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广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题9 第35课时 应用性问题(二)


专题九 应用性问题

1

考点1 三角函数的应用
例1 如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植 造一块“绿地? ABD ”,其中AB 长为定值a,BD长可根据需要 进行调节( BC 足够长).现规划 在? ABD的内接正方形BEFG内 种花,其余地方种草,且把种 S1 草的面积S1与种花的面积S 2的比值 称为“草花比

y”. S2

?1? 设?DAB ? ?,将y表示成?的函数关系式; ? 2 ?当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?

2

切入点:由条件知需找到边与角的关系,分析图形建模.

解析

?1?因为BD ? atan?,
2

所以? ABD的面积为a tan? (? ? (0, )). 2 FG DG 设正方形BEFG的边长为t,则由 ? , AB DB t a tan ? ? t a tan ? 得 ? ,解得t ? , a a tan ? 1 ? tan ?
3

?

a 2 tan ? ? t 则S 2 ? . a tan ? 1 2 1 2 a 2 tan 2 ? 所以S1 ? a tan? ? S 2 ? a tan? ? , 2 2 2 (1 ? tan ? ) S1 (1 ? tan ? ) 2 则y ? ? ? 1. S2 2 tan ? ? ? 2 ?因为tan? ? (0, ?), 1 1 1 1 所以y ? (tan? ? ? 2) ? 1 ? (tan? ? ) ? 1, 2 tan? 2 tan? a 当且仅当tan? ? 1时取等号,此时BE ? . 2 a 所以当BE长为 时,y有最小值1. 2

4

三角与函数综合知识建立模型是近两 年高考的热点题型之一,与三角形有关的 应用问题往往选择角为参数,求解时应注 意与基本不等式、导数等知识相结合.

5

变式1 如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一 条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段 为函数y ? Asin? x( A ? 0,? ? 0),x ? ? 0, 4?的图象,且图 象的最高点为S (3, 2 3);赛道的后一部分为折线段MNP. 为保证参赛运动员的安全,限定?MNP ? 120?.

6

?1? 求A,?的值和M ,P两点间的距离; ? 2 ? 应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?

7

T 解析 方法1: ? 依题意,有A = 2 3, = 3. ?1 4 2? ? 又T ? ,所以? ? . ? 6 所以y ? 2 3 sin x. 2? 当x ? 4时,y ? 2 3 sin ? 3, 3 所以M ? 4, 3?. 又P ? 8, 0 ?,所以MP ? 42 ? 32 ? 5.
8

? 2 ? 在?MNP中,?MNP ? 120?,MP ? 5.
连接MP,设?PMN ? ?,则0? ? ? ? 60?. MP NP MN 由正弦定理得 ? ? . 0 0 sin120 sin ? sin(60 ? ? ) 10 3 10 3 所以NP ? sin ?,MN ? sin(60? ? ? ), 3 3

9

10 3 10 3 故NP ? MN ? sin ? ? sin(60? ? ? ) 3 3 10 3 1 3 ? ( sin ? ? cos ? ) 3 2 2 10 3 ? sin(? ? 60?). 3 因为0°? ? ? 60° , 所以,当? ? 30?时,折线段赛道MNP最长. 亦即将?PMN 设计为30?时,折线段赛道MNP最长.
10

方法2: ?同方法1. ?1

? 2 ? 在?MNP中,?MNP ? 120?,MP ? 5,
由余弦定理得MN 2 ? NP 2 ? 2MN ? NP ? cos?MNP ? MP 2, 即MN 2 ? NP 2 ? MN ? NP ? 25. MN ? NP 2 故 ? MN ? NP ? ? 25 ? MN ? NP ? ( ), 2 3 10 3 2 从而 ? MN ? NP ? ? 25,即MN ? NP ? , 4 3 当且仅当MN ? NP时等号成立.
2

亦即设计为MN ? NP时,折线段赛道MNP最长.
11

考点2 解析几何应用题
例2 如图,设田地喷灌水管AB高出地面1.5米,在B处 有一个自动旋转的喷水头,一瞬间,喷出水流是抛物 线状,喷水B处与水流最高点C的连线与水平面地面成 45?角,若C比B高出2米,在 所建的坐标系中,求水流的 落地点D到点A的距离是多少 米.

