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高中数学竞赛教程:第02讲 二次函数与二次不等式


第 2 讲 二次函数与二次不等式
本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 的解,是相应的二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) 中,函 数值为 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在 x 轴上的截距(函数图象与 x 轴的交点的横坐标) 。 二次不等式 a

x 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 的解,是相应的二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) 中, 函数值大于 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在 x 轴上方时 x 的取值范围;同样的,二次不等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 的解,是相应的二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) 中,函数值小于 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在 x 轴下方时 x 的取值范围。因此, ??0 ??0 ??0
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解
x ? x1 或 x ? x 2 x ? x 0 且 x ? R

一切实数

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 的解

x1 ? x ? x 2

无解

无解

高次不等式可以先进行因式分解,再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式 求解。

A 类例题
a2 (a ? 0) 的图象的顶点为 A ,与 轴的交点为 B , C , 2 当 ? ABC 为等边三角形时,求 a 的值。

例 1

设二次函数 y ? x 2 ? 2ax ?

分析 欲求 a 的值, 需得到一个关于 a 的方程。 因为 A 是 抛物线的顶点,所以 AB ? AC 。由 ? ABC 是等边三角形,得
AD ? 3 BC 。只要以 a 表示 AD 和 BC ,则 a 的值可求。 2


y ? ( x ? a) 2 ? a2 2

由 函 数 y ? x 2 ? 2ax ? 。 因 而 有

a2 (a ? 0) , 化 简 得 2 a2 2 ) 又 设 ,

A (?a ? ,

-1-

B ( x1 , 0) , C ( x 2 , 0) 。则

x 2 ? 2ax ?

a2 ? 0 (a ? 0) 2 a2 ?? 2 a. 2

? BC ?| x1 ? x 2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 4a 2 ? 4 ?
由 ? ABC 是等边三角形,得 AD ? 所以,

3 3 BC ,即 | y A |? BC 。 2 2

a2 3 ? (? 2 a) ? a ? ? 6 或 a ? 0 . 由 a ? 0 ,得所求 a 的值为 ? 6 . 2 2 例 2 当 a ? 0 时,解关于 x 的二次不等式

(1) x 2 ? 4ax ? 5a 2 ? 0 ; (2) x 2 ? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 3a ? 1) ? 0 ; (3) ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 4a ? 0 。 分析 解二次不等式,首先应判断相应的二次方程是否有实数根,然后再根据根的不同 情况求解。 解 (1)因为 x 2 ? 4ax ? 5a 2 ? ( x ? 5a)( x ? a) , 又 a ? 0 ,得 5a ? ? a 。 所以,原不等式的解为 x ? 5a 或 x ? ?a 。 (2)由 ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 3a ? 1) ? 20a ? 0 ( a ? 0) , 又 二次项系数大于 0,所以,原不等式无解。

4 (3)因为 ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 4a ? a ( x ? )( x ? a) , a
4 a2 ? 4 4 4 ? 及a ? 0, 得 a ? ?2 时, 当 ?2 ? a ? 0 时, 当 a ? ?2 a? ; a ? . 所以, a a a a 4 原不等式的解为 a ? x ? ; a

由 a?

时,

当 ?2 ? a ? 0 时,原不等式的解为 例3 解高次不等式

4 ?x?a 。 a

(1) x 3 ? 7 x ? 6 ? 0 ; (2) x ( x 2 ? 6 x ? 8)( x 2 ? 4x ? 3) ? 0 . 分析 项 式 解。 解 高次不等式求解的基本方法是,运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多 乘 积 , 再 通 过 积 的 符 号 法 则 求

-2-

(1) y ? x 3 ? 7 x ? 6 ? x( x 2 ? 1) ? 6( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,



x
x?3 x ?1 x?2 y ? ? ? ?

?3

1
? ? ? 0 0 ? ? ? ? 0 0

2
? ? ? ?

0

0

?

得原不等式的解是 x ? ?3 或 1 ? x ? 2 。 (2) y ? x ( x 2 ? 6x ? 8)( x 2 ? 4x ? 3) ? x ( x ? 2)( x ? 4)( x ? 1)( x ? 3) 由

x
x?4 x?2 x x ?1 x?3 y ? ? ? ? ? ?

