江西省赣州市博雅文化学校2016届高考数学二轮专题 新题演练 集合

江西省赣州市博雅文化学校 2016 届高三数学二轮专题新题演练 集
一、选择题。 1． 设集合 Sn ? ?1, 2,3,?, n? ， 若 Z 是 Sn 的子集， 把 Z 中的所有数的和称为 Z 的 “容量” （规 定空集的容量为 0） ．若 Z 的容量为奇（偶）数，则称 Z 为 Sn 的奇（偶）子集． 命题①： Sn 的奇子集与偶子集个数相等； 命题②：当 n ? 3 时， Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等 则下列说法正确的是（ ） A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 【答案】A 【解析】设 S 为 Sn 的奇子集，令 T ? ?

合

? S ?1,1? S ，则 T 是偶子集， A ? T 是奇子集的集 ? S{1,1? S ?T ?1,1? T 与之对应， ?T {1,1? T
n ?1

到偶子集的一一对应， 而且每个偶子集 T ， 均恰有一个奇子集，S ? ?

故 Sn 的奇子集与偶子集个数相等， 所以①正确； 对任一 i(1 ? i ? n) ， 含 i 的子集共有 2 用上面的对应方法可知， 在 i ? 1 时， 这2
n ?1

个，

个子集中有一半是奇子集， 在 i ? 1 时， 由于 n ? 3 ，

将上边的 1 换成 3 ，同样可得其中有一半是奇子集，于是在计算奇子集容量之和是

?2
i ?1

n

n?2

根据上面所说， 这也是偶子集的容量之和， 两者相等， 所以当 n ? 3 i ? n(n ? 1)2n ?3 ，

时， Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等，即命题②正确，故应选 A . 2．设 S 为复数集 C 的非空子集．若对任意 闭集。下列命题：①集合 S＝{a＋bi|（ ②若 S 为封闭集，则一定有 ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 ； 的任意集合 也是封闭集． ，都有 ，则称 S 为封

为整数， 为虚数单位）}为封闭集；

上面命题中真命题共有哪些？（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④

1

【答案】B 【解析】①成立，因为集合 S 里的元素，不管是相加，还是相减，还是相乘，都是复数， 并且实部，虚部都是整数；②当 x ? y 时， x ? y ? 0 ? S 所以成立；③不成立，举例： ?0? 就是封闭集，但是有限集，④举例， S ? ?0?, T ? ?0， 1?集合 T 就不是封闭集．所以不成立． 3． 已知映射 f : A ? B ， 其中法则 f : ? x, y, z ? ? 2 x ? y , y ? z ,3 z ? 5 ． 若 B ? ??4,1,8??，

?

?

则集合 A 可以为（ A． ??1,2,1?? B． ??1,2,1??或 C．

）

?? 2,0, ?1?? ?? 2,0, ?1??或 ??1,2,1?, ?2,0,?1??

?? 2,0, ?1??

D． ??1,2,1??或 【答案】D

? 2x ? y ? 4 ? 【解析】解 ? y ? z ? 1 解得答案 D ?3 z ? 5 ? 8 ?
4． 对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算 “※” 如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数 时, m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定义下,集合

M ? {(a, b) | a ※ b ? 16} 中的元素个数是（

）

A. 18 个 B. 17 个 C. 16 个 D. 15 个 【答案】B. 3+13=16 ，4+12=16 ， 5+11=16 ，6+10=16 ，7+9=16 ， 【解析】 因为 1+15=16 ，2+14=16 ， 8+8=16 ， 1? 16=16 ， （a,b） 集合 M 中的元素是有序数对 ， 所以集合 M 中的元素共有 8 ? 2+1=17 个， 故选 B. 5． 设 ， 与 是 的子集， 若 与 ， 则称 为一个 “理想配集” 。

那么符合此条件的“理想配集” （规定 是 （ ） A.4 B.8 【答案】C.