12

切入点:构造解析几何模型的关键是确定抛物线的方程.

解析 依题意可知,BE ? CE ? 2米, CF ? CE ? EF ? 3.5(米), 所以点C的坐标为? 2,3.5 ?,点B的坐标为? 0,1.5 ?. 设抛物线的方程为y ? a ? x ? 2 ? ? 3.5.
2

13

由于它经过点B,故1.5 ? a ? 0 ? 2 ? ? 3.5,
2

1 所以4a ? ?2,所以a ? ? . 2 1 2 故抛物线的方程为y ? ? ? x ? 2 ? ? 3.5. 2 1 2 当y ? 0时, ? x ? 2 ? ? 3.5, 2 所以x1 ? 2 ? 7,x2 ? 2 ? 7 (舍去). 即水流的落地点D和点A的距离为(2 ? 7 )米.
14

1.确定曲线的方程是解决这类问题的 关键,同时注意待定系数法的运用. 2.注重数形结合思想的应用.

15

变式2(2010 ? 湖南卷)为了考察冰川的融化状况,一支科 考队在某冰川上相距8 km的A,B两点各建一个考察基 地.视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴, 线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图). 考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10 km的区域.

?1? 求考察区域边界曲线的方程; ? 2 ? 如图所示,设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑
其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向 朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 km,以后每年 移动的距离为前一年的2倍.问:经过多长时间,点A 恰好在冰川边界线上?
16

17

解析

?1? 设边界曲线上点P的坐标为( x,y),则由 PA ?

PB ? 10知,点P在以A,B为焦点,长轴长为2a ? 10的椭 圆上.此时短半轴长b ? 52 ? 42 ? 3. x2 y 2 所以考察区域边界曲线(如图)的方程为 ? ? 1. 25 9

18

? 2 ? 易知过点P1,P2的直线方程为4x ? 3y ? 47 ? 0.
31 因此,点A到直线P P2的距离为d ? ? . 1 2 2 5 4 ? (?3) 设经过n年,点A恰好在冰川边界线上,则利用等比数列 0.2(2n ? 1) 31 求和公式可得 ? ,解得n ? 5. 2 ?1 5 即经过5年,点A恰好在冰川边界线上. ?16 ? 47

19

例3 为了对2009年某市中考成绩进行分析,从60分以上 的同学中随机抽出8位,若这8位同学的数学、物理、化 学分数(已折算成百分制)对应如下表:
学生编号 数学分数x 物理分数y 化学分数z 1 60 72 67 2 65 77 72 3 70 80 76 4 75 84 80 5 80 88 84 6 85 90 87 7 90 93 90 8 95 95 92

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?1? 求变量y与x、z与x的相关系数,说明物理与数学、化
学与数学的相关程度;

? 2 ? 求y与x,z与x的线性回归方程(系数精确到0.01),并用
相关指数比较所求回归模型的拟合效果. 参考公式:处理相关变量x、y的公式: 相关系数r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

( xi ? x) 2 ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1 i ?1
21

n

n

;

? 回归直线的方程是: ? bx ? a, y 其中b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

( xi ? x) 2 ?
i ?1 n

n

,a ? y ? bx;

相关指数R 2 ? 1 ?

( yi ? y ) 2 ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1 i ?1 n



其中?是与xi 对应的回归估计量. y
22

参考数据 x ? 77.5, ? 85, ? 81, ( xi ? x) 2 ? 1050, y z ?
i ?1

8

( yi ? y ) 2 ? 456, ( zi ? z ) 2 ? 550, ? ?
i ?1 8 i ?1

8

8

? ( x ? x)( y ? y) ? 688, ( x ? x)( z ? z) ? 755, ?
i ?1 n i i i ?1 2 i i

8

? ( y ? y)
i ?1 i

2

? 7, ( zi ? z ) ? 94, ?
i ?1

n

1050 ? 32.4,456 ? 21.4,550 ? 23.5.
23

切入点:根据所给公式及数据进行计算,再根据 相关量的意义作结论.
解析

?1? 变量y与x、z与x的相关系数分别是

688 755 r? ? 0.99、r ? ? ? 0.99. 32.4 ? 21.4 32.4 ? 23.4 可以看出,物理成绩与数学成绩、化学成绩与数学成绩 都是高度正相关.