?4
0 ? ? ? ? ? 0 ?

?2
? 0 ? ? ? ? 0 ? 0 0

0
? ? ? ? ? ? 0 0

1
? ? ? ? ? ?

3
? ? ? ? 0 0 ? ?

得原不等式的解是 ?4 ? x ? ?2 , 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。

-3-

链接
x1 , x 2 ,

对于形如 y ? ( x ? x1 )( x ? x 2 )

( x ? x n ) ( x1 ? x 2 ?

? x n ) 的 n 次多项式,将它的 n 个根

, x n 按数轴上大小顺序排列, 全体实数被分成 n ? 1 个区间。 当 x 由大到小依次取值时,

每越过一个根,多项式中必有一个因式改变符号。因而,多项式 y 在相邻两个区间上取的值符 号相反。又当 x ? x1 时, y ? 0 。据此,得 不 等 式
( x ? x1 x ? )x (
2

x ? xn )?

x ( ?x ? 1 ) ? xn 2 0

( 的







)

( x3 , x 2 )

( x1 , ? ? ) ;







( x ? x1 x ? )x (

2

x ? xn ) ?

x( ? x ?1 ) ? xn

2

0 的( 解





)

( x 4 , x3 )

( x 2 , x1 ) 。

例如 解不等式 ( x ? 1)(2 x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2) ? 0 。 由多项式 y ? ( x ? 1)(2 x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2) 的 5 个根依次为 ?3 , ? 不等式 ( x ? 1)(2 x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2) ? 0 的解集是

1 2 , ,1 和 8 。所以, 2 3

1 2 (?3, ? ) ( ,1) (8, ? ?) ; 2 3 同样的,不等式 ( x ? 1)(2 x ? 1)( x ? 3)( x ? 8)(3x ? 2) ? 0 的解集是 1 2 (?? , ? 3) (? , ) (1, 8) 。 2 3

情景再现
1.抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于 C 点。若 ? ABC 是直角三角 形,求 ac 的值。 2.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。 3.解关于 x 的不等式 (1) ?4 ? x 2 ? 5x ? 2 ? 26 ; x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) (2) ?0 。 x 2 ? 2x ? 3

B 类例题 例 4 解不等式 ( x 2 ? 4)( x 2 ? 5x ? 6)( x 3 ? 1) ? 0 。

-4-



( x 2 ? 4)( x 2 ? 5x ? 6)( x 3 ? 1) ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 1) x2 ? x ?1 ? 0 ,

?

原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2) 2 ? 0 .
(?1, 3) , 又当 x ? 2 时,( x ? 2) 2 ? 0 ,

不等式 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3) ? 0 的解集为 (?? , ? 2)

?

原不等式的解集为 (?? , ? 2)

(?1, 2)

(2, 3) 。

例 5 已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ? 分析

1 , 3 ) ,求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集。 2

求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解,有两条思考途径。一是直接由条件推出 a , b, c 的关

系;二是寻找不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 与 ax 2 ? bx ? c ? 0 的联系。 1 1 解 1 因 为 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 是 ( ? , 3 ), 得 a ? 0 且 ? 和 3 是 方 程 2 2
a x2 ? b x? c?0 的两个根。



? ?a ? 0 , ? 1 5 ? b ?? ? ? ? 3 ? , ? 2 2 ? a ?c 1 3 ? (? )? 3 ?? , ? 2 2 ?a

? ?c ? 0 ? 5 ?b ? ? , 3 ?c ?a 2 ?? , ? 3 ?c



b a 5 2 1 cx 2 ? bx ? a ? c ( x 2 ? x ? ) ? c( x 2 ? x ? ) ? c( x ? 2)( x ? ) c c 3 3 3 1 所以,不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( ? 2, ) 。 3
解 2 因 为 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 是 ( ?

