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概率统计谢寿才版第三章习题及其解答


习题三 1. 设盒子中装有红球和黑球共 12 个,其中只有 2 只是红球,现从盒中取球两次,每次任 取一个,考虑下面两种试验:(1)有放回抽取;(2)无放回抽取.现对随机变量 X ,Y 作如下定 义

若第二次取出的是黑球 . 试分别就(1)、(2)两种情况,写出 X , Y 的联合分布列及边际分布列. 解: ( X , Y ) 所有可能取得值为: (0,0)

(0,1) (1,0) (1,1).
(1)有放回抽样 首先,求 { X ? 0, Y ? 0} 的概率,即第一次取到红球,第二次也取到红球的概率,易得

?0, X ?? ?1, ?0, Y ?? ?1,

若第一次取出的是红球 ; 若第一次取出的是黑球 . 若第二次取出的是红球 ;

同理:

2? 2 1 ? , 12 ? 12 36 2 ?10 5 P( X ? 0, Y ? 1) ? ? , 12 ?12 36 10 ? 2 5 P( X ? 1, Y ? 0) ? ? , 12 ?12 36 10 ?10 25 P( X ? 1, Y ? 1) ? ? , 12 ?12 36 P ( X ? 0, Y ? 0) ?
P( X ? 0) ? 1 5 1 ? ? , 36 36 6 1 5 1 P (Y ? 0) ? ? ? , 36 36 6 P( X ? 1) ? 5 25 5 ? ? ; 36 36 6 5 25 5 P (Y ? 1) ? ? ? ; 36 36 6

其次,由边际分布定义可得

即得

X
0

Y

0

1 36

1 5 36
25 36
56

pi?
16 56

1
p? j

5 36
16

(2)无放回抽样 首先,求 { X ? 0, Y ? 0} 的概率,即第一次取到红球,第二次也取到红球的概率,易得

同理:

2 ?1 1 ? , 12 ? 11 66 2 ?10 5 P( X ? 0, Y ? 1) ? ? , 12 ?11 33 10 ? 2 5 P( X ? 1, Y ? 0) ? ? , 12 ?11 33 10 ? 9 15 P( X ? 1, Y ? 1) ? ? , 12 ?11 22 P ( X ? 0, Y ? 0) ?
P( X ? 0) ? 1 5 1 ? ? , 66 33 6 P( X ? 1) ? 5 15 5 ? ? ; 33 22 6

其次,由边际分布定义可得

P (Y ? 0) ?
即得

1 5 1 ? ? , 66 33 6
0

P (Y ? 1) ?

5 15 5 ? ? ; 33 22 6

X
0

Y
1
p? j

1 66

1 5 33
15 22

pi?
16 56

5 33

16

56

2 . 一批产品共有 100 件,其中一等品 60 件、二等品 30 件、三等品 10 件.从这批产品中 有放回地任取 5 件,用 X 和 Y 分别表示取出的 5 件产品中一等品、二等品的件数,求二维 随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列及 X 和 Y 边际分布列. 解:因为 X 和 Y 的可能取值都是 0,1,2,3,4,5,即

pij ? P( X ? i, Y ? j)

当 i ? j ? 5 时,

pij ? P( X ? i, Y ? j) ? P(? ) ? 0
当 i ? j ? 5 时, 事件 { X ? i, Y ? j} 表示:取出的 5 件产品中有 i 件是一等品、 j 件是二等品、5 ? i ? j 件 是三等品的件数,所以有放回抽取时,有

5! 5! 5 ?i ? j p1i p2j p3 ? (0.6)i (0.3) j (0.1)5?i ? j i ! j !(5 ? i ? j )! i ! j !(5 ? i ? j ) ! 故 ( X , Y ) 的联合分布列及 X 和 Y 边际分布列为 Y pi? 5 0 3 4 1 2 X 0 0.00001 0.00015 0.0009 0.0027 0.00405 0.00243 0.01024 pij ?

1 2
3

0.0003 0.0036 0.0216 0.0648 0.07776 0.16807

0.0036 0.0324 0.1296 0.1944 0 0.36015

0.0162 0.0972 0.1944 0 0 0.3087

0.0324 0.0972 0 0 0 0.1323

0.0243 0 0 0 0 0.02635

0 0 0 0 0 0.00243

0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776

4
5

p? j

3.一批产品共有 100 件,其中一等品 60 件、二等品 30 件、三等品 10 件.从这批产品中无 放回地任取 3 件,用 X 和 Y 分别表示取出的 3 件产品中一等品、二等品的件数,求二维随 机变量 ( X , Y ) 的联合分布列及 X 和 Y 边际分布列. 解:因为 X 和 Y 的可能取值都是 0,1,2,3,即

pij ? P( X ? i, Y ? j)

