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三角函数最值及其综合运用知识点总结及经典高考题解析


三角函数最值及其综合运用
【考纲说明】
1、了解三角函数的最值(值域) ,理解三角函数取最值的条件,掌握求三角函数最值的常用方法。 2、结合三角函数的性质,会求形如函数 y = A sin( wx + φ)( A ≠ , w > 0) 、 y = A cos( wx + φ)( A ≠ , w > 0) 、 0 0

y = A tan( wx + φ)( A ≠ , w > 0) 的综合问题。 0

【知识梳理】
一、三角函数的最值 1、定义 (1)当 x 弦函数

= 2kπ -

π π (k ∈ Z ) 时, y = sin x 取最小值 - 1 ;当 x = 2kπ + (k ∈ Z ) 时, y = sin x 取最大值 1;正 2 2

y = sin x ( x ∈ R) 的值域为 [- 1,1]。

(2)当 x 函数

= 2kπ + π (k ∈ Z ) 时, y = cos x 取最小值 - 1 ;当 x = 2kπ (k ∈ Z ) 时, y = cos x 取最大值 1;余弦

y = cos x ( x ∈ R) 的值域为 [- 1,1]。
π y = tan x( x ∈ R, x ≠ π + ) 的值域为 R。 k 2

(3)

2、常用方法 (1)求三角函数最值的常用方法 ①配方法(主要利用二次函数理论及三角函数的有界性) ;②化为一个角的三角函数(主要利用和差角公式及三 角函数的有界性) ;③数形结合法(常用到直线的斜率关系) ;④换元法(如万能公式,将三角问题转化为代数问题) ; ⑤基本不等式法等。 (2)三角函数的最值都是在给定区间上取得的,因而特别要注意题设中所给出的区间。 ①求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性 ②含参数函数的最值问题,要注意参数的作用和影响。 (3)具体方法: ① y=asinx+bcosx 型函数最值的求法: 常转化为 y=
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a 2 ? b 2 sin(x+ ? )

② y=asin2 x+bsinx+c 型: 常通过换元法转化为 y=at2 +bt+c 型: ③ y=
a sin x ? b 型: c cos x ? d

1

i 当 x ? R 时,将分母与 y 乘转化变形为 sin(x+ ? )= f ( y ) 型。 ii 转化为直线的斜率求解。 (特别是定义域不是 R 时,必须这样做) ④ 同角的正弦余弦的和差与积的转换: 同 一 问 题 中 出 现 sin x ? cos x,sin x ? cos x,sin x ? cos x , 求 它 们 的 范 围 , 一 般 是 令 sin x ? cos x ? t 或

sin x ? cos x ? t ? sin x ? cos x ?

t 2 ?1 t 2 ?1 或 sin x ? cos x ? ? ,转化为关于 t 的二次函数来解决。 2 2

⑤已知正切值,求正弦、余弦的齐次式的值: 如已知 tan x ? 2 ,求 sin
2

x ? 2sin x ? cos x ? cos2 x ? 4 的值,一般是将不包括常数项的式子的分母 1 用

sin 2 x ? cos2 x 代换,然后分子分母同时除以 cos2 x 化为关于 tan x 的表达式。
⑥几个重要的三角变换: sin σ cos σ 可凑倍角公式; 1 + cos α 可用升次公式;

?? ?? ? ? ? 1 ±sin α 可化为 1 ? cos? ? ? ? ,再用升次公式;或 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 2 2? ?2 ? ? b a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ? ? ? ? ? (其中 tan ? ? )这一公式应用广泛,熟练掌握。 a
2
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⑦单位圆中的三角函数线: 三角函数线是三角函数值的几何表示,四种三角函数 y = sin x 、 y = cos x 、 y = tan x 、 y = cot x 的图象都是“平 移”单位圆中的三角函数线得到的。 ⑧三角函数的图象的掌握体现: 把握图象的主要特征(顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等) ;应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原 理以及快速、准确地作图。 ⑨三角函数的奇偶性: i 函数 y=sin(x是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z? . +φ) ii 函数 y=sin(x是偶函数 ? ? ? k? ? +φ)

?
2

?k ? Z? . ?k ? Z? . 2 ?k ? Z? .
,在每一个区间 ? k? ?

iii 函数 y = cos( x + φ) 是奇函数 ? ? ? k? ? iv 函数 y = cos( x + φ) 是偶函数 ? ? ? k? ⑩正切函数的单调性: 正切函数 不能说

?

f ( x) = tan x , x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

? ?

