含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
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例 1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项
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系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
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? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ? , x2 ? 2a 2a
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? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ?
当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?
? ?
1? ? 2?
当 a ? 0 时, 解集为 ? x |
? ? ? ?
? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?
例 2 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解
? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0
? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
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分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
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解:∵ ? ? a ? 16
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∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ; 当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?
? ?
a? ?; 2?
当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?
? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2
∴不等式的解集为 ? x x ?
? ? ? ?
? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?
例 4 解不等式 m 2 ? 1 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R? 解 因 m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4 m 2 ? 1 ? 4 3 ? m 2 所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ?
?
?
?
? ?
?
? ?
1? ?; 2?
当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ?
? ? ? ?
2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1
? ? ?; ? ?
当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。 三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
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1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a
例5 解不等式 x ? (a ?
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只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ?
1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a
1 1? ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ?
1 ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?
当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?
2 2 例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0
分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根
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2 a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为
x1 ? 2a, x2 ? 3a ,当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;当 a ? 0 时,即 2a ? 3a ,解集为
?x | x ? 2a或x ? 3a?