1 1 , 3) ,得 a ? 0 且 ? 和3 是方程 2 2

a x2 ? b x? c?0 的两个根。

于方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 中,因为 a ? 0 ,得 x ? 0 。设 y ?
ay 2 ? by ? c ? 0 。

1 ,方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 可化为 x

1 1 由 ? 和 3 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,得 ?2 和 是方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 的两个根。 2 3 又方程的两根异号及 a ? 0 ,得 c ? 0 。 1 所以,不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ( ? 2, ) 。 3
例 6 解关于 x 的不等式: (m ? 3) x 2 ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (m ? R) 。

-5-

分析 解

由于题中 x 的二次项系数含有参数,应先确定不等式类别,再求解。

5 (1)当 m ? ?3 时,原不等式为 ?6 x ? 5 ? 0 ,解为 x ? ? ; 6

(2)当 m ? ?3 时, ? ? 4m 2 ? 4(m ? 3)(m ? 2) ? ?4(m ? 6)
?m ? 3 ? 0 , 得原不等式的解为一切实数; 10 m ? 6 时,由 ? ??0, ?

2 0 m ? 6 时,原不等式为 9 x 2 ? 12 x ? 4 ? 0 ,解为 x ?

2 的所有实数; 3

3 0 ? 3 ? m ? 6 时, m ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,得原不等式的解为
x? ?m ? 6 ? m ?m ? 6 ? m 或x? ; m?3 m?3

4 0 m ? ?3 时, m ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,得原不等式的解为
?m ? 6 ? m ?m ? 6 ? m ?x? 。 m?3 m?3

所以,原不等式 当 m ? ?3 时,解为
?m ? 6 ? m ?m ? 6 ? m ?x? ; m?3 m?3

5 当 m ? ?3 时,解为 x ? ? ; 6
当 ?3 ? m ? 6 时,解为 x ? 当 m ? 6 时,解为 x ?
?m ? 6 ? m ?m ? 6 ? m 或x? ; m?3 m?3

2 的所有实数; 3 当 m ? 6 时,解为一切实数。

情景再现
4.解不等式 ( x 2 ? 9)( x 2 ? 3x ? 18)( x 3 ? 8) ? 0 。 5.不等式 x 2 ? px ? q ? 0 的解集是 {x | x ? ?3 或 x ? 2} ,求实数 p , q 的值。 6.已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 1 与 g ( x) ? 2 x ? 4 ,试确定 x 的取值范围,使函数 f ( x) 的图 象在函数 g ( x) 的图象的下方。

C 类例题 例 7 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f ( x) 的图象在 y 轴上的截距为 1,在

x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式。

-6-

分析

本题给出了三个条件, “ f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ” ,表明此二次函数图象的对称轴为

x ? ?2 ; “ 在 y 轴 上 的 截距 为 1 ” ,表明 c ?1 ; “ 在 x 轴 上 截得 的线 段 长为 2 2 ” ,表明

| x1 ? x 2 |? 2 2 。由此得如下解法。
解 1 由 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 得 函 数 f ( x) 的 图 象 的 对 称 轴 为 x ? ?2 。 故 可 设

f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? m 。

由 a( x ? 2) 2 ? m ? 0 ? ax 2 ? 4ax ? 4a ? m ? 0 ,又 | x1 ? x 2 |? 2 2 , 得

( x1 ? x 2 )2 ? x ( 1 ?x

2 2 )?

x4x 1 ? 2

又 f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得 解(1) 、 (2) ,得 所以, f ( x) ?

4(4 a?m ) (1) a f(0) ? 1? a 4 ? m ? 1 (2) ?8 2 ? 4

a?

1 , m ? ?1 。 2

1 2 x ? 2x ? 1 。 2

解 2 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 由 f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得 c ? 1 ;由 f (x ? 2) ? f ( ?x ? 2) ,得 ? 故 f ( x) ? ax 2 ? 4ax ? 1 。 由 ax 2 ? 4ax ? 1 ? 0 及 | x1 ? x 2 |? 2 2 ,得

b ?? 2 ,即 b ? 4a 。 2a

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2 ? 8 ? 4 2 ?
所以, f ( x) ? 解 3

4 1 。 ?a? a 2

1 2 x ? 2x ? 1 。 2

由函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2)及在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,可得

f ( x) ? 0 的两根为 x1 ? ?2 ? 2 , x2 ? ?2 ? 2 。故可设 f ( x) ? a( x ? 2 ? 2)( x ? 2 ? 2) 。

由 f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得

f (0) ? 1 ? a(2 ? 2)(2 ? 2) ? 1 ? a ?
所以, f ( x) ?