?
2

,k? ?

??
? 2?

?k ? Z? 上都是增函数,但

f ( x) = tan x 在其定义域上是增函数.
? 的代数式,把三角式转化为代数式.但往往代数运算比较繁。 2

注意万能公式的利弊:它可将各三角函数都化为 tan

2

二、 y = A sin( wx + φ)( A ≠ , w > 0) 的图像和性质的综合运用 0 1、三 角 函 数 y = A sin(wx + φ) 、 y = A cos( wx + φ) 的 定 义 域 为 R , y = A tan( wx + φ) 的 定 义 域 为

{x x ≠kπ - φ +
w w
2、函数

π , k ∈Z}。 2w

y = A sin( wx + φ) 、 y = A cos( wx + φ) 的最大值为 A ,最小值为 - A ;函数 y = A tan( wx + φ) 的值

域为 R。 3、函数

y = A sin( wx + φ) 的对称轴为 x =

kπ φ π kπ φ ,对称中心为 ( - + - , 0) ;函数 y = A cos( wx + φ) 的 w w 2w w w

对称轴为 x =

kπ φ kπ φ π kπ φ - ,对称中心为 ( - + , 0) ;函数 y = A tan( wx + φ) 的对称中心为 ( - , 0) 。上述 w w w w 2w 2w w

k ∈Z 。

【经典例题】
【例1】 (2010安徽)设 a ? 0 ,对于函数 y = A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 【解析】令 t = sin x, t ∈ (0,1] ,则函数 y = 所以 y = 1 +

sin x + a (0 < x < π ) ,下列结论正确的是 sin x

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

sin x + a a (0 < x < π ) 的值域为函数 y = 1 + , t ∈ (0,1] 的值域,又 a ? 0 , sin x t

a , t ∈ (0,1] 是一个减函减,故选答案B。 t

【例 2】 (2011 福建)已知函数 f ( x) = 2 sin wx ( w > 0) 在区间 A.

[

π π - , 3 4

]上的最小值是-2,则 w 的最小值等于

2 3

B.

3 2

C.2

D.3

π π wπ - , ]上的最小值是 ?2 ,则 ωx 的取值范围是[-,], 3 4 34 wπ π wπ 3π 3 ∴ ≤ 或 ≥ ,∴ w 的最小值等于 ,故选答案 B。 3 2 4 2 2
【解析】函数 f ( x) = 2 sin wx ( w > 0) 在区间

[

【例 3】 (2010 辽宁)已知函数 f ( x) =

1 1 (sin x + cos x) - sin x - cos x ,则 f (x) 的值域是 2 2

, A、 [- 1 ,1]

B、 [-

2 , 1] 2

C、 [- 1 ,

2 2

]

D、 [- 1 ,

2 2

]

f ( x) ?
【解析】

?cos x(sin x ? cos x) 1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?sin x(sin x ? cos x)

3

即等价于

{sin x, cos x}min ,故选择答案 C。

【例 4】 (2009 福建)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2

?? (I)若 cos cos, ? ? sin sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4 4

?

w w ks 5uc o ..w..... .. m

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 小正实数 m ,使得函数 f ( x) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。 【解析】 (I)由 cos 即 cos(

? ,求函数 f ( x) 的解析式;并求最 3

?
4

cos ? ? sin

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

,?? ?

?

4

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 又 T?

?
4

) 依题意,

2?

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

T ? ? 2 3

函 数 f ( x) 的 图 像 向 左 平 移 m 个 单 位 后 所 对 应 的 函 数 为

? ? ?? ? g ( x)? s i?n 3 ( m )? g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ? ? k? ? (k ? Z ) x ? ? 4 2 4? ?
k? ? ? ? (k ? Z ) 从而,最小正实数 m ? 。 12 3 12 ?? ? ?? ? 【例 5】 (2009 福建)已知向量 m ? (sin A, cos A), n ? (1, ?2), 且 m ? n ? 0 。
即m? (1)求 tan A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域。 【解析】w(1)由题意得 m ? n ? sin A ? 2cos A ? 0 ,因为 cosA≠0,所以 tanA=2 (2)由(1)知 tanA=2 得 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) ?
2

?? ?