是两个不同的“理想配集” ）的个数

C.9

D.16

1,3?时，B ? ? 1,3?或 B ? ? 1,2,3?或 B ? ? 1,2,4?或 B ? ? 1,2,3,4?， 【解析】 当A?? 共3个 “理
想配集” ；

1,2,3?时， B ? ? 1,3?或 B ? ? 1,3,4?，共 2 个“理想配集” 当A?? ；

2

当A?? ； 1,3,4?时， B ? ? 1,2,3?或 B ? ? 1,2,3?，共 2 个“理想配集” 当A?? 1,2,3,4?时， B ? ? 1,3?，共 1 个“理想配集” 所以符合条件的“理想配集”的个数为 9. 6．用 C ( A) 表示非空集合 A 中元素的个数，定义 ， 若 ， ） ，且 A ? B ? 1 ，设实数 的所有可能取值

构成集合 S ，则 C ( S ) ? （

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 2 2 2 2 【解析】由于（x +ax）（x +ax+2）=0 等价于 x +ax=0 ①或 x +ax+2=0 ②， 又由 A={1，2}，且 A*B=1， ∴集合 B 要么是单元素集合，要么是三元素集合， 当集合 B 是单元素集合，则方程①有两相等实根 0，②无实数根， ∴a=0； 当集合 B 是三元素集合时，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根， 则?

?a ? 0
2 ?? ? a ? 8 ? 0

解得 a=±2，综上所述 a=0 或 a=±2 ∴C（S）=3．故答案为 D． 7．在映射 f : A ? B 中， A ? B ? 中的元素 A.

?? x, y ? x, y ? R? ，且 f : ? x, y ? ? ?x ? y ,x ? y ? ，则 A
） D.

? ?1, 2? 在集合 B 中的象为（
B.

? ?3,1?

? ?1, ?3?

C.

?1,3?

? 3,1?
，故 A 中的元素

【答案】A 【解析】由题意，对应关系为 中的象为

f : ? x, y ? ? ? x ? y, x ? y ?

? ?1, 2? 在集合 B

? ?3,1?

二、填空题。

1,2?， A 与 B 是 S 的两个子集，若 A ? B ? S ，则称 ( A, B) 为集合 S 的一 8．设集合 S ? ?
个分拆，当且仅当 A = B 时，( A, B) 与 ( B, A) 是同一个分拆。那么集合 S 的不同的分拆个数 有__________个。 【答案】9

3

【解析】由于集合 S={1，2}的子集为：?，{1}，{2}，{1，2}， 而由题意知，若 A∪B=S， 则称（A，B）为集合 S 的一个分拆， 故①当 A=?时，B=S；②当 A={1}时，B={2}或{1，2}； ③当 A={2}时，B={1}或{1，2}；④当 A={1，2}时，B={1}或{2}或{1，2}． 故集合 S 的不同 的分拆个数有 9 个 9．已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，使得

成立，则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①

；

② ③ ④

； ； . .

其中是“垂直对点集”的序号是 【答案】②④ 【解析】对应① y ?

1 0 是以 x, y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是 90 ，所以在同一支 x

上，任意 ?x1 , y1 ?? M ，不存在 ?x2 , y2 ? ? M ，满足定义，在另一支上对任意 ?x1 , y1 ?? M ， 不存在 ?x2 , y2 ? ? M ，使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，所以 不是“垂直对点集” ；对应② y ? sin x ? 1 ，对应任意 ?x1 , y1 ?? M ，存在 ?x2 , y2 ? ? M ，使 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立，例如 ?0,1? ， ?? ,0? ，满足“垂直对点集”的定义，所以②是“垂直 对点集” ；对应③ y ? log2 x ，取点 ?1,0? ，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线 互相垂直，所以不是“垂直对点集” ；对应④ y ? e ? 2 ，如下图红线是直角始终存在，对
x

应任意 ?x1 , y1 ?? M ，存在 ?x1 , y1 ?? M ，使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立，例如，取点 M ?0,?1? ， 则 N ?ln 2,0? ，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集” ；故答案②④.