当 i ? j ? 3 时, 当 i ? j ? 3 时,

pij ? P? X ? i, Y ? j ? ? P(? ) ? 0 ;

i j 3?i ? j C60 ? C30 ? C10 pij ? P( X ? i, Y ? j ) ? 3 C100 故 ( X , Y ) 的联合分布列及 X 和 Y 边际分布列为

Y X
0

0
0.00074 0.01670 0.10946 0.21163 0.33853

1
0.00835 0.11132 0.32839 0 0.44806

2
0.02690 0.16141 0 0 0.18831

3
0.02511 0 0 0 0.02511

pi?
0.0611 0.28943 0.43785 0.21163

1
2
3

p? j

4. 设随机变量 X i , ( i ? 1,2 ) 的分布列如下, 且满足 P( X 1 X 2 ? 0) ? 1 , 试求 P( X 1 ? X 2 ) .

Xi

?1
0.25
X2

0

1
0.25

p

0 .5

解:根据题意, P( X 1 X 2 ? 0) ? 1 ,故由分布列的正则性可得 P( X1 X 2 ? 0) ? 0
X1

?1
0

0
x

1
0

pi?

?1
0

0.25 0 .5

y
0
0.25
t ? 0.25 ,

z
w
0 .5
w ? 0.25 ,

t
0
0.25
z ? 0,

1
p? j
由分布列的正则性可得 x ? 0.25 , 则

0.25

y ? 0.25 ,

P( X1 ? X 2 ) ? P( X1 ? ?1, X 2 ? ?1) ? P( X1 ? 0, X 2 ? 0) ? P( X1 ? 1, X 2 ? 1) ? 0?0?0 ? 0. 5. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?6e ?2 x ?3 y , x ? 0, y ? 0, f ( x, y ) ? ? 其它. ? 0, 试求:(1) P( X ? 1, Y ? 1) ;(2) P( X ? Y ) . 解:根据题意积分区域 D1 和 D2 如图所示 y y D1
1

D2

o
(1) P( X ? 1, Y ? 1) ?
D1

1

x
1 ?? 0 1

o
6e
? 2 x ?3 y

1

x

?? f ( x, y)dxdy ? ? dx?
1 ?? 0 1
?? x

dy

? 6? e ?2 x dx ? ? e?3 y dy ? (1 ? e?2 )e?3 ? 0.043;
(2) P( X ? Y ) ?

??
D2

f ( x, y)dxdy ? ? dx? 6e ?2 x ?3 y dy
0 0

? ? 2e?2 x (1 ? e?3 x )dx ? (?e?2 x ? 0.4e?5 x )
0

??

?? 0

? 0.6 .

6. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?6(1 ? y), 0 ? x ? y ? 1, f ( x, y) ? ? 其它. ? 0, 试求:(1) P( X ? 0.5, Y ? 0.5) ; (2) P( X ? 0.5) 和 P(Y ? 0.5) ; (3) P( X ? Y ? 1) .
解:(1)积分区域 D1 ? {( x, y) 0.5 ? x ? y,0.5 ? y ? 1 }

P( X ? 0.5, Y ? 0.5) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dy? 6(1 ? y)dx
D1
1

1

y

0.5

0.5

? ? 6( y ? 0.5)(1 ? y)dy ? 0.125;
0.5

(2)积分区域 D2 ? {( x, y) x ? y ? 1,0 ? x ? 0.5}

P( X ? 0.5) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx? 6(1 ? y)dy
D2 0 x

0.5

1

? ? (3x ? 3x 2 ? x3 )dx ? 0.875;
0

0.5

积分区域 D3 ? {( x, y) 0 ? x ? y,0 ? y ? 0.5}

P(Y ? 0.5) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dy? 6(1 ? y)dx
D3 0 0

0.5

y

? ? 6 y(1 ? y)dy ? 0.5 ;
0

0.5

(3)积分区域 D4 ? {( x, y) x ? y ? 1 ? x,0 ? x ? 0.5}

P( X ? Y ? 1) ? ?? ? f ( x, y)dxdy ? ? dx?
D4 0

0.5

1? x

x

6(1 ? y)dy

? ? (3 ? 6 x)dx ? 0.75 .
0

0.5

7. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?k , 0 ? x 2 ? y ? x ? 1, f ( x, y) ? ? 其它. ?0,
(1)试求常数 k ; (2)求 P( X ? 0.5) , P(Y ? 0.5) . 解:(1)由概率密度的正则性可得

1? ?

?? ??

?? ??