1 2

3 2

? x ? R,?sin x ?[?1,1] ,当 sin x ?

1 3 , f ( x) 有最大值 ;当 sin x ? ?1 , f ( x) 有最小值 ?3 。 2 2

所以所求函数 f ( x) 的值域为 [?3, ] c.o.m 【例 6】 (2009 江苏)已知函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2b cos x, 且f (0) ? 8, f ( ) ? 12
2

3 2

? 6

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(1)求实数 a, b 的值; (2)求函数 f (x) 的最大值及取得最大值时 x 的值
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(1)由f (0) ? 8, f ( ) ? 12, 可得 【解析】 6

?

4

? 3 3 f (0) ? 2b ? 8, f ( ) ? a ? b ? 12, 6 2 2
所以b ? 4, a ? 4 3. (2) f ( x) ? 4 3 sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 4 ? 8sin(2 x ? ) ? 4, 6
故当2 x ?

?

?
6

? 2k? ?

?
2

,即x ? k? ?

?
6

, k ? Z 时,函数 f(x)的最大值为 12

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【例 7】 (2008 全国)已知函数 f 求常数 a, b 的值。 【解析】∵ f

? x ? ? ?a cos 2 x ? 2

? ?? 3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ?0 , ? ,值域为 [ -5,1 ], 2? ?

? x ? ? ?a cos 2 x ?
?
2
,∴ ?

?? ? 3a sin 2 x ? 2a ? b , ? ?2a cos? 2 x ? ? ? 2a ? b 3? ?

∵ 0? x?

?
3

? 2x ?

?
3

?

1 ?? 2? ? ,∴ ? ? cos? 2 x ? ? ? 1 . 2 3? 3 ?

当 a > 0 时,b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b, ?3a ? b ? 1 , ?a ? 2 , ∴ ? 解得 ? ?b ? ?5 . ?b ? ?5 . 当 a < 0 时,3a + b ≤ f ( x ) ≤ b, ?3a ? b ? ?5 , ?a ? ?2 , ∴ ? 解得 ? ?b ? 1 . ?b ? 1 . 故 a、b 的值为 ?

?a ? 2 ?b ? ?5

或 ?

?a ? ?2 ?b ? 1

【例 8】 (2010 北京)设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2)若 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根, ? , ? 的终边不共线,求 tan(? ? ? ) 的值 【解析】 (1) f ( x) =

?
12

) ? 4,

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a 2 + b 2 sin(ωx + φ) , ∴T = π , ∴ω = 2 , 又 ? f (x) 的最大值 f ( ) ? 4 , 12 2? 2? ∴ 4 = a 2 + b 2 ① , 且 4 ? a sin ②,由 ①、②解出 a ? 2, b ? 2 3 。 ? b cos 12 12 π (2)∵ f ( x) = 2 sin 2 x + 2 3 cos 2 x = 4 sin( 2 x + ) , f (? ) ? f ( ? ) ? 0 , 3 π π π π ? ? ∴ 4 sin( 2α + ) = 4 sin( 2 β + ) , ∴ 2α + = 2kπ + 2 β + , 或 2? ? ? 2k? ? ? ? (2? ? ) , 3 3 3 3 3 3 ? 即 ? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去),或 ? ? ? ? k? ? , 6 π 3 (k ∈ Z ) 。 ∴ tan(α + β ) = tan( kπ + ) = 6 3 1 3 2 sin x cos x ? 1( x ? R) 【例 9】(2010 上海)已知函数 y ? cos x ? 2 2
(1)求函数 y 的最大值,并求此时 x 的值 (2)该函数的图象可由 y ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
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?

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5

1 3 1 ? 5 cos2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 4 π 7 ∴当x = kπ + , k ∈ Z时, y max = ; 6 4 (2)将函数 y ? sin x 的图象依次进行如下变换:
【解析】(1) y ?

? ? ,得到函数 y ? sin(x ? ) 的图象; 6 6 1 ? ② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象; 2 6 1 1 ? ③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象; 2 2 6 5 1 ? 5 ④把得到的图象向上平移 个单位长度,得到函数 y ? sin(2 x ? ) + 的图象; 4 2 6 4 1 3 综上得函数 y ? cos2 x ? sin x cos x ? 1 的图象 2 2 ?x ? ?x 【例 10】 (2009 重庆)设函数 f ( x) ? sin( ? ) ? 2cos2 ?1. 4 6 8
① 把函数 y ? sin x 的图象向左平移
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(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

【解析】 (Ⅰ) f ( x) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x=

3 ? 3 ? ? ? sin x ? cos x = 3 sin( x ? ) 2 4 2 4 4 3

故 f ( x) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上, 从而 g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ 当0? x ?