24

y ? 2 ? 设y与x、z与x的线性回归方程分别是 ? ? bx ? a, ? z ? b? x ? a?. 688 根据所给数据,可以计算得b ? ? 0.66, 1050 a ? 85 ? 0.66 ? 77.5 ? 33.85, 755 b? ? ? 0.72,a? ? 81 ? 0.72 ? 77.5 ? 25.20. 1050

25

所以y与x、z与x的回归方程分别为 ? ? 0.66x ? 33.85 、 ? 0.72 x ? 25.20. ? y z 7 又y与x、z与x的相关指数是R ? 1 ? ? 0.98, 456 94 2 R? ? 1 ? ? 0.83, 550 故回归模型 ? ? 0.66x ? 33.85 比回归模型 y
2

? z ? 0.72x ? 25.20的拟合效果好.
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1.本题考查相关系数、线性回归方程、相 关指数及统计量等基础知识.统计应用题是新 的热点问题,值得关注. 2.要明确相关统计量的意义: (1)相关系数r是衡量两个变量之间线性相关 关系的一个量,r>0表明两个变量正相关;r<0 表明两个变量负相关.r的绝对值越接近1,表 明两个变量的线性相关性越强.通常r大于0.75 时就认为两个变量有很强的线性相关关系.
27

(2)相关指数R2 是刻画模型拟合效果的 一 个 量 . R2 越 接 近 1 , 表 明 回 归 效 果 越 好.如果对某组数据可能采取几种不同的 回归方程进行分析,则R2 大的模型拟合效 果好. 3.在考试中遇到类似问题,要注意查 看参考公式与参考数据.
28

变式3 下面一组数据是某生产车间20名工人某日加工 零件的个数: 134 112 117 126 128 124 122 116 113 107     116 132 127 128 126 121 120 118 108 110          

?1? 求这组数据的中位数和平均数; ? 2 ? 请设计适当的茎叶图表示这组数据,并根据图说
明一下这个车间此日的生产情况.

29

解析

?1? 将这组数据按从小到大排列如下:

107 108 110 112 113 116 116 117 118 120     121 122 124 126 126 127 128 128 132 134       120 ? 121 由上可知,这种数据的中位数为 ? 120.5. 2 这组数据的平均数为 120 ? (?13 ? 12 ? 10 ? 8 ? 7 ? 4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 0 ? 1 ? 2 ?4 ? 6 ? 6 ? 7 ? 8 ? 8 ? 12 ? 14) ? 20 ? 120.25.
30

? 2 ? 这组数据的茎叶图如下:
由该图可以看出20名工人的日加工零件个数 稳定在120件左右.

31

1.求解应用题的一般步骤(四步法): (1)读题:读懂和深刻理解题意,将文字语言译 为数学语言,找出主要数量关系; (2)建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成 数学问题; (3)求解:化归为常规问题,选择合适的数学方 法求解; (4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以 调节,最后将结果应用于现实,作出解释或验证.
32

2.三角应用题,一般是两种主要题型:一是 利用三角函数解决有关实际问题,此种问题要注 意三角函数的定义,利用三角函数的性质进行求 解;二是有关测量问题和航海问题等,要根据题 意正确画出示意图,同时注意正弦定理、余弦定 理的运用. 3.解析几何应用题,就是将实际问题的数量 关系转化为平面上的代数关系,然后用代数的方 法求解.要注意数形结合思想方法的运用.
33

4.概率、统计问题,要注意有关统计量的意 义的理解.在具体解题时还要注意题目给出的参 考公式和参考数据的运用.

34


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