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江西省赣州市博雅文化学校2016届高考数学二轮专题 新题演练 集合


江西省赣州市博雅文化学校 2016 届高三数学二轮专题新题演练 集
一、选择题。 1. 设集合 Sn ? ?1, 2,3,?, n? , 若 Z 是 Sn 的子集, 把 Z 中的所有数的和称为 Z 的 “容量” (规 定空集的容量为 0) .若 Z 的容量为奇(偶)数,则称 Z 为 Sn 的奇(偶)子集. 命题①: Sn 的奇子集与偶子集个数相等; 命题②:当 n ? 3 时, Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等 则下列说法正确的是( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立 【答案】A 【解析】设 S 为 Sn 的奇子集,令 T ? ?



? S ?1,1? S ,则 T 是偶子集, A ? T 是奇子集的集 ? S{1,1? S ?T ?1,1? T 与之对应, ?T {1,1? T
n ?1

到偶子集的一一对应, 而且每个偶子集 T , 均恰有一个奇子集,S ? ?

故 Sn 的奇子集与偶子集个数相等, 所以①正确; 对任一 i(1 ? i ? n) , 含 i 的子集共有 2 用上面的对应方法可知, 在 i ? 1 时, 这2
n ?1

个,

个子集中有一半是奇子集, 在 i ? 1 时, 由于 n ? 3 ,

将上边的 1 换成 3 ,同样可得其中有一半是奇子集,于是在计算奇子集容量之和是

?2
i ?1

n

n?2

根据上面所说, 这也是偶子集的容量之和, 两者相等, 所以当 n ? 3 i ? n(n ? 1)2n ?3 ,

时, Sn 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等,即命题②正确,故应选 A . 2.设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意 闭集。下列命题:①集合 S={a+bi|( ②若 S 为封闭集,则一定有 ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 ; 的任意集合 也是封闭集. ,都有 ,则称 S 为封

为整数, 为虚数单位)}为封闭集;

上面命题中真命题共有哪些?( ) A.① B.①② C.①②③ D.①②④

1

【答案】B 【解析】①成立,因为集合 S 里的元素,不管是相加,还是相减,还是相乘,都是复数, 并且实部,虚部都是整数;②当 x ? y 时, x ? y ? 0 ? S 所以成立;③不成立,举例: ?0? 就是封闭集,但是有限集,④举例, S ? ?0?, T ? ?0, 1?集合 T 就不是封闭集.所以不成立. 3. 已知映射 f : A ? B , 其中法则 f : ? x, y, z ? ? 2 x ? y , y ? z ,3 z ? 5 . 若 B ? ??4,1,8??,

?

?

则集合 A 可以为( A. ??1,2,1?? B. ??1,2,1??或 C.



?? 2,0, ?1?? ?? 2,0, ?1??或 ??1,2,1?, ?2,0,?1??

?? 2,0, ?1??

D. ??1,2,1??或 【答案】D

? 2x ? y ? 4 ? 【解析】解 ? y ? z ? 1 解得答案 D ?3 z ? 5 ? 8 ?
4. 对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算 “※” 如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数 时, m ※ n = m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※ n = mn .则在此定义下,集合

M ? {(a, b) | a ※ b ? 16} 中的元素个数是(



A. 18 个 B. 17 个 C. 16 个 D. 15 个 【答案】B. 3+13=16 ,4+12=16 , 5+11=16 ,6+10=16 ,7+9=16 , 【解析】 因为 1+15=16 ,2+14=16 , 8+8=16 , 1? 16=16 , (a,b) 集合 M 中的元素是有序数对 , 所以集合 M 中的元素共有 8 ? 2+1=17 个, 故选 B. 5. 设 , 与 是 的子集, 若 与 , 则称 为一个 “理想配集” 。

那么符合此条件的“理想配集” (规定 是 ( ) A.4 B.8 【答案】C.