1 。 2

1 2 x ? 2x ? 1 。 2

例 8 已知 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有三个不同的实数解,求实数

m 的取值范围。

-7-

分 析

函 数 解 析 式 f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 1 可 化 为

?x 2 ? 1 , x ? 1 ? 。它的图象是由两段抛物线弧组成,因此 f ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x , x ? 1
方程 f ( x) ? x ? m 的三个不同的实数解表现为直线 y ? x ? m 与其中一段抛物线弧有两个交点, 与另一段抛物线弧仅有一个 交点。 观察它们的图象易知, 当 x ? 1 时, 方程有一解; 当 x ?1 时,方程有两解。 解 (1) x ? 1 时,由 x 2 ? 1 ? x ? m ,得 x 2 ? x ? 1 ? m ? 0 。由两根之和为 1,得此方程 大于 1 的解至多一个。 设 x ? 1 ? t ,原方程可化为 t 2 ? t ? 1 ? m ? 0 。原方程有一个大于 1 的解,即此方程有一个 正解。由 ?1 ? m ? 0 ,得 m ? ?1 时,方程 f ( x) ? x ? m 有一个大于 1 的解; (2) x ? 1 时,由 1 ? x 2 ? x ? m ,得 x 2 ? x ? 1 ? m ? 0 。 设 x ? 1 ? t ,原方程可化为 t 2 ? 3t ? 1 ? m ? 0 。原方程有两个小于 1 的解,即此方程有两 个负解。
? ? ? 9 ? 4 ? 4m ? 5 ? 4 m ? 0 5 由? ,得 ?1 ? m ? 时,方程 f ( x) ? x ? m 有两个小于 1 的解; 1 ? m ? 0 4 ?

综合(1) , (2) ,当 ?1 ? m ?

5 时,关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有三个不同的实数解。 4

例 9 已知 a , b, c 是实数,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , g ( x) ? ax ? b , 当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 。 (1)证明: | c |? 1 ; (2)证明:当 ?1 ? x ? 1 时, | g ( x) |? 2 ; (3)设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时, g ( x) 的最大值为 2,求 f ( x) 。 分析 证明(1) 、 (2)的关键在于通过 f ( x) ? 1, x ?[?1,1] 确定系数 a , b, c 的取值范围,

即用 f ( x) 在区间 [ ?1, 1] 上的值表示系数 a , b, c ; (3)需要通过条件“当 ?1 ? x ? 1 时, g ( x) 的 最大值为 2” , 确定系数 a , b, c 的值。 由于题设条件中多为不等关系, 因而需要注意 “夹逼思想” 的应用。 证明 (1) | c |?| f (0) |? 1 ;

(2)若 a ? 0 , 当 ?1 ? x ? 1 时, 则 ? a ? b ? g (?1) ? g ( x) ? g (1) ? a ? b 。 由 f (?1) ? a ? b ? c ? a ? b ? f (?1) ? c ?| ?a ? b |?| f (?1) ? c |?| f (?1) | ? | c |? 2 ; f (1) ? a ? b ? c ? a ? b ? f (1) ? c ?| a ? b |?| f (1) ? c |?| f (1) | ? | c |? 2 。 及 ? a ? b ? g ( x) ? a ? b ,得 | g ( x) |? 2 ; 若a ? 0, 当 ?1 ? x ? 1 时, 则 a ? b ? g (1) ? g ( x) ? g (?1) ? ?a ? b 。

-8-

同理可得 | g ( x) |? 2 。 所以,当 ?1 ? x ? 1 时, | g ( x) |? 2 ; 解 (3)由 a ? 0 , 在 [ ?1, 1] 上, g ( x) | 最大值 ? g (1) ? a ? b ? 2 。 由 f (1) ? a ? b ? c ? 2 ? c ? 1 ? c ? ?1 ? c ? ?1 ( | c |? 1) 。 由 f (0) ? c ? ?1 ? f ( x) , 得 x ? 0 时, 二次函数 f ( x) 取最小值, 即 x ? 0 是二次函数 f ( x) 的 图象的对称轴。因而, b ? 0, a ? 2 。 所以, f ( x) ? 2x 2 ? 1 。