?

(2 ? x ) ? ] = 3 sin[ ? x ? ] = 3 cos( x ? ) 2 4 3 4 3 4 3

?

?

?

?

?

?

? 3 3 ? ? ? 2? 4 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 cos ? 3 2 。 3 4 3 4 3 3

【课堂练习】
一、选择题 1、 (2008 天津)已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ?

?
4

处取得最小值,则函

6

数y? f(

3? ? x) 是( 4

) B、偶函数且它的图象关于点 (

A、偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C、奇函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D、奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

2、 (2011 全国)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2 A、 (

? 2?
3 , 3

)

B、 (

? ?

x 的一个单调增区间是( 2
C、 (0,

) D、 (?

, ) 6 2

?

3

)
? ?

? ?

, ) 6 6


3、 (2009 山东文)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ?

?? ? 的图象( ??

? 个单位 ? ? C、向左平移 个单位 ?
A、向右平移 4、 (2009 安徽)函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ① 图象 C 关于直线 x ?

? 个单位 ? ? D、向左平移 个单位 ?
B、向右平移

π : ) 的图象为 C, 3
② 函数 f (x) 在区间 (?

11 ? 对称; 12

π 5π , ) 内是增函数; 12 12

③ 由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 A、0 B、1

π 个单位长度可以得到图象 C .以上三个论断中正确论断的个数为( ) 3
C、2 D、3 )

? x π? ? π ? ? 5、 (2010 湖北)将 y ? 2cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( ?3 6? ? 4 ? ? x π? ? x π? A、 y ? 2cos ? ? ? ? 2 B、 y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? C、 y ? 2cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ?x π ? D、 y ? 2cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

6、 (2008 安徽)设函数 f ( x ) =

sin θ 3 3 cos θ 2 5π x + x + tan θ ,其中 θ ∈ [ 0, 3 2 12
C、 D、

],则导数 f

,

(1) 的取值范围是(



A、

B、

7、 (2009 全国)若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位长度后,与函数 6 4?


?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为( 6? ?
A、

1 6

B、

1 4

C、

1 3

D、

1 2

7

8、 (2009 全国Ⅰ文)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为( 3 ? D、 2



9、 (2009 宁夏海南文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ?R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是( A、 p1 , p4

x x 1 + cos 2 = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y ) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2
) B、 p2 , p4

?
2

C、 p1 , p3

D、 p2 , p3 )

10、 2010 辽宁理) ? >0,函数 y=sin( ? x+ ( 设 A、

2 3

B、

4 3

? 4? )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合, ? 的最小值是 则 ( 3 3 3 C、 D、3 2


11、 (2008 全国卷Ⅱ文)函数 y ? A、 [k? ?

sin x cos x 的单调减区间是(
B、 [k? ? D、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
4

] (k ? z )

?

C、 [2k? ?

?
4

,2k? ?

?
2

]( k ? z )
?
6

?

3 , k? ? ? ]( k ? z ) 4 4 4 , k? ?

?

2

]( k ? z )
).

12、 (20010 天津)函数 y ? 2 sin( A、 [0,

? 2 x) ( x ?[0, ? ]) 为增函数的区间是(
C、 [

?
3

]

B、 [

? 7?
12 12 ,

]

? 5?
3 , 6

]

D、[

5? ,? ] 6

二、填空题: 13、 (2009 全国Ⅰ理)若

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2 x tan x 的最大值为
3

14、 2010 广东理) ( 已知 a, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, C 所对的边, a=1, b, B, 若 b= 3 , A+C=2B, sinC= 则

.

? 15、 2010 福 建 理 ) 已知函数 f(x)=3sin( x(
x ? [0,

?

?
2

6

? >0) g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的 对称轴 完全 相同。若 )( 和

] ,则 f(x) 的取值范围是

.

16、 (2010 江苏)在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 则

b a ? ? 6cos C , a b

tan C tan C ? = tan A tan B

.

三、解答题:

8

17、 (2010 广东)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (I) 求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ?

