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2013-2014河南省郑州市中牟县第一高级中学高三理科数学第二次月考试题


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2013—2014 学年上期高三年级期中考试 数学理科试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 A ? { y | y ? 2 ? 0} ,集合 B ? {x | x2 ? 2x ? 0} ,则 A B 等于 (A) [0, ??) 2 若 tan ? ? 2 ,则 (

B) (??, 2] (C) [0,2) (2, ??) (D) ?

1 的值等于 sin 2? 5 5 (A) ? (B) 4 4 3 下列命题中,真命题的个数有 1 ① ?x ? R, x 2 ? x ? ? 0 ; 4

(C) ?

4 5 1 ? 2; ln x

(D)

4 5

② ?x ? 0, ln x ?

③“ a ? b ”是“ ac2 ? bc2 ”的充要条件; (A)1 个

④ y ? 2x ? 2? x 是奇函数.

(B)2 个(C)3 个(D)4 个 ? ? 4 设函数 f ? x ? ? sin 2 ( x ? ) ? cos 2 ( x ? ) ? x ? R ? ,则函数 f ? x ? 是 4 4 A.最小正周期为 ? 的奇函数 B. 最小正周期为 ? 的偶函数 ? ? C. 最小正周期为 的奇函数 D . 最小正周期为 的偶函数 2 2 5 设向量 a, b 均为非零向量, (a ? 2b) ? a,(b ? 2a) ? b ,则 ? ? 5? A. B. C. 6 3 6 6 函数 y ? ln |

a , b 的夹角为
D.
2? 3

1 | 与y ? ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 x





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? e ( x ? 0) ? 7函数f ( x ) ? ? 1 如F ( x ) ? f ( x) +x则F(x)的值域为( ) ( x ? 0) ? ?x A(-?,1] B[2, +? ) C (-?,1] [2, +?) D(-?,1) (2, +?)
x

AD ? AB, ?B ? 45 °, 8 在直角梯形 ABCD 中, AB//CD, AB=2CD=2, M 为腰 BC 的中点, 则 MA ? MD ?
A. 1 B.2 C.3 D.4 9 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ,则“ f (2) ? 0 ”是“函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 单调递增”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
x
x

?1? ?1? 10 设 a 、 b 、 c 分别是方程 2x ? log 1 x , ? ? ? log 1 x , ? ? ? log 2 x 的实数根,则有 ?2? ?2? 2 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b 11 设奇函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1 ,若函数 f ? x ? ? t 2 ? 2at ?1 对所有的

x ???1,1 ? 都成立,则当 a ???1,1? 时,t 的取值范围是
A、 ?2 ? t ? 2 C、 t ? 2或t ? ?2或t ? 0
1 1 ?t ? 2 2 1 1 D、 t ? 或t ? ? 或t ? 0 2 2

B、 ?

12 .定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2 x2 ? 12x ? 18,若函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,则 a 的取
值范围是 A. (0,
2 ) 2



) B. (0,
3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13 若

? f ( x ? 4), x ? 0 ? ? f ( x) ? ? ,则 f (2012) 等于 x 6 2 ? ? cos 3tdt , x ? 0 ? 0 ?
2



14 函数y= log 0.5 (2 x

? 3x ? 1)的递减区间是
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.

15 已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 、 x2 ,不等式

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( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为是

16 定义在 R 上的偶函数 于

f ( x)满足f ( x ? 1) ? ? f ( x), 且 在[—1,0]上是增函数,给出下列关

f ( x) 的判断;① f ( x) 是周期函数;② f ( x) 关于直线 x ? 1 对称;③ f ( x) 是
f ( x) 在[1,2]上是减函数;⑤ f (2) ? f (0) ,


[0,1]上是增函数;④ 其中正确的序号是 三.解答题

17.(10 分)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方

向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.

