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2010年全国高中数学联赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛 一 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 2. 是 3. . 双曲线 x
2

f ?( x) ? 1 ,试求 a 的最大值.
10. 20 分) ( 已知抛物线 . 且 x1 其中 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) , x1 ? x2

/>


函数

f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

已知函数

y ? (a co s2 x ? 3) s inx 的 最 小 值 为 ? 3 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
11.(20 分)证明:方程 2 x
3

? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递

? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点
.

增正整数数列 {a n } ,使得

(纵横坐标均为整数的点)的个数是 4. 已知

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

{a n }

是公差不为

0

的等差数列,

{bn }

是等比数列,其中 解 答

a1 ? 3, b1 ? 1, a 2 ? b2 ,3a5 ? b3 , 且 存 在 常 数 ? , ? a n ? lo g bn ? ? ,则 ? ? ? ? ?
5. 函数 .

使得对每一个正整数

n 都有
1. 从而可知 2. 即

[?3, 3 ]

提示:易知

f (x) 的定义域是 ?5,8?,且 f (x) 在 ?5,8?上是增函数,

f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1)
. .

在区间

x ? [?1,1] 上的最大值为

f (x) 的值域为 [?3, 3 ] .

8,则它在这个区间上的最小值是 6.

?

两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,

3 ? a ? 12 2

提示:令 sin x

? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,

否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 7. 正三棱柱

ABC? A1 B1C1 的

9 条棱长都相 等, .

P 是 CC1 的中点, 二面角


g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t . ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3
及t ,

B ? A1 P ? B1 ? ? ,则 sin? ?
8. 方程 x ?

? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0



y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是

.

(t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0

?1 ? 0

知 ? at(t

? 1) ? 3 ? 0
(1)



二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分) 已知函数

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当t

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时,

? 0,?1 时(1)总成立;

1



0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2

; 对

? 1 ? t ? 0,?

1 ? t2 ? t ? 0 4

. 从 而 可 知

3 (? ,+?) 上是递增的. 2
当0 ?

?

3 ? a ? 12 . 2
3. 9800 提示: 由对称性知, 只要先考虑 x 轴上方的情况, 设

a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,
g ( y)max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ? 1 , 2

y ? k (k ? 1,2,?,99)
所以

与双曲线右半支于

Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk , 则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,

从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为

1 1 1 g ( y) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,
g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 4.
3

? 9800 .
所以

3 ?3

提示 :设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则

3 ? d ? q,
3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
(1)代入(2)得 9 ? 12 d 从 而 有

g ( y ) min ? 2 ?2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ?
综上

(1)

1 . 4

f (x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ?

(2) 6.

1 . 4 21 7 ? ,从而先投掷人的 36 12

? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .
对 一 切 正 整 数

12 17

提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

获胜概率为 都 成 立 , 即

3 ? 6(n ? 1) ? l o ?g9 n ?1 ? ?

n

7 5 7 5 7 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? ? ? 12 12 12 12 12 12
10 4

6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ?
从而

对一切正整数 n 都成立. 7. 提示: 解法一: 如图, AB 所在直线为 x 以

1 12 . ? 25 17 1? 144
z A1 C1 B1 P A O

log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ?
求得

, 轴,线段

AB 中点 O 为原点, OC 所在直线为 y 轴,建立

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
5.

空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则

?

1 4

提示:令

a x ? y,

则原函数化为

g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2

,

g ( y)



B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,
2

C B x

y

BA1 ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) .
设分别与平面

连结

B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角.设 AA1 ? 2 ,则易求得

BA1 P

、平面

B1 A1 P

垂直的向量是

m ? ( x1 , y1 , z1 )



PB ? PA1 ? 5 , A1O ? B1O ? 2 , PO ? 3 .
在 直 角

n ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则

?PA1O
6 5
.





A1O ? PO ? A1 P ? OE

,



?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?
由此可设

2 ? 3 ? 5 ? OE ,? OE ?



B1O ? 2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
sin ? ? sin ?B1 EO ?

6 4 5 ? . 5 5
.

?? ? ?? ? m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3 ) ,所以 m ? n ? m ? n cos ?

,即

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 4

6 4

. 8. 336675 提示:首先易知

B1O 2 10 ? ? B1 E 4 5 4 5

x ? y ? z ? 2010

的正整数解的个数为

所以

sin ? ?

.

2 C 2009 ? 2009 ? 1004 .

解法二:如图, PC 设

? PC1 , PA1 ? PB
AB1
交 于 . 点

A1
.

把x?

y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类:

C1

A1 B



O,



(1) x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

E B1 O A P

OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1

因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从 而 AB1 ? 平 面

PA1 B

.