?
2

), x ? R 。

3 ,求 sin 2? 的值。 4

18、 (2009 辽宁)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 x , x ? R .求: (I)函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (II)函数 f ( x) 的单调增区间。 19、 (2008 山东)已知函数 f(x)=A sin 2 (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0<? < 轴间的距离为 2,并过点(1,2) 。 (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008)。 20、 (2011 江西)如图,已知△ ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分别是边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ ABC 的中心 G,设 ?MGA=?(

? )函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相邻两对称 2

?

3

?? ?

2? ) 。 3

A

(1)试将△ AGM、△ AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2 )表示为 ? 的函数; (2)求 y=

1 1 + 2 的最大值与最小值。 2 S1 S2

?
M B D

N

C

【课后作业】
1.选择题 1、若 0<α<β< A、a<b<1
π ,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则( 4



C、ab<1 D、ab>1 π π 2、函数 f(x)=cos 2 x+sinx 在区间[- , ]上的最小值是( 4 4
1? 2 1? 2 C、-1 D、 2 2 π 3、函数 y=x-sinx 在[ ,π]上的最大值是( ) 2

B、a>b>1



A、

2 ?1 2

B、-

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A、

π -1 2

B、

3π +1 2

C、

2 3π - 2 2

D、π
π π , ]时的值域为( 6 4 D、 [0,1]

4、函数 y=log2 (1+sinx)+log2 (1-s inx) ,当 x∈[- A、 [-1,0] B、 (-1,0] C、 [0,1)



5、当 y=2cosx-3sinx 取得最大值时,tanx 的值是(



9

A、

3 2

B、-

3 2

C、 13
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D、4

6、函数 y=log2 (1+sinx)+log2 (1-sinx) ,当 x∈[ A、 [-1,0]

π π , ]时的值域为( 6 4



B、 (-1,0]

C、 [0,1) D、 [0,1] 7、若角α 满足条件 sin2α<0,cosα-sinα<0,则 α 在( ) A、第一象限 C、第三象限 A、等腰直角三角形 C、等腰三角形 B、第二象限 D、第四象限 ) B、直角三角形 D、等边三角形

8、在△ ABC 中,若 2cosB· sinA=sinC,则△ABC 的形状一定是(

9、在斜△ABC 中,s inA=-cosBcosC 且 tanBtanC=1A、

3 ,则∠A 的值为(
D、



π 6

B、

π 3

C、

2π 3


5π 6

10、函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值是( A、3 B、

5 2

C、

1? 2 2 2

D

1? 2 2 2

11、在直角三角形中两锐角为 A 和 B,则 sinAsinB=( ) 1 1 A、有最大值 和最小值 0, B、有最大值 ,但无最小值 2 2 C、既无最大值也无最小值 D、有最大值 1,但无最小值 12、函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ωx+φ)区间 [a,b]上( ) A、是增函数 B、是减函数 C、可以取得最大值 M D、可以取得最小值-M 二、填空题: 13、函数 y=

1 的最大值是 2 ? sin x ? cos x

14、当 0 ? x ?

?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为 sin 2 x

15、已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是 16、函数 y ?| sin x | cos x ? 1 的最小正周期与最大值的和为 17、在△ABC 中,a=sin(A+B) ,b=sinA+sinB,则 a 与 b 的大小关系为 三、解答题: 18、若函数 f ( x) ? ___

1 ? cos 2 x 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ?

?
4

) 的最大值为 2 ? 3 ,试确定常数 a 的值。

19、设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ?R ,其中 t ≤ 1 ,将 f ( x) 的最小值记为 g (t ) . 2 2

(I)求 g (t ) 的表达式;

10

(II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值。 , 20、已知 △ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB?AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为? .

??? ???? ?

??? ?

????

(I)求? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值。 ?4 ?

【参考答案】
【课堂练习】 一、选择 1-12 DAACA DDAAC BB 二、填空 13、-8 ;14、1;15、[- ,3] ;16、4 三、解答题 17、解: f ( x) ? sin x ? sin(x ?

3 2

?
2

) ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ?
2? ? 2? ; 1

?
4

)

(Ⅰ) f (x) 的最小正周期为 T ?

(Ⅱ) f (x) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ;

3 3 7 7 ,即 sin ? ? cos? ? ? ? ? ① ? 2 sin ? cos? ? ? ,即 sin 2? ? ? 4 16 4 16 1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 18、解:(I) f ( x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4
(Ⅲ)因为 f (? ) ?

