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三角恒等变换知识


1. 三角函数恒等变形公式 (1)两角和与差公式

(2)二倍角公式

(3)三倍角公式

(4)半角公式

(5)万能公式

, (6)积化和差 , , ,



(7)和差化积 , , ,

2. 网络结构

>
3. 基础知识疑点辨析 (1)正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式? 实际上,正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式,因为在和角公式中, 意角,可正可负。另外,公式 是一个任

虽然形式不同,结构不同,但本质相同: 。

(2)怎样正确理解正切的和差角公式? 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点:

①推导正切和角公式的关键步骤是把公式 “分母”都除以 ②公式 都不等于 ,从而“化弦为切”,导出了 都适用于 。 。

,右边的“分子”、

为任意角,但运用公式

时,必须限定



③用 代替 ,可把 转化为 ,其限制条件同②。 (3)正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用? ①不用计算器或查表,只通过笔算求得某些特殊角(例如 15°,75°,105°角等)的 三角函数值。 ②能由两个单角 的三角函数值,求得它们和差角的三角函数值;能由两个单角 的三角函数值与这两个角的范围,求得两角和的大小(注意这两个条件缺一不可)。 ③能运用这些和(差)角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式,化简三 角函数式,要注意公式可以正用,逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最 大值或最小值。 (4)利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么? 先用二倍角公式导出 别相除,得到 ,再把两式的左边、右边分 ,由此得到的三个公式: ,

, 公式中根号前的符号,由

分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。 所在的象限来确定,如果没有给出限制符号的条件,根号前面 。

应保持正、负两个符号。另外,容易证明

4. 三角函数变换的方法总结 三角学中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运 用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初 等数学中涉及面广,是常用的解题工具,而且由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟 练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发 展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说 明,对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 (1)变换函数名 对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过 “切割化弦”,“切割互化”,“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数 的种类,这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题 的解决或发现解题途径。 (2)变换角的形式 对于含不同角的三角函数式,通常利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改 变原角的形式,从而运用有关的公式进行变形,这种方法主要是角的拆变.它应用广泛, 方式灵活,如α 可变为(α +β )-β ;2α 可变为(α +β )+(α -β );2α -β 可 变为(α -β )+α ;α /2 可看作α /4 的倍角;(45°+α )可看成(90°+2α )的 半角等等。 【例 2】求 sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- 解析:设θ +15°=α ,则 cos(θ +15°)的值。

原式=sin(α +60°)+cos (α +30°)-

cosα cosα

=(sinα cos60°+cosα sin60° )+(cosα cos30°-sinα sin30°)-

= sinα + cosα + cosα - sinα - cosα =0 点评:本例选择一个适当的角为“基本量”,将其余的角变成某特殊角与这个“基本 量”的和差关系,这也是角的拆变技巧之一。 【例 3】已知 sinα =Asin(α +β ) (其中 cosβ ≠A),试证明:tan(α +β )=

证明:已知条件可变为:sin[(α +β )-β ]=Asin (α +β ) 所以有:sin (α +β ) cosβ -cos (α +β ) sinβ =Asin (α +β ) ∴ sin (α +β )( cosβ -A)=cos (α +β ) sinβ ∴ tan(α +β )= 点评:在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法,它往往是寻找解题 突破的关键。 (3)以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有 1 的三角公式,将原式中的 1 或其他特殊值用式子 代换,往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“ 1”的变换为最常见且最灵活。“1” 可以看作是 sin2x+cos2x, sec2x-tan2x, csc2x -cot2x,tanxcotx, secxcosx, tan45°等, 根据解题的需要,适时地将“1”作某种变形,常能获得较理想的解题方法。

【例 4】化简: 解析:原式= = = = 点评:1=“ ”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。

(4)和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决,升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情 形。这往往用到倍、半角公式。 【例 5】解三角方程:sin2x+sin22x=sin23x 解析:原方程变形为: (1-cos2x)+ 即: 得: (1-cos4x)= (1-cos6x) 1+cos6x =cos2x+cos4x 2cos23x =2cos3x cosx cos3x sin2x sinx =0

解得:

x=



或 x=





∴ 原方程的解集为{x| x= + 或 x= , } 点评:题中先降次后升幂,这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现,其目的是 为了提取公因式。 (5)添补法 与代数恒等变换一样,在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某 些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子,同时除以这个式子也是添补法的一 种特殊情形。

【例 6】求证: 证明:左边= =



= = = =右边 ∴ 原式成立。 点评:本例中采用“加一项再减去一项”,“乘一项再除以一项”的方法,其技巧性 较强,目的都是为了便于分解因式进行约分化简。 (6)代数方法 三角问题有时稍作置换,用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变 形,从而将三角问题转换成代数问题来解,而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等 式等方法。

