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2014年湖北省八市高三三月联考理科数学试题


2014 年湖北省八市高三年级三月联考 理科数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) BDBCD 10.【解析】 ?a2 ? a1 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ?a4 ? a3 ? ? ?a5 ? a4 ? ? ?a6 ? a5 ? ?1 ?1 ?1 ? 4 ?1?
2 2 2 2 2

?

>
CACAB

?

≥? ?? a2 ? a1 ? ? 1 ? ? a3 ? a2 ? ? 1 ? ? a4 ? a3 ? ? 1 ? ? a5 ? a4 ? ? 2 ? ? a6 ? a5 ? ? 1? ?

2

? ??a6 ? a5 ? ? ?a1 ? a4 ??

2

?? a6 ? a5 ? ? ? a1 ? a4 ? ≤ 2 2 .

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. ?

5 2

12.3

13.

64 361π

14. ①③⑤

15.

3 5 5

16.

16 π 5

14.【解析】当点 P 在射线 OM 上时, OP ? ? (

OA OA

?

OB OB

)?

?
2

OA ? ? OB

?x ?

?
2

, y ? ? , 则 y ? 2 x.

当点 P 在射线 ON 上时, OP ? ? (OA ? OB) ,? x ? y ? 0. 故应选 ① ③ ⑤ . 17 . ( Ⅰ ) f ( x) ? 2 sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

= sin x ? sin x cos? ? cos x sin ? ? sin x = sin(x ? ? ) … … … … … … … … … … … … 3 分 因 为 f ( x) 在 x ? π 处 取 得 最 小 值 , 所 以 sin(x ? ? ) ? ?1 , 故s 又 0 ?? ? π i n ? ? 1, 所以 ? ?

π ……………………………………………………………………………6 分 2 π 2 x ,因 为 f ( A) ? cos A ?

(Ⅱ) 由 ( 1) 知 f (x) ? s i n ( x ?) c ? o s 内角,所以 A ?

3 ,且 A 为 △ ABC 2

b sin A 2 π π 3π ? 由正弦定理得 sin B ? ,所以 B ? 或 B ? .… 9 分 a 2 6 4 4 π 7π 3π π 当 B ? 时 C ?? ? A? B ? ,当 B ? 时 C ? π ? A? B ? . 4 12 4 12 7π π 综上, C ? … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分 或C ? 12 12
18.(Ⅰ)设公差为 d.由已知得 ?

?4a1 ? 6d ? 14

2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) 解得 d ? 1或d ? 0(舍去) ,所以 a1 ? 2, 故an ? n ? 1 … … … … … … … … … … … … 6 分

………………………………3 分

(Ⅱ)

1 1 1 1 ? ? ? , an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 n 1 1 1 1 ? ? ……………………………9 分 ? ? ? ?…? n ? 1 n ? 2 2(n ? 2) 2 3 3 4 n ≤ ?(n + 2) 对 ?n ? N ? 恒成立 Tn ≤ ? an?1 对 ?n ? N ? 恒成立,即 2(n ? 2) n 1 1 1 又 ? ≤ ? 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n 1 ∴ ? 的最小值为 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分 16

?Tn ?

19 . (Ⅰ) 在图甲中,由△ABC 是等边三角形,E,D 分别为 AB,AC 的三等分点,点 G 为 BC 边的中点,易知 DE⊥AF,DE⊥GF,DE//BC.… … … … … … … … … … … … 2 分 在图乙中,因为 DE⊥AF,DE⊥GF,AF ? FG=F,所以 DE⊥平面 AFG. 又 DE//BC,所以 BC⊥平面 AFG.… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 (Ⅱ) 因为平面 AED⊥平面 BCDE,平面 AED ? 平面 BCDE=DE,DE⊥AF,DE⊥GF, 所以 FA,FD,FG 两两垂直. 以点 F 为坐标原点,分别以 FG,FD,FA 所在的直线为 x, y , z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 F ? xyz .则 A(0,0,2 3) , B( 3,?3,0) , E (0,?2,0) ,所以

AB ? ( 3,?3,?2 3) , BE ? (? 3,1, 0).… … … … … … … … … … … … … … 6 分
设平面 ABE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) . 则?

