含参数的一元二次不等式的解法(专题)

含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 x 项的系数 a 的符号分类，即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
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例 1 解不等式： ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 分析：本题二次项系数含有参数， ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ，故只需对二次项
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系数进行分类讨论。 解：∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
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? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ? , x2 ? 2a 2a
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? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ?
当 a ? 0 时，不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?

例 2 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 ， ? ? 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解

? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0

? 当 a ? 0 时，解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?；当 a ? 0 时，解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
二、按判别式 ? 的符号分类，即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ； 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
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分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
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解：∵ ? ? a ? 16
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∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时，解集为 R ； 当 a ? ?4 即Δ ＝0 时，解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?； 2?

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ， x2 ? ，显然 x1 ? x 2 , 2 2

∴不等式的解集为 ? x x ?

? ? ? ?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? 或x〈 ? 2 2 ? ?

例 4 解不等式 m 2 ? 1 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R? 解 因 m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4 m 2 ? 1 ? 4 3 ? m 2 所以当 m ? ? 3 ，即 ? ? 0 时，解集为 ? x | x ?

?

?

?

? ?

?

? ?

1? ?； 2?

当 ? 3 ? m ? 3 ，即 ? ? 0 时，解集为 ? x x ?

? ? ? ?

2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1

? ? ?； ? ?

当 m ? ? 3或m ? 3 ，即 ? ? 0 时，解集为 R。 三、按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类，即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ；
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1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析：此不等式可以分解为： ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a
例5 解不等式 x ? (a ?
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只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为： ? x ? a ?( x ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时， a ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时， a ?

1 1 ) ? 0 ，令 a ? ，可得： a ? ?1 a a

1 1? ? ，故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ； a a? ?

1 ,可得其解集为 ? ； a 1 ? 1 ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ?

当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ?

2 2 例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 ， a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ，又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ，故只需比较两根
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2 a 与 3a 的大小.
解 原不等式可化为： ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ，对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为

x1 ? 2a, x2 ? 3a ，当 a ? 0 时，即 2a ? 3a ，解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?；当 a ? 0 时，即 2a ? 3a ，解集为

?x | x ? 2a或x ? 3a?