4

10 ．将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合

A, B, C ，其中
元素满足条件： （1）若 （2）对于“完并集合” 其元素乘积最小的集合是____．

， ， ，

， 1,2， ， ，则称

，若 A, B, C 中的 为“完并集合”．

为“完并集合”，则 的一个可能值为____． （写出一个即可） ，在所有符合条件的集合 中，

,12? 【答案】 （1）7、9、11 中任一个； （2） ?6,10,11 1,4? ， B ? ?3,5? ，根据完美集合的概念知集合 C ? ?6, x? ， 【解析】 （ 1 ）若集合 A ? ?
x ? 4?3? 7，

1,5?， B ? ?3,6?，根据完美集合的概念知集合 C ? ?4, x? ， x ? 5 ? 6 ? 11 ， 若集合 A ? ? 1,3?， B ? ?4,6?，根据完美集合的概念知集合 C ? ?5, x?， x ? 3 ? 6 ? 9 ， 若集合 A ? ?
故 x 的一个可能值为 7、9、11 中任一个

? 1,2,3,4?， B ? ?5,8,7,9?，则 C ? ?6,10,12,11 若 A?? ?， 1,2,3,4?， B ? ?5,6,8,10?，则 C ? ?7,9,12,11 若 A??
?，则 C ? ?8,10,12,9? ， 1,2,3,4?， B ? ?5,6,7,11 若 A?? ?，故答案为 ?6,10,11,12?． 这两组比较得元素乘积最小的集合是 ?6,10,12,11
11． 若任意 x ? A, 则

1 1 1 ? A, 就称 A 是 “和谐” 集合.则在集合 M ? {?1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的 x 3 2
．

所有非空子集中,“和谐”集合的概率是

5

【答案】

1 17
8

【解析】根据题意，M 中共 8 个元素，则 M 的非空子集有 2 -1=255 个， 进而可得：“和谐”集合中的元素两两成对，互为倒数，观察集合 M，互为倒数的数有两对， 即2与

1 1 ，3 与 ；包括两个倒数是自身的数 1 与-1，可将这些数看作是四个元素，由于包 2 3
4

括四个元素的集合的非空子集是 2 -1=15， 则 M 的子集中， “和谐”集合的个数为 15； 故“和 谐”集合的概率是

1 15 1 ? ，故答案为 ． 17 255 17

12．对于集合 A ? {a1 , a2 , ???, an }（ n ? N * , n ? 3) ，定义集合

S ? {x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n} ，记集合 S 中的元素个数为 S ( A) ．若 a1, a2 , ???, an 是公差
大于零的等差数列，则 S ( A) =____________． 【答案】 2n ? 3 【解析】由题意，集合 S 中最小项为 a1 ? a2 ? 2a1 ? d ，最大项为

an?1 ? an ? 2a1 ? (2n ? 3)d ，对任意的 i(1 ? i ? 2n ? 3) ，如果 i ? n ? 1 ，则可取 2a1 ? id ? a1 ? (a1 ? id ) ? a1 ? ai ?1 ? S ，若 n ? i ? 2n ? 3 ，可取 2a1 ? id ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (i ? n ? 1)d ? an ? ai ?n?2 ，显然由于 n ? i ? 2n ? 3 ，有
2 ? i ? n ? 2 ? n ? 1 ，即 2a1 ? id ? S ，所以 S ( A) ? 2n ? 3 .
13 ． 已 知 集 合 A ? ?a1 , a2 ,?, an ? , 其 中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2), l ( A) 表 示 和

ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数.
（Ⅰ）若集合 A ? ?2,4,8,16?,则 l ( A) ? ________ ； （Ⅱ）当 n ? 108 时， l ( A) 的最小值为____________. 【答案】 （Ⅰ）6； （Ⅱ）213. 【解析】 （Ⅰ）因为 2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，故有 6 个不同 值.所以 l ( A) ? 6 ； （Ⅱ）当 n ? 108 时，将集合 A 中元素按从小到大顺序重新排列，得

A ? {a1, a2 , a3 ,?, a108} ，且 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a108 .依题意，和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 可以
组成 a1 ? a2 、 a1 ? a3 、 a1 ? a4 ?、 a1 ? a108 、 a2 ? a3 、?、 a2 ? a108 、 a3 ? a4 、?