1 ? 3 ?1003 ? 6k ? 2009 ?1004 ,
C
所以

过 O 在平面 PA1 B 上作 OE

? A1 P ,垂足为 E .

B
3

6k ? 2009 ?1004 ? 3 ?1003 ? 1

? 2006 ?1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ?1005 ? 2004 ,
即 从而满足 x

容易知道当 ? 1 ?

z ? 1 时, 0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 .
, 即

从而当 ? 1 ?

z ? 1 时,

? y ? z 的正整数解的个数为 1 ? 1003 ? 335671 ? 336675

k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .
.

0?

h( z ) ? h ( ? z ) ?2 2

9. 解法一:

f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c, 由

? f ?(0) ? c, ? 1 3 ? ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2, 4 4 3a 3a 8 从而 ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1 知 a ? . 4 4 3 8 3 2 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值 3 8 为 . 3 0?
10. 解 法 一 : 设 线 段

AB









M ( x0 , y 0 )





1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2

x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 2 2
k AB ?



8 8 3 2 . 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件, 3 3 8 所以 a 最大值为 . 3
所以 a

?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

.

线段

AB 的垂直平分线的方程是
y ? y0 ? ? y0 ( x ? 2) . 3
(1)

解法二:

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c .

设 g ( x)

? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时,
易知 x

? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定

0 ? g ( x) ? 2 .


z ?1 ,?1 ? z ? 1 . z ? 2x ? 1 ,则 x ? 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4
4

点,且点 C 坐标为 (5,0) .

由(1)知直线

AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0

x?
(2)代入

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)

?

1 1 2 2 2 (9 ? y 0 )( 24 ? 2 y 0 )(9 ? y 0 ) 3 2
2 2 2 1 1 9 ? y 0 ? 24 ? 2 y 0 ? 9 ? y 0 3 ( ) 3 2 3

y 2 ? 6 x 得 y 2 ? 2 y 0 ( y ? y 0 ) ? 12 ,即
2 y 2 ? 2 y 0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .

?
(3)

?
当 且

依题意,

y1 , y 2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y 2 ,所以
? ? 4 y ? 4(2 y ? 12) ? ?4 y ? 48 ? 0 ,
2 0 2 0 2 0

14 7 3

. 仅 当
2 2 9 ? y 0 ? 24 ? 2 y 0





? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

y0 ? ? 5
2

,

A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 3 3



AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

A

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值为

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
O

B

14 7. 3

y2 ? (1 ? 0 )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9
2 y0 2 2 ? (1 ? )( 4 y 0 ? 4(2 y 0 ? 12)) 9

C(5,0)

x

解法二: 同解法一, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点, 且点 C 坐标为 (5,0) . 设
2 2 x1 ? t12 , x2 ? t 2 , t1 ? t 2 , t12 ? t 2 ? 4





2 2 2 ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) 3
定点 C (5,0) 到线段

.

S ?A

5 1 2 ? B t1 2 2 t2

0
C

1 1 的绝对值,

6t1

6t 2 1

AB 的距离
.

2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y0 2 3
5

1 2 2 S ?ABC ? ( (5 6t1 ? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 2 3 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2

所 以

S ?ABC

3 (4 ? 2t1t 2 )(t1t 2 ? 5)(t1t 2 ? 5) 2 3 14 ? ( )3 , 2 3 14 ? 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 3 ?
,

去掉上面等式两边相同的项,有

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1 且

?s 2 ?s 3 ? ?, t1 ? t 2 ? t 3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的.

t ?t ? 4
2 1 2 2

, 即 不妨设 s1

t1 ?

7? 5 6

? t1 ,则

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,
,

t2 ? ?

7? 5 6

A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

1 ? r t1 ? s1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ?
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 ? 1? r

1 1 1? 2

?1 ? 1,

6 ? 35 6 ? 35 A( , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值是 11.令 又
3

14 7. 3
2





f ( x) ? 2 x ? 5 x ? 2 ,则 f ?( x) ? 6 x ? 5 ? 0 ,所以 f (x) 是严格递增的.
1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上
A

1 3 1 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f (x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 4 2
所以

一点(不是边 BC 的中点) 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 ,D AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A, B,D,C 四点共圆.
B O

2r ? 5r ? 2 ? 0 ,
3

2 r ? ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ?? . 5 1? r3
故数列 a n

EK D

C

? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列. ? a2 ? ? ? an ? ? 和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?
2. ( 40 分 ) 设 k 是 给 定 的 正 整 数 ,
M

P

Q

若存在两个不同的正整数数列 a1 满足

N

r?k?