是两个不同的“理想配集” )的个数

C.9

D.16

1,3?时,B ? ? 1,3?或 B ? ? 1,2,3?或 B ? ? 1,2,4?或 B ? ? 1,2,3,4?, 【解析】 当A?? 共3个 “理
想配集” ;

1,2,3?时, B ? ? 1,3?或 B ? ? 1,3,4?,共 2 个“理想配集” 当A?? ;

2

当A?? ; 1,3,4?时, B ? ? 1,2,3?或 B ? ? 1,2,3?,共 2 个“理想配集” 当A?? 1,2,3,4?时, B ? ? 1,3?,共 1 个“理想配集” 所以符合条件的“理想配集”的个数为 9. 6.用 C ( A) 表示非空集合 A 中元素的个数,定义 , 若 , ) ,且 A ? B ? 1 ,设实数 的所有可能取值

构成集合 S ,则 C ( S ) ? (

A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 2 2 2 2 【解析】由于(x +ax)(x +ax+2)=0 等价于 x +ax=0 ①或 x +ax+2=0 ②, 又由 A={1,2},且 A*B=1, ∴集合 B 要么是单元素集合,要么是三元素集合, 当集合 B 是单元素集合,则方程①有两相等实根 0,②无实数根, ∴a=0; 当集合 B 是三元素集合时,则方程①有两不相等实根,②有两个相等且异于①的实数根, 则?

?a ? 0
2 ?? ? a ? 8 ? 0

解得 a=±2,综上所述 a=0 或 a=±2 ∴C(S)=3.故答案为 D. 7.在映射 f : A ? B 中, A ? B ? 中的元素 A.

?? x, y ? x, y ? R? ,且 f : ? x, y ? ? ?x ? y ,x ? y ? ,则 A
) D.

? ?1, 2? 在集合 B 中的象为(
B.

? ?3,1?

? ?1, ?3?

C.

?1,3?

? 3,1?
,故 A 中的元素

【答案】A 【解析】由题意,对应关系为 中的象为

f : ? x, y ? ? ? x ? y, x ? y ?

? ?1, 2? 在集合 B

? ?3,1?

二、填空题。

1,2?, A 与 B 是 S 的两个子集,若 A ? B ? S ,则称 ( A, B) 为集合 S 的一 8.设集合 S ? ?
个分拆,当且仅当 A = B 时,( A, B) 与 ( B, A) 是同一个分拆。那么集合 S 的不同的分拆个数 有__________个。 【答案】9

3

【解析】由于集合 S={1,2}的子集为:?,{1},{2},{1,2}, 而由题意知,若 A∪B=S, 则称(A,B)为集合 S 的一个分拆, 故①当 A=?时,B=S;②当 A={1}时,B={2}或{1,2}; ③当 A={2}时,B={1}或{1,2};④当 A={1,2}时,B={1}或{2}或{1,2}. 故集合 S 的不同 的分拆个数有 9 个 9.已知集合 ,若对于任意 ,存在 ,使得

成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:





② ③ ④

; ; . .

其中是“垂直对点集”的序号是 【答案】②④ 【解析】对应① y ?

1 0 是以 x, y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角是 90 ,所以在同一支 x

上,任意 ?x1 , y1 ?? M ,不存在 ?x2 , y2 ? ? M ,满足定义,在另一支上对任意 ?x1 , y1 ?? M , 不存在 ?x2 , y2 ? ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,所以 不是“垂直对点集” ;对应② y ? sin x ? 1 ,对应任意 ?x1 , y1 ?? M ,存在 ?x2 , y2 ? ? M ,使 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,例如 ?0,1? , ?? ,0? ,满足“垂直对点集”的定义,所以②是“垂直 对点集” ;对应③ y ? log2 x ,取点 ?1,0? ,曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线 互相垂直,所以不是“垂直对点集” ;对应④ y ? e ? 2 ,如下图红线是直角始终存在,对
x

应任意 ?x1 , y1 ?? M ,存在 ?x1 , y1 ?? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,例如,取点 M ?0,?1? , 则 N ?ln 2,0? ,满足“垂直对点集”的定义,所以是“垂直对点集” ;故答案②④.

4

10 .将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合

A, B, C ,其中
元素满足条件: (1)若 (2)对于“完并集合” 其元素乘积最小的集合是____.

, , ,

, 1,2, , ,则称

,若 A, B, C 中的 为“完并集合”.