情景再现
7.已知抛物线 y ? ax 2 ( a ? 0) 与直线 y ? bx ? c (b ? 0) 有两个公共点,它们的横坐标分别 为 x1 , x 2 , 又 直 线 y ? bx ? c 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 ( x3 , 0) 。 则 x1 , x 2 , x 3满 足 的 关 系 式 是 ( )

A x1 ? x 2 ? x C x ? x2 x3 ? 1 x1 x 2

3

B

1 1 1 ? ? x1 x 2 x

3

D x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x1

5 13 8. 已知抛物线 y ? f ( x) 的顶点是 (? , ? ) , 且方程 f ( x) ? x 的两个根之差为 2, 求 f ( x) 2 4 的解析式。
9 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的 图 象 与 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 , 若
f (c) ? 0, 0 ? x ? c 时, f ( x) ? 0 。

1 与 c 的大小; a (2) 证明: ?2 ? b ? ?1 ;
(1) 试比较 (3) 当 c ? 1 , t ? 0 时,求证:

a b c ? ? ? 0。 t ? 2 t ?1 t

习题 2
1 1 . 若 不 等 式 0 ? x 2 ? p x ?5 ? 恰好有一个实数值为解,则 p 的取值是





A p ? ?4

B p ? ?2 5

C p ? ?2 5 或 p ? 2 5

D p的值不存在

2. x 5 ? x 4 ? x ? 1 ? 0 . 3。求关于 x 的不等式 42 x 2 ? ax ? a 2 的解。
2 3 ? 3x ? 5 , y 2 ? 5x ? 22 x ? 4x ? 15 ,若 x 取任意实数,试比较 y1 与 4.设 y1 ? x 4 ? 2x3 ? 3x

-9-

y 2 的大小。

5.已知关于 a 的不等式 m 2 ? (4 ? a 2 )m ? 4a 2 ? 0 ( | a |? 1) 恒成立。则实数 m 的取值范围是 ( )
A 0?m?4 B 1? m ? 4 C m?4或m?0 D m ?1或 m ? 0

6.已知关于 x 的二次方程 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 0 有两个整数根,且 m 2 ? 72m ? 720 ? 0 , 求整数 m 的值及相应的根。 。 7.求出所有实数 k 的值,使二次方程 kx 2 ? 2(3k ? 1) x ? 9k ? 1 ? 0 的两个根都是整数。 8.若对于 0 ? x ? 1 ,不等式 x 2 ? ax ? 3 ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 9. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 和一次函数 y ? ?bx , 其中 a , b, c 均为实数,a ? b ? c 且
a?b?c ?0

(1)证明 两函数的图像交于 A, B 两个不同的交点; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围。 10.证明不存在满足下列两个条件的二次多项式 f ( x) : (1)当 | x |? 1 时, | f ( x) |? 1 ; (2) | f (2) | ? 8 。 答 案 情景再现 1. 由 ? ABC 是直角三角形,得 ? AOC ∽ ?COB , 因此

AO CO ? OC OB
c ? c2 a

? AO ? OB ? OC 2 ? ? x1 x 2 ? c 2 ? ? ? ac ? ?1.

2.原不等式可化为 (2 ? a) x 2 ? 2(2 ? a) x ? 4 ? 0 , 当 a ? 2 时,原不等式为 4 ? 0 ,恒成立;
? ?2 ? a ? 0 , 当 a ? 2 时, ? ? ?2 ? a ? 2 ; 2 ? ?? ? 4(2 ? a) ? 16(2 ? a) ? 0 ,

综上,当 ?2 ? a ? 2 时,原不等式恒成立。
2 ? ? x ? 5x ? 2 ? ?4 , 3. (1)不等式 ?4 ? x 2 ? 5x ? 2 ? 26 等价于 ? 2 ? ? x ? 5x ? 2 ? 26 .