【例 7】锐角α 、β 满足条件 A.α +β ≠ C. α +β > B. α +β < D. α +β = ,则有 即 a=b (α ,β 同为锐角)

,则下列结论中正确的是(



解析:令 sin 整理得: (a-b)2=0 即: sin2α =cos2β ∴ sinα =cosβ ∴ α +β =

,故应选 D。

点评:本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分 广泛,往往能收到简捷解题的效果. (7)数形结合 有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观,此时若能以数思形,数形渗透,两者交融, 则可开辟解题捷径。利用单位圆,构造三角形,利用直线、曲线的方程等方法都是数形结 合的思想。 【例 9】已知: , ,求 的值。

解析:∵点A ,B 均在单位圆上。 由已知条件知:AB 的中点坐标为C(1/6,1/8),即直线AB过 定点 C 如下图所示

∠xOC=



∴据万能公式得: 点评:本题用和差化积公式也不难求得,但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方 法。数形结合方法在三角变换中应用类型颇多,篇幅所限,仅举一例,本文不赘。从六、 七两种方法可以看出,将代数、几何与三角有机联系起来,综合运用,在解三角变换题中, 不仅构思精巧,过程简易,趣味横生,而且还沟通数学知识的纵横关系,也有利于多向探 求,广泛渗透,提高和发展学生的创造性思维能力。 以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法,在实际解题中这些方法是交织在 一起的,混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式,善于公式的 变形运用,同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以 上七个方面外,还有平方消元,万能置换,利用正余弦定理进行边角转换,利用辅助角, 借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。 5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究 非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型,对于此类求值问题,由于 涉及到的三角公式及其变形灵活多样,因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这 类问题的重点,现在我们通过一个题目的解法探寻,体会非特殊角三角函数的求法。 【题目】求 的值。 分析 1:这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题,仔细观察可看出在所求式子 中有一项是正切函数、一项是正弦函数,因此通常运用切割化弦,然后通过通分化简,使 其化为特殊的三角函数值。 解法 1:

点评:通分以后,要将和式转化为积式,需将 拆项为 ,这 是将和式转化为积式中常用的变形手段,在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值, 这样才有可能使化简得以进行下去。 分析 2:运用切割化弦,通过通分化简后,若不考虑将和式转化为积式,而是对角进 行变换,观察到运算的式子中出现的两角为 20°,40°,与特殊角比较则会有 60°-40° =20°,变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。 解法 2:

分析 3 :我们在运用“切割化弦”时,若不利用商数关系 tan200 利用半角公式 进行化弦,也能进行求值。

,而是将

点评:本题利用综合法求得了 的值,在这里首先进行角的变换,然 后利用两角差的正弦公式展开,合并同类项后,再进行弦化切割,从而得到所要求的值。 以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题,对于这类问题,要从多方 面考虑解决的方法,在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦” 弦化切割”等方面而进行了三角恒等变形,这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。 【典型例题】 例 1. 化简 cos( 解析:解法一: π +α )+cos( π -α ),其中 k∈Z。

原式=cos[kπ +(

+α )]+cos[kπ -(

+α )]=coskπ cos(

+α )- +

sink π sin ( + α )+ cosk π cos ( α ),(k∈Z)

+ α )+ sink π sin (

+ α )= 2cosk π cos (

当 k 为偶数时,原式=2cos( 当 k 为奇数时,原式=-2cos(

+α )=cosα - +α )=

sinα

sinα -cosα

总之,原式=(-1)k(cosα - 解法二:由(kπ + cos(kπ - =cos(kπ +

sinα ),k∈Z -α )=2kπ ,知 +α +kπ )]=cos[-(kπ + +α )]

+α )+(kπ -

-α )=cos[2kπ -( +α )

∴原式=2cos(kπ + sinα ),其中 k∈Z

+α )=2×(-1)kcos(

+α )=(-1)k(cosα -

点评:原式=cos(kπ+ [kπ-(

+α)+cos(kπ-

-α)=cos[kπ+(

+α)]+cos

+α)]这就启发我们用余弦的和(差)角公式。

例 2. 已知 sin(α +β )= ,cos(α -β )= ,求 解析:解法一:由已知条件及正弦的和(差)角公式,

的值。

解法二:(设未知数)令 x=

解之得

例 3. 在 积。

中,



的值和

的面

解析:解法一:解方程组 。



,故

。 解法二:由 ,可得 ,所以 及 得

因为

,故

,即

解方程组 (以下同解法一)



,故



例 4. 解析:解法一:此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。 原式

解法二:利用“整体配对”思想,构造对偶式来解题 设 则

两式相加得 即

例 5. (第 5 届 IMO 试题)证明 解析:设



∴ ∴ 或 (舍去)


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