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? BE ? 0

,即 ?

? ? 3x ? 3 y ? 2 3z ? 0 , ? ?? 3x ? y ? 0

取 x ? 1 ,则 y ? 3 , z ? ?1 ,则 n ? (1, 3,?1) .… … … … … … … … … … … … 8 分 显然 m ? (1,0,0) 为平面 ADE 的一个法向量, 所以 cos ? m, n ??

m?n | m |?| n |

?

5 .… … … … … … … … … … … … … … … … … … 10 分 5

二面角 B ? AE ? D 为钝角,所以二面角 B ? AE ? D 的余弦值为 ? 20.解法 1: (Ⅰ)依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为(

5 .… … … 12 分 5

2 2 1 2 5 ) +( ) = . 3 3 9

………4 分

若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从在则有

5 4 5 20 4 16 P(? ? 2) ? , P(? ? 4) ? ? ? , P(? ? 6) ? ( )2 ? ,… … … … … … … … … … … 7 分 9 9 9 81 9 81
∴ξ 的分布列为

ξ P

2

4

6

5 9

20 81

16 81
………9 分

5 20 16 266 (Ⅱ)Eξ =2× +4× +6× = . 9 81 81 81

… … … … … … … … … … … … … … … 12 分

解法 2: (Ⅰ)依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 A k 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互斥性得

P(? ? 2) =P(A1A2)+P( A1 A2 )=

5 , 9

…………………………………………2 分

P(? ? 4) =P( A1 A2 A3 A4 )+P( A1 A2 A3 A4 )+P( A1 A2 A3 A4 )+P( A1 A2 A3 A4 )
=2[(

2 3 1 1 2 20 ) ( )+( )3( )]= , 3 3 3 3 81

…………………………………………4 分

P(? ? 6) =P( A1 A2 A3 A4 )+P( A1 A2 A3 A4 )+P( A1 A2 A3 A4 )+P( A1 A2 A3 A4 )
=4( ∴ξ 的分布列为 ξ P 2 4 6

2 2 1 2 16 )( )= , 3 3 81

…………………………………………7 分

5 9

20 81

16 81
………9 分

(Ⅱ)Eξ =2×

5 20 16 266 +4× +6× = . … … … … … … … … … … … … … … … … 12 分 9 81 81 81

21. (Ⅰ)设 N ?x, y ? , P?x0 , y0 ? ,则 M ?x0 ,0? , PM ? ? 0, y0 ? , NM ? ? x0 ? x, ? y ? 由 PM ? 2 NM ,得 ?

? ?0 ? 2 ? x0 ? x ? ? ?? y 0 ? ? 2 y
2

,? ?

? ? x0 ? x ………………………………………3 分 ? ? y0 ? 2 y

由于点 P 在圆 O : x ? y ? 6 上,则有 x ?
2
2

? 2 y?

2

x2 y2 ? 6 ,即 ? ? 1. 6 3

? 点 N 的轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .…………………………………………………………6 分 6 3

(Ⅱ) 设 D?x1 , y1 ? , E?x2 , y 2 ? ,过点 B 的直线 DE 的方程为 y ? k ?x ? 3? ,

? y ? k ?x ? 3? ? 由 ? x2 消去 y 得: 2k 2 ? 1 x 2 ? 12k 2 x ? 18k 2 ? 6 ? 0 ,其中 ? ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?6

?

?

? x1 ? x2 ?

12k 2 18k 2 ? 6 , x x ? ;…………………………………………………………8 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

? k AD ? k AE ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 kx1 ? ?3k ? 1? kx2 ? ?3k ? 1? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

?