为“完并集合”,则 的一个可能值为____. (写出一个即可) ,在所有符合条件的集合 中,

,12? 【答案】 (1)7、9、11 中任一个; (2) ?6,10,11 1,4? , B ? ?3,5? ,根据完美集合的概念知集合 C ? ?6, x? , 【解析】 ( 1 )若集合 A ? ?
x ? 4?3? 7,

1,5?, B ? ?3,6?,根据完美集合的概念知集合 C ? ?4, x? , x ? 5 ? 6 ? 11 , 若集合 A ? ? 1,3?, B ? ?4,6?,根据完美集合的概念知集合 C ? ?5, x?, x ? 3 ? 6 ? 9 , 若集合 A ? ?
故 x 的一个可能值为 7、9、11 中任一个

? 1,2,3,4?, B ? ?5,8,7,9?,则 C ? ?6,10,12,11 若 A?? ?, 1,2,3,4?, B ? ?5,6,8,10?,则 C ? ?7,9,12,11 若 A??
?,则 C ? ?8,10,12,9? , 1,2,3,4?, B ? ?5,6,7,11 若 A?? ?,故答案为 ?6,10,11,12?. 这两组比较得元素乘积最小的集合是 ?6,10,12,11
11. 若任意 x ? A, 则

1 1 1 ? A, 就称 A 是 “和谐” 集合.则在集合 M ? {?1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的 x 3 2


所有非空子集中,“和谐”集合的概率是

5

【答案】

1 17
8

【解析】根据题意,M 中共 8 个元素,则 M 的非空子集有 2 -1=255 个, 进而可得:“和谐”集合中的元素两两成对,互为倒数,观察集合 M,互为倒数的数有两对, 即2与

1 1 ,3 与 ;包括两个倒数是自身的数 1 与-1,可将这些数看作是四个元素,由于包 2 3
4

括四个元素的集合的非空子集是 2 -1=15, 则 M 的子集中, “和谐”集合的个数为 15; 故“和 谐”集合的概率是

1 15 1 ? ,故答案为 . 17 255 17

12.对于集合 A ? {a1 , a2 , ???, an }( n ? N * , n ? 3) ,定义集合

S ? {x x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n} ,记集合 S 中的元素个数为 S ( A) .若 a1, a2 , ???, an 是公差
大于零的等差数列,则 S ( A) =____________. 【答案】 2n ? 3 【解析】由题意,集合 S 中最小项为 a1 ? a2 ? 2a1 ? d ,最大项为

an?1 ? an ? 2a1 ? (2n ? 3)d ,对任意的 i(1 ? i ? 2n ? 3) ,如果 i ? n ? 1 ,则可取 2a1 ? id ? a1 ? (a1 ? id ) ? a1 ? ai ?1 ? S ,若 n ? i ? 2n ? 3 ,可取 2a1 ? id ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (i ? n ? 1)d ? an ? ai ?n?2 ,显然由于 n ? i ? 2n ? 3 ,有
2 ? i ? n ? 2 ? n ? 1 ,即 2a1 ? id ? S ,所以 S ( A) ? 2n ? 3 .
13 . 已 知 集 合 A ? ?a1 , a2 ,?, an ? , 其 中 ai ? R(1 ? i ? n, n ? 2), l ( A) 表 示 和

ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数.
(Ⅰ)若集合 A ? ?2,4,8,16?,则 l ( A) ? ________ ; (Ⅱ)当 n ? 108 时, l ( A) 的最小值为____________. 【答案】 (Ⅰ)6; (Ⅱ)213. 【解析】 (Ⅰ)因为 2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,故有 6 个不同 值.所以 l ( A) ? 6 ; (Ⅱ)当 n ? 108 时,将集合 A 中元素按从小到大顺序重新排列,得

A ? {a1, a2 , a3 ,?, a108} ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a108 .依题意,和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 可以
组成 a1 ? a2 、 a1 ? a3 、 a1 ? a4 ?、 a1 ? a108 、 a2 ? a3 、?、 a2 ? a108 、 a3 ? a4 、?