解得原不等式的解是 ?3 ? x ? 2 或 3 ? x ? 8 。 (2)因为不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,所以

- 10 -

x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ? 0 等价于 x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ? 0 。 x 2 ? 2x ? 3 解得原不等式的解是 x ? ?3 , 0 ? x ? 1 或 x ? 5 。
不等式 4. 原不等式可化为 ( x ? 3) 2 ( x ? 3)( x ? 6)( x ? 2)( x 2 ? 2x ? 4) ? 0 , 因为 不等式 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 恒成立,又 ( x ? 3) 2 ? 0 ,得 当 x ? 3 时,原不等式等价于不等式 ( x ? 3)( x ? 6)( x ? 2) ? 0 , 解得 ?6 ? x ? ?3 或 x ? 2( x ? 3) ;经检验,当 x ? 3 时,原不等式不成立。 所以,原不等式的解为 ?6 ? x ? ?3 , 2 ? x ? 3 或 x ? 3 。 5 . 由 题 意 , ?3 和 2 是 二 次 方 程 x 2 ? px ? q ? 0 的 两 个 根 , 所 以 ,
p ? ?(?3 ? 2) ? 1 , q ? ?3 ? 2 ? ?6 。

6. 由题意, f ( x) ? g ( x) ? 0 。 由 (3x 2 ? 6x ? 1) ? (2x ? 4) ? 3x 2 ? 8x ? 5 ? 0 ,得 1 ? x ? 所以,当 1 ? x ?

5 。 3

5 时,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) 的图象的下方。 3

7. 由

b ? x1 ? x 2 ? , 2 ? ? ? y ? ax ? a ? ax 2 ? bx ? c ? 0 ? ? ? y ? bx ? c ? ? ? x x ??c . 1 2 ? a ?



? c ?y ? b x c ? x3 ? ? . ? b ?y ? 0
( x1 ? x 2) x 3? x x ? 1 2 1 1 1 ? ? 。所以,应选 B 。 x1 x 2 x 3

消去 a , b , c , 得

5 13 8. 设 f ( x) ? a( x ? ) 2 ? ,则 2 4 f ( x) ? x ? ax 2 ? (5a ? 1) x ? 25a ? 13 ?0 4

由 | x1 ? x2 | ? 2 ? (5a ? 1) 2 ? a(25a ? 13) ? 4 ? a ? 1 。 所以, f ( x) ? x 2 ? 5x ? 3 。 9. 由题意, c 是方程 f ( x) ? 0 的根,又方程 f ( x) ? 0 的两根之积为 的另一个根为 (1) 若 0 ?

c ,所以方程 f ( x) ? 0 a

1 1 ,且 f ( ) ? 0 。 a a

1 1 1 1 ? c ,则 f ( ) ? 0 ,次与 f ( ) ? 0 矛盾。所以, ? c ; a a a a (2) 由 f (c) ? 0 ? ac ? b ? 1 ? 0 ? b ? ?1 ? ac ,又 0 ? ac ? 1 ,得 ?2 ? b ? ?1 ;
(3) 欲证不等式等价于

? (t ) ? (a ? b ? c) t 2 ? (a ? 2b ? 3c) t ? 2c ? 0 。
- 11 -

由 0 ? 1 ? c ,得 f (1) ? 0 ? a ? b ? c ? 0 。 由(2) ?2 ? b ? ?1 ,得 a ? 2b ? 3c ? (a ? b ? c) ? (b ? 2c) ? 0 。 因此,抛物线 ? (t ) 的开口向上,且对称轴位于 y 轴左方。当 t ? 0 时,? (t ) 的值随着 t 的 值增加而增加。所以,当 t ? 0 时 ? (t ) ? ? (0) ? 2c ? 0 ,即原命题得证。 习题 2 1. 不等式 0 ? x 2 ? px ? 5 ? 1有唯一实数解,要求开口向上的抛物线 y ? x 2 ? px ? 5 的最小 值为 1。 由 x 2 ? px ? 5 ? ( x ? 2.
p 2 p2 p2 ) ?5? ? 1 ? p ? ?4 。所以,应选 A 。 ,得 5 ? 2 4 4

因为 x 5 ? x 4 ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x 4 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)( x 2 ? 1) , 所以,原不等式的解为 x ? ?1 且 x ? 1 。

3.

