-0.10=0.9,故有 90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。 ?????12 分 19.(本小题满分 12 分)(1)证明:连接 AC,BD,交于 O 点,连接 OM ∵ A1 F ? AF, AB ? A1 D1 , ?D1 A1 F ? ?FAB ? 90? ∴ D1 F ? BF , 又 M 为线段 BD1 的中点, ∴ FM ? BD1 ∵ OM ∥ AF 且 OM ? AF ∴四边形 FAOM 为平行四边形,∴ FM ∥ AO ∵底面 ABCD是菱形,∴ AO ? BD ,则 FM ? BD ,

又 BD ? BD1 ? B ,∴ FM ? 平面 BDD1 B1 , FM ? 平面 D1 FB 故平面 D1 FB ? 平面 BDD1 B1
1 (2)解:由(1)知 FM ? 平面 BDD1 B1 , VD1 ? BDF ? VF ? BDD1 ? S ?BDD1 ? FM 3

∵ S ?BDD1 ?

1 1 1 3 BD? DD1 ? ?1?1 ? , FM ? AO ? 2 2 2 2
1 3 1 1 3 2 3 3 ? 2 12

∴ V D1 ? BDF ? V F ? BDD1 ? S ?BDD1 ? FM ? ? ?

20.(本小题满分 12 分)(1)短轴长 2b ? 2, b ? 1 , e ? 又

c 2 ? ??????????1 分 a 2
所 以 椭 圆 的 方 程 为

a2 ? b2 ? c2







a ? 2, c ? 1



x2 ? y 2 ? 1 ??????????4 分 2
(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? 4mk ? x1 ? x 2 ? ? ? y ? kx ? m 1 ? 2k 2 ? 2 2 2 ,消去 得, , ,????6 ( 1 ? 2 k ) x ? 4 mkx ? 2 m ? 2 ? 0 y ? ? 2 2 2 ? x ? x ? 2m ? 2 ?x ? 2 y ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?


2 3m 2 ? 2k 2 ? 2 2 ? 即 9m 2 ? 10k 2 ? 8 ??????????8 分 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 即 3 3 1 ? 2k 2
S ?AOB ? 1 1 1 8m 2 (1 ? 2k 2 ? m 2 ) 2 | m || x1 ? x2 |? m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? ? 2 2 2 3 (1 ? 2k 2 ) 2

即 9m 2 (1 ? 2k 2 ? m 2 ) ? (1 ? 2k 2 ) 2 ??????????10 分
2 2 2 2 2 ? ?9m (1 ? 2k ? m ) ? (1 ? 2k ) ,解得 k 2 ? 1, m 2 ? 2 ,所以 y ? ? x ? 2 ???????12 ? 2 2 ? ?9m ? 10k ? 8

分 21. (本小题满分 12 分)解: (1) f ( x) ? e x ? x 2 ? a, f ?( x) ? e x ? 2x
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ? a ? ?1 由已知 ? 解得 ? ,故 f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ? f ( 0 ) ? 1 ? b b ? 1 ? ?

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e x ? x ? 1 ,

由 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0

当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增 ∴ g ( x) min ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x 2 ? x (3) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 ? 令

f ( x) ? k 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 x
, ∴

? ( x) ?
xf ?( x) ? f ( x) x2 ? x2

f ( x) ,x?0 x
? ( x ? 1)(e x ? x ? 1) x2

? ?( x) ?

x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1)

由(2)可知当 x ? (0,??) 时, e 2 ? x ? 1 ? 0 恒成立 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ∴ g ( x) 的增区间为 (1,??) ,减区间为 (0,1) , g ( x) min ? g (1) ? 0 ∴ k ? g ( x) min ? g (1) ? 0 ,∴实数 k 的取值范围为 ( ??,0) 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙O 的直径,
? 所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90 ,所以 CB 切⊙O 于点 B ,

且 ED 切于⊙O 于点 E ,因此 EB ? ED ,??2 分

?EBD ? ?EDB , ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C ,
所以 ?CDE ? ?C ,得 ED ? EC ,因此 EB ? EC , 即 E 是 BC 的中点 ??????3 分 (Ⅱ)证明:连接 BF ,显然 BF 是 Rt ?ABE 斜边上的高,

AFB ,于是有 可得 ?ABE ∽ ?A
2

AB AE ? , AF AB

即 AB ? AE ? AF , ??3 分
2 同理可得 AB ? AD ? AC ,所以 AD ? AC ? AE ? AF ??2 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 (1)曲线 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 —————1 分
2 2

当 ? ? 0 时,直线 l : y ? 2 , | AB |? 2 -------------4 分 (2)设 t1 , t 2 为相应参数值, t ? (4 cos? ? 2 sin ? )t ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,
2

3 ? sin 2 (? ? ? ) ? 1 5

?t1 ? t 2 ? ?(4 cos? ? 2 sin ? ) ,-----------6 分 ? ?t1t 2 ? 3
| PA |2 ? | PB |2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 2t1t 2 ? (4 cos? ? 2 sin ? ) 2 ? 8 ? 20sin 2 (? ? ? ) ? 6 — — — 8


| PA | 2 ? | PB | 2? (6,14] ——————————10 分
24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 ,即 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时,解集为全体实数 R ;??2 分 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) ??3 分 (Ⅱ) f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成 立, 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立,??2 分 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 , 于是得 m ? 5 ,即 m 的取值范围是 ( ??,5) ??3 分


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