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高一必修一函数典型例题复习


【例 1】

求函数 f(x)=x2-6x+5 在区间[-1,5]上的最值.

【分析】 f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,作出函数f(x)的图象, 利用最值的几何意义求出最值



【解】

f(x)=(x-3)2-4,(其图象如图所示.

由图象知,)3∈[-1,5],∴当 x=3 时,f(x)有最小值 f(3)= -4.又 f(-1)=(-1-3)2-4=12,而 f(5)=(5-3)2-4=0, ∴当 x=-1 时,f(x)有最大值 f(-1)=12. 综上知,函数 f(x)在区间[- 1,5]上的最大值为 12,最小值 为-4.

4 【例 2】 求函数 f(x)=x+ 在[1,3]上的最值. x 【分析】 先利用定义判断函数的单调性,再求最值.

【解】

设 1≤x1<x2≤3,

4 4 + - x 1 4 2 则 f(x1)-f(x2)=x1+ - x2 =(x1-x2) x1x2 . x1 又∵x1<x2,∴x1-x2<0. 4 当 1≤x1<x2≤2 时,1- <0. x1x2 f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在[1,2]上是减函数; 4 当 2<x1<x2≤3 时,1- >0, x1x2

f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x)在(2,3]上是增函数. 4 ∴f(x)的最小值为 f(2)=2+ =4. 2 4 13 又∵f(1)=5,f(3)=3+ = <f(1), 3 3 ∴f(x)的最大值为 5.

函数奇偶性判断的方法

金版28页跟踪练习1(1)

例:f(x)=|x+1|+|x-1|
(3)定义域为(-∞,+∞), 关于原点对称 ∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1| =|x-1|+|x+1| =f(x), ∴f(x)为偶函数.

8.已知函数 f(x)=x2+4x+3. (1)若 g(x)=f(x)+bx 为偶函数求 b; (2)求函数 f(x)在[-3,3]上的最大值.
[解析] (1)g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3,

g(-x)=x2-(b+4)x+3,∵g(x)=g(-x), ∴b+4=0,∴b=-4. (2)f(x)=x2+4x+3 关于直线 x=-2 对称, 因此 f(x)在 x=-2 取得最小值 f(-2)=-1, 在 x=3 取得最大值 f(3)=24.

[解析] (1)g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3, g(-x)=x2-(b+4)x+3,∵g(x)=g(-x), ∴b+4=0,∴b=-4. (2)f(x)=x2+4x+3 关于直线 x=-2 对称, 因此 f(x)在 x=-2 取得最小值 f(-2)=-1, 在 x=3 取得最大值 f(3)=24.

(1)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 [2,6]上是减函数,比较 f(-5)与 f(3)的大小.

解:∵f(x)是偶函数, ∴f(-5)=f(5), ∵f(x)在[2,6]上是减函数, ∴f(5)<f(3), ∴f(-5)<f(3).

[解析] (2)如果奇函数 f(x)在区间[1,6]上是增函数, 且最大值为 10, 最小值为 4,那么 f(x)在[-6,-1]上是增函数还是减函数?求 f(x)在[-6,-1]上的最大值和最小值. (2)设-6≤x1<x2≤-1,则 1≤-x2<-x1≤6, ∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为 10,最小值为 4,∴4 =f(1)≤f(-x2)<f(-x1)≤f(6)=10, 又∵f(x)为奇函数,∴4≤-f(x2)<-f(x1)≤10, ∴-10≤f(x1)<f(x2)≤-4, 即 f(x)在[-6,-1]上是增函数,且最小值为-10,最大值 为-4.


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