a3 ? a108 、??、 a107 ? a108 共 5778 个.且易知 a1 ? a2 < a1 ? a3 < a1 ? a4 <?< a1 ? a108 ;

6

a2 ? a108 < a3 ? a4 <?< a3 ? a108 ;?? a106 ? a107 ? a106 ? a108 ? a107 ? a108 .当只要
i ? j ? m ? n ,就有 ai ? a j ? am ? an 时,和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数最
少,因为 a1 ? a2 为这些值中的最小值, a107 ? a108 为这些值中的最大值.所以

l ( A) ? 107 ?108 ? (1 ? 2) ?1 ? 213 .故 l ( A) 的最小值为 213.
14 .在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为 ? k ? ,即

? k ? ? ?5 n ? k

n ?Z? , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论:① 2013 ? ?3? ;② ?2 ? ?2? ;

③ Z ? ?0?∪ ?1?∪?2?∪?3?∪?4? ; ④ 整 数 a, b 属 于 同 一 “ 类 ” 的 充 要 条 件 是 “ a ? b ??0? ”.其中,正确结论的个数为 【答案】3 【解析】因为 2013 ? 5 ? 402 ? 3 ,所以 2013 ? ?3? ,①正确;因为 ?2 ? 5 ? (?1) ? 3 ,所以 .

?2 ??3? , ② 不 正 确 ; 显 然 ③ 正 确 ; 若 整 数 a , b 属 于 同 一 “ 类 ” , 则 a ? b ?( 5 1n ? k ) ?( 2 5n ? k ) ? 1 5( n? n?) ? ,0 反 2 ?
a? b5 ? 1( n? 2 )n ? (1 5n ?
之 ,

a ? b ??0?





,即整数 a5 ,b k )2 ? ( n ?属于同一“类”,所以④正确,故正 k )

确的结论有 3 个. 三、解答题。 15. (本小题满分 13 分)若 A1 , A2 ,?, Am 为集合 A ? {1,2,?, n}(n ? 2 且 n ? N ) 的子集,
*

且满足两个条件: ①A 1 ? A2 ??? Am ? A ; ②对任意的 {x, y} ? A ,至少存在一个 i ? {1,2,3,?, m} ,使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} . 则称集合组 A1 , A2 ,?, Am 具有性质 P . 如图,作 n 行 m 列数表,定义数表中的第 k 行第 l 列的数为 akl ? ?

?1 ?0

(k ? Al ) (k ? Al )

.

a11

a12

? ?

a1m a2m

a 21

a 22

7






?



a n1

an2

a nm

(Ⅰ)当 n ? 4 时,判断下列两个集合组是否具有性质 P ,如果是请画出所对应的表格,如 果不是请说明理由; 集合组 1: A 1 ? {1,3}, A 2 ? {2,3}, A 3 ? {4} ; 集合组 2: A 1 ? {2,3, 4}, A 2 ? {2,3}, A 3 ? {1, 4} . (Ⅱ)当 n ? 7 时,若集合组 A1 , A2 , A3 具有性质 P ,请先画出所对应的 7 行 3 列的一个数 表,再依此表格分别写出集合 A1 , A2 , A3 ; (Ⅲ)当 n ? 100 时,集合组 A1 , A2 ,?, At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组,求

t 的值及 | A1 | ? | A2 | ?? | At | 的最小值.(其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数)
【答案】 (Ⅰ)集合组 1 具有性质 P ;集合组 2 不具有性质 P . (Ⅱ)
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .
(Ⅲ) 304 . 【 解析 】 (Ⅰ )经验 证集合 组 1 具有 性质 P ; 集合组 2 不 具有 性质 P , 因为存 在

{2,3} , {2,3} ? A3 ? ? ,与对任意 {2,3} ? ?1,2,3,4} ,有 {2,3} ? A1 ?{2,3}, {2,3} ? A2 ?
的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ,有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} 矛盾; (Ⅱ)先求出 对应的 7 行 3 列的一个数表, 由此可得 A (Ⅲ) 1 ? {3, 4,5,7}, A 2 ? {2, 4,6,7}, A 3 ? {1,5,6,7} ; 设 A1 , A2 ,?, At 所 对 应 的 数 表 为 数 表 M , 由 题 意 可 得 对 任 意 x ? A , 都 存 在