42 x 2 ? ax ? a 2 可化为 (6 x ? a)(7 x ? a) ? 0 ,

当 a ? 0 时,不等式的解为 ? 当 a ? 0 时,不等式无解; 当 a ? 0 时,不等式的解为 4.

a a ?x? ; 6 7

a a ?x?? 。 7 6

2 y1 ? y 2 ? x 4 ? 3x 3? 5x 2 ? x ? 10 ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 2x ? 5)

因为 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 恒成立,所以, 当
?1 ? x ? 2

时,

y1 ? y 2 ; y1 ? y 2 ; y1 ? y 2 。

当 x ? ?1 或 x ? 2 时, 当 x ? ?1或 x ? 2 时, 5.

原不等式可化为 (m ? 4)(m ? a 2 ) ? 0 。因为 0 ? | a | ? 1 ,不等式的解为 m ? | a | 或
m ? 4 。欲要原不等式恒成立,实数 m 的取值范围是 m ? 0 或 m ? 4 。所以,应选 C 。

6.

解不等式 m 2 ? 72m ? 720 ? 0 ,得 12 ? m ? 60 。 又 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 0 ,得 ? ? 4(m ? 1) 2 ? 4m 2 ? 4(2m ? 1) 。 由此方程有整数根, 得 ? 为完全平方数。所以, m ? 24 或 m ? 40 。当 m ? 24 时,原方 程为 x 2 ? 50 x ? 24 2 ? 0 ,解得 x1 ? 32 或 x 2 ? 18 ; 当 m ? 40 时,原方程为 x 2 ? 82 x ? 40 2 ? 0 ,解得 x1 ? 50 或 x 2 ? 32 。

7. 由 kx 2 ? 2(3k ? 1) x ? 9k ? 1 ? 0 ,得

- 12 -

6k ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? k ? 9 k ? 1 ? xx ? 1 2 ? k ?

? 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 12

化简得

(2 x1 ? 1)(2 x 2 ? 1) ? 25 ,

?2 x ? 1 ? ? 1 , ? 5 . ?x ? 0 , 1 , 3 , ? 2 . 由? 1 ? ? 1 ?2 x 2 ? 1 ? ? 25, ? 5. ? x 2 ? ? 12, 13 , 3 , ? 2 .

1 1 1 经检验, 所求 k 的值为 , ? , . 9 4 5
8.
a a2 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ? ( x ? ) 2 ? 3 ? a ? 。 2 4

当?

a ? 0 即 a ? 0 时, 2
f min ( x) ? f (0) ? 3 ? a ? 0 ? a ? 3 , ? 0 ? a ? 3 ;

a 当 0 ? ? ? 1 即 ?2 ? a ? 0 时, 2
a a2 f min ( x) ? f (? ) ? 3 ? a ? ?0 ? ?6? a? 2, 2 4 ?? 2 ? a ? 0 ;

a 当 ? ? 1 即 a ? ?2 时, f min ( x) ? f (1) ? 4 ? 0 , ? a ? ?2 . 2 综上,所求 a 的取值范围是 a ? 3 。
9. (1)由 ax 2 ? bx ? c ? ?bx ? ax 2 ? 2bx ? c ? 0 因为 ? ? 4b 2 ? 4ac ? 4(a ? c) 2 ? 0 (
a ? c) ,所以两函数的图像交于两个不同的交点;

(2) | A1B1 | 2 ? | x1 ? x 2 | 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2
b c 4(a ? c) 2 c ? 4 ( )2 ? 4 ? ? 4(1 ? ) 2 . a a a a2 ?a ? 0 , c ? 0 , ?a ? b ? c ? 又 ? ? ? c 1 ?2 ? ? ? . ?a ? b ? c ? 0 ? a 2 ?

所以,线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围是 (3 , 6) 。 10. (反证法)反设存在满足条件的二次多项式 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ; a? ? f (0) . 2 2 由题意, | f (0) |? 1; | f (1) |? 1; | f (?1) |? 1 ,所以
则 c ? f (0) ; b ?

- 13 -

| f (2) | ? | 4a ? 2b ? c | ? | 3 f (1) ? f (?1) ? 3 f (0) | ? 3 | f (1) | ? | f (?1) | ?3 | f (0) |? 7.

此与 | f (2) |? 8 矛盾。所以满足条件的二次多项式不存在。 (由证明过程,得原题中条件(2)可强化为 | f (2) |? 7 )

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