a3 ? a108 、??、 a107 ? a108 共 5778 个.且易知 a1 ? a2 < a1 ? a3 < a1 ? a4 <?< a1 ? a108 ；

6

a2 ? a108 < a3 ? a4 <?< a3 ? a108 ；?? a106 ? a107 ? a106 ? a108 ? a107 ? a108 .当只要
i ? j ? m ? n ，就有 ai ? a j ? am ? an 时，和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数最
少，因为 a1 ? a2 为这些值中的最小值， a107 ? a108 为这些值中的最大值.所以

l ( A) ? 107 ?108 ? (1 ? 2) ?1 ? 213 .故 l ( A) 的最小值为 213.
14 ．在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为 ? k ? ，即

? k ? ? ?5 n ? k

n ?Z? ， k ? 0,1, 2,3, 4 ．给出如下四个结论：① 2013 ? ?3? ；② ?2 ? ?2? ；

③ Z ? ?0?∪ ?1?∪?2?∪?3?∪?4? ； ④ 整 数 a, b 属 于 同 一 “ 类 ” 的 充 要 条 件 是 “ a ? b ??0? ”．其中，正确结论的个数为 【答案】3 【解析】因为 2013 ? 5 ? 402 ? 3 ，所以 2013 ? ?3? ，①正确；因为 ?2 ? 5 ? (?1) ? 3 ，所以 ．

?2 ??3? ， ② 不 正 确 ； 显 然 ③ 正 确 ； 若 整 数 a , b 属 于 同 一 “ 类 ” ， 则 a ? b ?( 5 1n ? k ) ?( 2 5n ? k ) ? 1 5( n? n?) ? ，0 反 2 ?
a? b5 ? 1( n? 2 )n ? (1 5n ?
之 ，

a ? b ??0?

，

则

，即整数 a5 ,b k )2 ? ( n ?属于同一“类”，所以④正确，故正 k )

确的结论有 3 个. 三、解答题。 15． （本小题满分 13 分）若 A1 , A2 ,?, Am 为集合 A ? {1,2,?, n}(n ? 2 且 n ? N ) 的子集，
*

且满足两个条件： ①A 1 ? A2 ??? Am ? A ； ②对任意的 {x, y} ? A ，至少存在一个 i ? {1,2,3,?, m} ，使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} . 则称集合组 A1 , A2 ,?, Am 具有性质 P . 如图，作 n 行 m 列数表，定义数表中的第 k 行第 l 列的数为 akl ? ?

?1 ?0

(k ? Al ) (k ? Al )

.

a11

a12

? ?

a1m a2m

a 21

a 22

7

…

…

…
?

…

a n1

an2

a nm

（Ⅰ）当 n ? 4 时，判断下列两个集合组是否具有性质 P ，如果是请画出所对应的表格，如 果不是请说明理由； 集合组 1： A 1 ? {1,3}, A 2 ? {2,3}, A 3 ? {4} ； 集合组 2： A 1 ? {2,3, 4}, A 2 ? {2,3}, A 3 ? {1, 4} . （Ⅱ）当 n ? 7 时，若集合组 A1 , A2 , A3 具有性质 P ，请先画出所对应的 7 行 3 列的一个数 表，再依此表格分别写出集合 A1 , A2 , A3 ； （Ⅲ）当 n ? 100 时，集合组 A1 , A2 ,?, At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组，求

t 的值及 | A1 | ? | A2 | ?? | At | 的最小值.（其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数）
【答案】 （Ⅰ）集合组 1 具有性质 P ；集合组 2 不具有性质 P . （Ⅱ）
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .
（Ⅲ） 304 . 【 解析 】 （Ⅰ ）经验 证集合 组 1 具有 性质 P ； 集合组 2 不 具有 性质 P ， 因为存 在

{2,3} , {2,3} ? A3 ? ? ，与对任意 {2,3} ? ?1,2,3,4} ，有 {2,3} ? A1 ?{2,3}, {2,3} ? A2 ?
的 {x, y} ? A ，都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ，有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} 矛盾； （Ⅱ）先求出 对应的 7 行 3 列的一个数表， 由此可得 A （Ⅲ） 1 ? {3, 4,5,7}, A 2 ? {2, 4,6,7}, A 3 ? {1,5,6,7} ； 设 A1 , A2 ,?, At 所 对 应 的 数 表 为 数 表 M ， 由 题 意 可 得 对 任 意 x ? A ， 都 存 在