18. (12 分)在△ABC 中角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(cos l,sin(A+B)),且 m⊥n. ( I)求角 C 的大小; 3 (Ⅱ)若 CA · CB ? ,且 a+b =4,求 c. 2

C ,1),n=(一 2

19.(12 分)已知

f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ?

1 ? mx 1 ? x2

( x ? R ) 是偶函数.

(Ⅰ)求实常数

m 的值,并给出函数 f ( x) 的单调区间(不要求证明);
f ( x ? k ) ? f ( 3x ?1) .
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(Ⅱ) k 为实常数,解关于 x 的不等式:

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1 20.(12 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x, g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 ? (1)若点 A (? , y) ( ? ? [0, ] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 ? 的值; 4

(2)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴,求 g (2 x0 ) 的值;

[来源:Zxxk.Com]

? (3)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0, ] 的值域。 4

21.(12 分)已知函数 f (x)? ln x ?
9 2

a (a ? R). x ?1

(1)当 a ? 时,如果函数 g( x)? f ( x)? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; (2)当 a ? 2 时,试比较 f ( x)与 1 的大小;

22. (12 分)已知函数 f(x)=ax

2

+ln(x+1) .

(Ⅰ)当

时,求函数 f(x)的单调区间; 所表示的平面区域内,求

(Ⅱ)当 x∈[0,+∞)时,函数 y=f(x)图象上的点都在 实数 a 的取值范围. (Ⅲ)求证:
n∈N ,e 是自然对数的底数) .
*

(其中

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2013—2014 学年上期高三年级期中考试数学理科试卷答案 一、选择题答案 1、A2 B 3、C 4A 5 D 6 C 7C 8B 9C 10A 11 C 12、B 二、填空题答案 13 三、解答题 17 解: (1)直线参数方程可以化 这条经过点 ,倾斜角为 60°的直线. , , 所以圆心 18 解 :
m ? n,? m n ? 0,?? cos C C C C C ? sin( A ? B) ? 0 ?? cos ? sin C ? 0,?? cos ? 2sin cos ? 0 , 2 2 2 2 2
4 3

14:(1,+ ? )

15

? ??,0?

16

①②⑤

,根据直线参数方程的意义,

(2)l 的直角坐标方程为

的直角坐标方程为

到直线 l 的距离

,∴



C ? ? 2 2 C C 1 C ? ? ? cos ? 0 ? sin ? ,? ? ? C ? 2 2 2 2 6 3 1 3 (2) CA CB ? ab cos C ? ab ? ? ab ? 3 ,又 a ? b ? 4 2 2

且 0 ? C ? ? ?0 ?

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? ab ? 16 ? 9 ? 7 ? c ? 7
19(Ⅰ)
f ( x) 是偶函数, ? f (? x) ? f ( x) ,

? log 2 (1 ? x 4 ) ?

1 ? mx mx ? 1 ? log 2 (1 ? x 4 ) ? , 2 1? x 1 ? x2
? f ( x) ? log 2 (1 ? x 4 ) ? 1 , f ( x) 的递增区间为 [0, ??) ,递减区间为 1 ? x2

? mx ? 0 ,? m ? 0 .
(??, 0] . (Ⅱ)

f ( x) 是偶函数 ,? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) ,

不等式即 f ( x ? k ) ? f ( 3x ?1) ,由于 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,
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? x ? k ? 3x ?1 , ? x2 ? 2kx ? k 2 ? 9 x2 ? 6 x ? 1 ,

即 8x2 ? (6 ? 2k ) x ? (1 ? k 2 ) ? 0 ,? ( x ?
?k ?

k ?1 k ?1 )( x ? )?0, 2 4

k ?1 k ? 1 3k ? 1 ? (? )? , 2 4 4

1 时,不等式解集为 ? ; 3 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ? , ); 3 4 2 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ,? ). 3 2 4

20 解:(1)∵点 A (? , y) ( 0 ? ? ? ? )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点
1 1 1 1 ∴ cos 2 ? ? 1 ? sin 2? ? ? cos 2? ? 1 ? sin 2? 2 2 2 2 ? cos 2? ? sin 2? ? 1