?当 2 x ?

?

4

? 2 k? ?

?

2

, x ? k? ? 即

?

集合为 {x / x ? R, x ? k? ?

?
8

8

(k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 .函数 f ( x) 的取得最大值的自变量 x 的

(k ? Z )}。

(II) f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ? 即: k? ?

?
4

) 由题意得: 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

3? ? 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 。 8 8 8 8 A A 2 19、解: (1) y ? A sin (? x ? ? ) ? ? cos(2? x ? 2? ). ? y ? f ( x) 的最大值为 2, 2 2 A A 1 2? ? A ? 0 .? ? ? 2, A ? 2. 又?其图象相邻两对称轴间的距离为 2,? ? 0 ,? ( ) ? 2, ? ? . 2 2 2 2? 4 2 2 ? ? ? ? f ( x) ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) .? y ? f ( x) 过 (1, 2) 点,? cos( ? 2? ) ? ?1. 2 2 2 2 2

11

?

?
2

? 2? ? 2k? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2k? ?

?
2

, k ? Z , ?? ? k? ?

?
4

, k ? Z , 又? 0 ? ? ?

?
2

, ?? ?

?
4

.

(2)? ? ?

?
4

,? y ? 1 ? cos(

?

x ? ) ? 1 ? sin x. ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 . 2 2 2

?

?

又? y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.

20、解: (1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,∴AG=

2 3 3 ? ,?MAG= , ? = 3 2 3 6

由正弦定理

GM sin

?
6



GA

sin ?-?- ) ( 6
sin ?

?

得 GM=

3

6sin ?+ ) ( 6

?

则 S1 =

1 sin ? GM?GA?sin?= , ? 2 12sin ?+ ) ( 6

同理可求得 S2 =

12sin ?- ) ( 6

?



(2)y=

1 1 ? 2? 144 ? ? 2 2 2 =72(3+cot ?) ,因为 ? ? ? , + 2 = 2 〔sin(?+ )+sin(?- )〕 2 S1 S2 3 3 sin ? 6 6

所以当?=

? 2? ? 或?= 时,y 取得最大值 ymax=240,当?= 时,y 取得最小值 ymin=216。 3 3 2

【课后作业】 一、选择 1-12 DDDAB ABCAC BC 二、填空 13、

1 2 +1;14、 4 3 ;15、1;16、 2? ? ;17、a<b。 2 2

三、解答题 18、解: f ( x) ?

1 ? 2 cos2 x ? 1 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ?

?
4

)

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4

? 2 sin(x ?

?
4

) ? a 2 sin(x ?

?
4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin(x ?

?
4

)

4 x x 2 2 2 2 3 2 19、解: (I) f ( x) ? ? cos x ? 4t sin cos ? 4t ? t ? 3t ? 4 ? sin x ? 1 ? 2t sin ? 4t ? t ? 3t ? 4 2 2
? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 ? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .由于 (sin x ? t )2 ≥ 0 , t ≤ 1 ,故

因为 f (x) 的最大值为 2 ? 3, sin(x ?

?

) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3, 所以 a ? ? 3 ,

12

当 sin x ? t 时, f ( x) 达到其最小值 g (t ) ,即 g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 。 (II)我们有 g ?(t ) ? 12t 2 ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ? 1), ? t ? 1 .列表如下: (略)由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 ? ?? ,

? ?

1? ?和 2?

?1 ? ? 1 1? ?1? ? ?? 1? ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 g ? ? ? 2 ,极大值为 g ? ? ? ? 4 。 ?2 ? ? 2 2? ?2? ? 2?

, , 20、解: (Ⅰ)设 △ABC 中角 A B C 的对边分别为 a,b,c ,则由
?π π? , 0 ≤ cot? ≤ 1 ∴? ? ? , ? 。 ?4 2?
(Ⅱ) f (? ) ? 2sin 2 ?

1 bc sin? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 2

? ?π ?? ?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ?2 ?? ?4 ? ?

π ? π 2π ? π? ? ?π π? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1 .∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? , 3 ?6 3 ? 3? ?4 2? ?

5π π π? ? 时, f (? ) max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? ) min ? 2 。 ∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 .即当 ? ? 12 4 3? ?

13


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