8

i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai ,所以 a xi ? 1 ,即第 x 行不全为 0,所以由条件①可知数表 M 中
任意一行不全为 0. 由条件②知,对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3,?, t} , 使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} ,所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0,即第 x 行与第 y 行的第 i 列 的两个数一定不同.所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同 . 因为由 0,1 所构成 的 t 元有序数组共有 2 个,去掉全是 0 的 t 元有序数组,共有 2 ? 1 个,又因数表 M 中任意
t t

两行都不完全相同,所以 100 ? 2t ? 1 ,所以 t ? 7 .又 t ? 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数 组共有 128 个,去掉全是 0 的数组, 共 127 个,选择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表, 则数表对应的集合组满足条件①②,即具有性质 P .所以 t ? 7 . 因为 | A 所以, 要使 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 等于表格中数字 1 的个数, 1 | ? | A2 | ?? ? | A t |取 得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少,而 t ? 7 时,在数表 M 中,1 的个数为 1 的行最
2 3 多 7 行;1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行;1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行;1 的个数为 4 4 的行最多 C7 ? 35 行;

因 为 上 述 共 有 98 行 , 所 以 还 有 2 行 各 有 5 个 1 , 所 以 此 时 表 格 中 最 少 有 7 ? 2 ? 2 1? 3? 3 5 ? 4 ? 3? 5 ? 5 ? 2个 13 .04

304 . 所以 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 的最小值为
解: (Ⅰ)解:集合组 1 具有性质 P . 所对应的数表为:
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

集合组 2 不具有性质 P . 因为存在 {2,3} ? ?1,2,3,4} , 有 {2,3} ? A 1 ? {2,3}, {2,3} ? A 2 ? {2,3} , {2,3} ? A 3 ? ?, 与对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3} ,有 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} 矛盾,所

P. 以集合组 A 1 ? {2,3, 4}, A 2 ? {2,3}, A 3 ? {1, 4} 不具有性质

9

(Ⅱ)
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1

A1 ? {3, 4,5,7}, A2 ? {2, 4,6,7}, A3 ? {1,5,6,7} .
(注:表格中的 7 行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同) (Ⅲ)设 A1 , A2 ,?, At 所对应的数表为数表 M , 因为集合组 A1 , A2 ,?, At 为具有性质 P 的集合组, 所以集合组 A1 , A2 ,?, At 满足条件①和②, 由条件①: A 1 ? A2 ??? A t ? A, 可得对任意 x ? A ,都存在 i ?{1, 2,3,?, t} 有 x ? Ai , 所以 a xi ? 1 ,即第 x 行不全为 0, 所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0. 由条件②知,对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ?{1, 2,3,?, t} ,使 Ai ? {x, y} ? {x} 或 { y} ,所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0,即第 x 行与第 y 行的第 i 列的两个数一定不同. 所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同. 因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个,去掉全是 0 的 t 元有序数组,共有 2 ? 1 个,又
t t
t 因数表 M 中任意两行都不完全相同,所以 100 ? 2 ? 1 ,

所以 t ? 7 . 又 t ? 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个,去掉全是 0 的数组,共 127 个,选择 其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表, 则数表对应的集合组满足条件①②, 即具有性质 P . t ? 7 所以 . 因为 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 等于表格中数字 1 的个数, 所以,要使 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少,

10

而 t ? 7 时,在数表 M 中, 1 的个数为 1 的行最多 7 行;
2 1 的个数为 2 的行最多 C7 ? 21 行; 3 1 的个数为 3 的行最多 C7 ? 35 行; 4 1 的个数为 4 的行最多 C7 ? 35 行;

因为上述共有 98 行,所以还有 2 行各有 5 个 1 , 所以此时表格中最少有 7 ? 2 ? 21 ? 3 ? 35 ? 4 ? 35 ? 5 ? 2 ? 304 个 1 .

304 . 所以 | A 1 | ? | A2 | ?? ? | A t | 的最小值为

11


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