? cos2 2? ? sin 2 2? ? 2sin 2? cos 2? ? 1 ? sin 4? ? 0
∴ 4? ? k? , k ? Z ? ? ? (2)∵ f ( x) ? cos 2 x ?
k? ,k ?Z 4

? ? ∵ ? ? [0, ] ∴ ? ? 0 , 4 4

[来源:Z§xx§k.Com]

1 1 ? cos 2 x 2 2
[来源:学科网]

1 1 ∴ 2 x0 ? k? , k ? Z ∴ g (2 x0 ) = 1 ? sin 4 x0 ? 1 ? sin 2k? ? 1 2 2

(3) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x)
1 1 1 1 ∴ h( x) ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x 2 2 2 2
? 1 1 3 2 2 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2 2 2 2 2

?

2 ? 3 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

? ∵ x ? [0, ] 4




?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 4

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

∴2?

2 ? 3 3? 2 sin(2 x ? ) ? ? . 2 4 2 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

即函数 h( x) 的值域为 [2,

3? 2 ]. 2

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9 9 21 解:(1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 2( x ? 1) ,定义域是 (0,??) ,

f ?( x) ?

1 1 9 (2 x ? 1)(x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 . ? ? 2 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1)

1 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 1 1 ? 函数 f ( x) 在 ( 0, ) 、 (2,??) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减. 2 2 1 3 ? f ( x) 的极大值是 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值是 f (2) ? ? ln 2 . 2 2

?当 0 ? x ?

? 当 x ? ?0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? , ? 当 g ( x) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k ? 3 ? ln 2 或 k ?
(2)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ?
2 ,定义域为 (0,??) . x ?1 2 ? 1, 令 h( x) ? f ( x) ? 1 ? ln x ? x ?1 3 ? ln 2 . 2

? h?( x) ?

1 2 x2 ? 1 ? ? ? 0, x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

? h( x) 在 (0,??) 上是增函数.

①当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ②当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ; ③当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 .

22 解: (Ⅰ)当 时, (x>﹣1) , (x>﹣1) , 由 f'(x)>0 解得﹣1<x<1,由 f'(x)<0, 解得 x>1. 故函数 f(x)的单调递增区间为(﹣1,1) ,单调递减区间为(1,+∞) . 捷登教育 http://www.jiedengjiaoyu.com/

河南本土个性化一对一辅导第一品牌 (Ⅱ)因函数 f(x)图象上的点都在 所表示的平面区域内,

则当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)≤x 恒成立,即 ax2+ln(x+1)﹣x≤0 恒成立, 设 g(x)=ax2+ln(x+1)﹣x(x≥0) , 只需 g(x)max≤0 即可. (5 分) 由 (ⅰ)当 a=0 时, = , ,当 x>0 时,g'(x)<0,函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减,

故 g(x)≤g(0)=0 成立. (6 分) (ⅱ)当 a>0 时,由 ①若 ,即 ,因 x∈[0,+∞) ,所以 时,在区间(0,+∞)上,g'(x)>0, ,

则函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上无最大值(或:当 x→+∞时,g(x)→+ ②若 ,即 时,函数 g(x)在 上单调递减,在区间

上单调

同样 g(x)在[0,+∞)上无最大值,不满足条件. (ⅲ)当 a<0 时,由 ,

∵x∈[0,+∞) , ∴2ax+(2a﹣1)<0, ∴g'(x)<0,故函数 g(x)在[0,+∞)上单调递减, 故 g(x)≤g(0)=0 成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]. (Ⅲ)据(Ⅱ)知当 a=0 时,ln(x+1)≤x 在[0,+∞)上恒成立 (或另证 ln(x+1)≤x 在区间(﹣1,+∞)上恒成立) , 又 ,



= = = ,

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河南本土个性化一对一辅导第一品牌 ∴ .

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