2kx1 x2 ? ?5k ? 1??x1 ? x2 ? ? 4k ? 12 ……………………………………………10 分 x1 x2 ? 2?x1 ? x2 ? ? 4
2k ? 18k 2 ? 6 12k 2 ? ? ? 5 k ? 1 ? ? 4k ? 12 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 18k 2 ? 6 12k 2 ? 2 ? ?4 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?

? 4k 2 ? 4 ? ? ?2 2k 2 ? 2

? k AD ? k AE 是定值 ? 2 .………………………………………………………………………………13 分

22. (Ⅰ) ? g ( x) ? 2 g ( ? x) ? e ?
x

2 ? 9 ,① ex

g (? x) ? 2 g ( x) ? e ? x ?

2 1 ? 9, 即 g (? x) ? 2 g ( x) ? 2e x ? x ? 9, ② ?x e e
x

由①②联立解得: g ( x) ? e ? 3 .

………………………………………………………………2 分

? h( x) 是二次函数, 且 h(?2) ? h(0) ? 1 ,可设 h( x) ? ax?x ? 2? ? 1 ,
2 由 h(?3) ? ?2 ,解得 a ? ?1 .? h( x) ? ? x?x ? 2? ? 1 ? ? x ? 2x ? 1

? g ( x) ? e x ? 3, h( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1.………………………………………………………………4 分
(Ⅱ)设 ? ( x) ? h( x) ? ax ? 5 ? ? x ? ?a ? 2?x ? 6 ,
2

F ( x) ? e x ? 3 ? x e x ? 3 ? ?1 ? x?e x ? 3x ? 3 ,
依题意知:当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, ? ( x)min ≥ F ( x)max

?

?

F ?( x) ? ?e x ? ?1 ? x ? ? e x ? 3? ? 3 ? ? xe x ? 3 ,在 ?? 1,1?上单调递减,

? F ?( x)min ? F ?(1) ? 3 ? e ? 0

………………………………………………………………6 分

? F ( x) 在 ?? 1,1?上单调递增, ? F ( x) max ? F ?1? ? 0
? ?? ? ?1? ? 7 ? a ≥ 0 ?? , 解得: ?3 ≤ a ≤ 7 ? ?? ?1? ? a ? 3 ≥ 0

? 实数 a 的取值范围为 ?? 3,7? .……………………………9 分
(Ⅲ)设 t ? a ? 5 ,由(Ⅱ)知, 2 ≤ t ≤ 12

f ( x) 的图象如图所示:
设 f ( x) ? T ,则 f (T ) ? t 当 t ? 2 ,即 a ? ?3 时, T1 ? ?1, T2 ? ln 5 , f ( x) ? ?1 有两个解, f ( x) ? ln 5 有 3 个解;
2 2 当 2 ? t ? e ? 3 , 即 ? 3 ? a ? e ? 8 时 , T ? ln ? t ? 3? 且 ln 5 ? T ? 2 , f ( x) ? T 有 3 个

解; ……………………………………………………………………………………………………………11 分
2 2 当 t ? e ? 3 ,即 a ? e ? 8 时, T ? 2 , f ( x) ? T 有 2 个解;

当 e2 ? 3 ? t ≤12 ,即 e2 ? 8 ? a ≤ 7 时, T ? ln?t ? 3? ? 2 , f ( x) ? T 有1 个解. ……13 分 综上所述: 当 a ? ?3 时,方程有 5 个解; 当 ? 3 ? a ? e ? 8 时,方程有 3 个解;
2

当 a ? e ? 8 时,方程有 2 个解;
2

当 e2 ? 8 ? a ≤ 7 时,方程有1 个解. …………………………………………………………………14 分

命题人:荆门市教研室 仙桃市教研室 鄂州市教研室 潜江市教研室

方延伟 曹时武 林春保 刘怀亮

荆门市钟祥一中 仙桃中学 鄂州市四中

范德宪 熊 纵 廖洪武

潘丽梅


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