r a1 ? r a2 ? r a3

2 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ? , 5
6

1 2

.记

) f ( 1 ( r ) ? f ( r ) ? ?r, f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 ? ? ? r

?1? 这里,? x ? 表示不小于实数 x 的最小整数, 例如: f ( m ) ( r ) 为一个整数. ?? ? ? ? 2 ? ? 1 ,?1? ? 1 . ? ?
3. 记 (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak

AQ AP ? QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得





? 1, k ? 1, 2,? , n ,

Ak ?
n n

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ?, n . k
由①,②,③可得

NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN



求证:

n ?1 ? ak ? ? Ak ? 2 . k ?1 k ?1

MC DE AP ? ? ? 1. CD EA PM NB MC ND MD , 所以 ,故△DMN ? ? BD CD BD DC

③ ∽ △DCB,于是

4.

(50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形

A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1

所以 故 即 矛盾! ?DMN ? ?DCB , BC∥MN, OK⊥BC, K 为 BC 的中点, 从而 A, B, D, C 四点共圆. 注 1:“ PK
2

两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的 数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置? 解 答

? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使



PK ? KF ? AK ? KE ,
1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的
A



则 P,E,F,A 四点共圆,故

外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q,连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P,连接 PQ. 因为 PK
2

?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是
O

? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
B

PK ? PF ? PE ? PC

C



EK D

⑤-④,得
Q

同理

P

PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂
(关于⊙O) .
N

QK 2 ? ? QO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
M

A

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
O F B EK D P C

所以 故 OK ⊥ PQ .

PO2 ? PK 2 ? QO 2 ? QK 2 ,
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

7

Q

N M

? k? ?
这里

1 , 2



k ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? .
显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1.故由归纳假设知, r ? ? k ? ? 到整数,由①知, 2. 记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时,

1 经过 f 的 v 次迭代得 2

f ( v ?1) (r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明.
k

f ( m ) ( r ) 为整数.
3. 由 0 ? ak

下面我们对 v2 ( k ) 当v

? v 用数学归纳法.

? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ? ? ai ? k ,
i ?1

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时
1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ? k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?

注意到当 x,

y ? 0 时,有 x ? y ? max ? x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

为整数. 假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ? k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 n i ? k ?1

k ? 2v ? ? v ?1 ? 2v ?1 ? ? v ? 2 ? 2v ? 2 ?? ,
这里, ? i 于是

? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ?.

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 ? ? n i ? k ?1 ?1 ?1 1? ? ? max ? ( n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n

1?? 1 ? ? 1 ? ? f ( r ) ? ? k ? ?? k ? ? ?? k ? ? k ? 1 ? ? 2?? 2? ? 2 ? ?

? 1?
n

k n
n


n

?

1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 v ?1 ? ? 2 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22v ? ? 2
8



? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1

?

?? A
k ?1

n ?1

n

? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1

n ?1

? n ? 2i ? ? 2 ? ? ?

?
j ?0

2 Cn ?j2i ? 2n ? 2i ?1 .



? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? n? 2 k ?1 ?
n ?1

代入①式中,得

4.

对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

在的边上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给 定的点

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C n ? C n ? 2 i ? ? 4? ? C n 2 ? ? 2? ? Cn2i 2n?2i ? ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

A1 上的设置(共有

4 种) ,按照边上的字母可以依次确定点

A2 , A3 , ?, An 上的设

k k ? ? Cn 2n ? k ? ? Cn 2n ? k (?1) k ? (2 ? 1) n ? (2 ? 1) n k ?0 k ?0

n

n

置.为了使得最终回到

A1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密

码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条 的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2i 条, 0 ? i

? 3n ? 1 .
当 n 为偶数时,若 i

?

?n? ? n ? 2i ? .选 ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条, 0 ? j ? ? ?2? ? 2 ? ?

n n ,则②式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 2 2

a,此时只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

取 2i 条边标记 a 的有 Cn 种方法,在余下的边中取出 2 余的边标记 c.由乘法原理,此时共有 Cn 不同的密码设置方法数为
2i

2i

j 条边标记 b 的有 Cn2?j2 i 种方法,其
i,j 求和,密码锁的所有

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

2 Cn ?j2 i 种标记方法.对

? n ? 2i ? ? ? n ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2i 2 i n ? 2 i ?1 ? 2j ? ?? ? Cn ? Cn ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 i ?0 j ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?

2 ? 2 ? 4? ? Cn i 2n ?2i ?1 ? ? 3n ? 3 . i ?0

?n? ?2? ? ?



综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 当 n 为偶数时有 3
n

n

? 1 种;

这里我们约定 C

0 0

?1.

? 3 种.

当 n 为奇数时, n ? 2 i

? 0 ,此时

9


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