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2015年全国高中数学联赛模拟试题13


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 13 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.若正实数 a , b 满足 log8 a ? log 4 b ? 5 和 log8 b ? log4 a2 ? 7 ,则 log4 a ? log8 b 的值是 . 2.如果△ABC 中,tanA, tan B,tanC 都是整数,且 A >B>C,则 tan B= 3.设 x ? sin ? ? sin(? ? 2 2? ? 67? ) sin(? ? ) ,当 ? ? 时, x 的小数点后第一位数字是 3 3 2014 1 (?1 ? 3i ) ,则 | a ? bx ? cx2 | 的值是 2 . . . 4.若 a ? 1 ? i, b ? 2 ? i, c ? 3 ? i, x ? 5.函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ? ? x ? 3, x ? 1000; 则 f (84) 的值是 ? f ( f ( x ? 5)), x ? 1000. 6.在四面体 ABCD 内部有一点 O,满足 OA=OB=OC=4, OD=l,则四面体 ABCD 体积的最大值为 . 7.设 A, B 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴端点, P 是椭圆上异于 A, B 的点, a 2 b2 自 A, B 分别作直线 l1 ? PA, l2 ? PB, 则 l1 , l2 的交点轨迹方程是 8.某人在黑板上玩写数字的游戏,每次他随机地写上 1, 2,3, 4 中的某个数,如果他 最后写上去的两数之和是一个质数,那么游戏结束.则他完成游戏时所写的最后一个数为1 的概率为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.设函数 f ( x) ? 1 ? e? x . (l)证明:当 x ? 0 时, f ( x ) ? (2)数列{ an }满足 a1 ? x ; x ?1 1 1 , an e ? an?1 ? f (an ) ,证明:数列{ an }递减且 an ? n . 3 2 1 10.设抛物线 y ? ax 2 ? a ? 0? 和双曲线 y ? x 交于点 T ,这两条曲线的公切线分别切抛物线于点 P ,切双曲 线于点 Q .求 △PQT 的面积. 11. 设 z1 , z2 , z3 是 3 个模不大于 1 的复数, w1 , w2 是方程 ( z ? z1 )( z ? z2 ) ? ( z ? z2 )( z ? z3 ) ? ( z ? z3 )( z ? z1 ) ? 0 的两个根. 证明:对 j=1,2,3,都有 min z j ? w1 , z j ? w2 ? 1 . ? ? 2015 年全国高中数学联赛模拟试题 13 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 设 p 为给定素数, a1 , a2 , , ak 是 k ? k ? 3? 个整数,均不被 p 整除,且模 p 互不同余, 设 b0 ? p ? ak , bi ? ai ? ai ?1 ?i ? 1,2, ? S ' ? ?n 1 ? n ? p ?1, ? nb ? , k ? 其中 a0 ? 0 .记 ? ? nak ? p S ? n 1 ? n ? p ?1, ? na1 ? p ? ? na2 ? p ? 0 p ? ? ? nb1 ? p ? ? ? n

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