8

i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai ，所以 a xi ? 1 ，即第 x 行不全为 0，所以由条件①可知数表 M 中
任意一行不全为 0. 由条件②知，对任意的 {x, y} ? A ，都至少存在一个 i ?{1, 2,3,?, t} ， 使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} ，所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0，即第 x 行与第 y 行的第 i 列 的两个数一定不同.所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同 . 因为由 0,1 所构成 的 t 元有序数组共有 2 个，去掉全是 0 的 t 元有序数组，共有 2 ? 1 个，又因数表 M 中任意
t t

两行都不完全相同，所以 100 ? 2t ? 1 ，所以 t ? 7 .又 t ? 7 时，由 0,1 所构成的 7 元有序数 组共有 128 个，去掉全是 0 的数组， 共 127 个，选择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表， 则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质 P .所以 t ? 7 . 因为 | A 所以， 要使 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 等于表格中数字 1 的个数， 1 | ? | A2 | ?? ? | A t |取 得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，而 t ? 7 时，在数表 M 中，1 的个数为 1 的行最
2 3 多 7 行；1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行；1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行；1 的个数为 4 4 的行最多 C7 ? 35 行；

因 为 上 述 共 有 98 行 ， 所 以 还 有 2 行 各 有 5 个 1 ， 所 以 此 时 表 格 中 最 少 有 7 ? 2 ? 2 1? 3? 3 5 ? 4 ? 3? 5 ? 5 ? 2个 13 .04

304 . 所以 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 的最小值为
解： （Ⅰ）解：集合组 1 具有性质 P . 所对应的数表为：
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

集合组 2 不具有性质 P . 因为存在 {2,3} ? ?1,2,3,4} ， 有 {2,3} ? A 1 ? {2,3}, {2,3} ? A 2 ? {2,3} , {2,3} ? A 3 ? ?， 与对任意的 {x, y} ? A ，都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ，有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} 矛盾，所

P. 以集合组 A 1 ? {2,3, 4}, A 2 ? {2,3}, A 3 ? {1, 4} 不具有性质

9

（Ⅱ）
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .
（注：表格中的 7 行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设 A1 , A2 ,?, At 所对应的数表为数表 M ， 因为集合组 A1 , A2 ,?, At 为具有性质 P 的集合组， 所以集合组 A1 , A2 ,?, At 满足条件①和②， 由条件①： A 1 ? A2 ??? A t ? A， 可得对任意 x ? A ，都存在 i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai ， 所以 a xi ? 1 ，即第 x 行不全为 0， 所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0. 由条件②知，对任意的 {x, y} ? A ，都至少存在一个 i ?{1, 2,3,?, t} ，使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} ，所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0，即第 x 行与第 y 行的第 i 列的两个数一定不同. 所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同. 因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个，去掉全是 0 的 t 元有序数组，共有 2 ? 1 个，又
t t
t 因数表 M 中任意两行都不完全相同，所以 100 ? 2 ? 1 ，

所以 t ? 7 . 又 t ? 7 时，由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个，去掉全是 0 的数组，共 127 个，选择 其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表， 则数表对应的集合组满足条件①②， 即具有性质 P . t ? 7 所以 . 因为 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 等于表格中数字 1 的个数， 所以，要使 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 取得最小值，只需使表中 1 的个数尽可能少，

10

而 t ? 7 时，在数表 M 中， 1 的个数为 1 的行最多 7 行；
2 1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行； 3 1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行； 4 1 的个数为 4 的行最多 C7 ? 35 行；

因为上述共有 98 行，所以还有 2 行各有 5 个 1 ， 所以此时表格中最少有 7 ? 2 ? 21 ? 3 ? 35 ? 4 ? 35 ? 5 ? 2 ? 304 个 1 .

304 . 所以 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 的最小值为

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