?

f ( x, y)dxdy ? ?? kdxdy ? ? dx? 2 kdy ?? k ( x ? x 2 )dx ?
D 0 x 0

1

x

1

k 6

?k ?6 2 其中 D ? {( x, y ) x ? y ? x,0 ? x ? 1} 为非零区域;
2 (2)积分区域 D1 ? {( x, y ) x ? y ? x,0.5 ? x ? 1}

P( X ? 0.5) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx? 2 6dy ? ? 6( x ? x 2 )dx ? 0.5 ;
D1 0.5 x 0.5

1

x

1

积分区域 D2 ? {( x, y ) y ? x ?

y ,0 ? y ? 0.5} ,

P(Y ? 0.5) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dy? 6dx ? ? 6( y ? y) ? 0.6642.
D2 0 y 0

0.5

y

0.5

8. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为

?1 ? e ??1x ? e ??2 y ? e ??1x ??2 y ??12 max{x , y} , x ? 0, y ? 0, F ( x, y) ? ? 0, 其它. ? 试求 X , Y 的边际分布函数,并判断 X 和 Y 是否相互独立?
解:由边际分布函数的定义可得

?1 ? e ? ?1 x , x ? 0, FX ( x) ? F ( x,??) ? ? 其它. ? 0, ? ?2 y ?1 ? e , y ? 0, FY ( y) ? F (??, y) ? ? 其它. ? 0, 由此可得 F ( x, y) ? FX ( x) FY ( y) 故 X 和 Y 不独立. 1 2 9. 设平面区域 D 由曲线 y ? 及直线 y ? 0 ,x ? 1 ,x ? e 所围成, 二维随机变量 ( X , Y ) x 在区域 D 上服从均匀分布,试求 X 的边际概率密度. 解:根据题意 ( X , Y ) ~ U ( D) ,且 S D ? 2 则其概率密度函数为 ?0.5, ( x, y) ? D, f ( x, y) ? ? 其它; ? 0,
由边际密度函数的定义可知

f X ( x) ? ?

??

??

?1 ? , 1 ? x ? e2 , f ( x, y )dy ? ? 2 x ? 其它. ? 0,

10. 求以下给出的 ( X , Y ) 的联合概率密度的边际概率密度 f X ( x) 和 fY ( y) . (1) f ( x, y ) ? ? (2) f ( x, y ) ? ?

?e ? y , 0 ? x ? y, 其它; ? 0,

?1.25( x 2 ? y), 0 ? y ? 1 ? x 2 , 0, 其它; ?

(3) f ( x, y ) ? ? x

?1 ? , 0 ? y ? x ? 1, ? ? 0,
??

其它.
?x x ? 0, ?e , x ? 0, ?? 其它. ? 0, 其它; ?y y ? 0, ? ye , y ? 0, ?? 其它. 其它. ? 0,

解:(1)由边际密度函数定义可知
?? ? ?? e ? y dy f X ( x) ? ? f ( x, y)dy ? ? x ?? ? ? 0, y ? ?? ?? e ? y dx fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ? 0 ?? ? ? 0,

(2)由边际密度函数定义可知

f X ( x) ? ?

??

??

1? x ? 2 ? f ( x, y)dy ? ??0 1.25( x ? y)dy, ? 1 ? x ? 1, ? 0, 其它. ?
2

?0.625(1 ? x 4 ), ? 1 ? x ? 1, ?? 0, 其它; ?

fY ( y ) ? ?

??

??

1? y ? ?? 1.25( x 2 ? y)dx 0 ? y ? 1, f ( x, y)dx ? ? ? 1? y ? 0, 其它. ? ?5 ? 1 ? y (1 ? 2 y ), 0 ? y ? 1, ? ?6 ? 0, 其它. ?

(3)由边际密度函数定义可知

? x1 ? dy, 0 ? x ? 1, ?1, 0 ? x ? 1, f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ??0 x ?? ?? 其它; ?0, ? 0 , 其它 . ? ? 11 ?? ? dx, 0 ? y ? 1, ?? ln y, 0 ? y ? 1, fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ??y x ?? ?? 其它. ? 0, ? 0 , 其它 . ?
??

X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数,试求 P( X ? Y ) . 解:根据题意, X 和 Y 的可能取值均为 0,1,2,且 X ~ B(2,0.2) , Y ~ B(2,0.5) ,则
其分布列为
k pk ? P( X ? k ) ? C2 (0.2)k (0.8)2?k , k ? 0,1,2 ; k pk ? P(Y ? k ) ? C2 (0.5)k (0.5)2?k , k ? 0,1,2 . 又因为 X 和 Y 相互独立,故所求概率为 P( X ? Y ) ? P( X ? 0, Y ? 0) ? P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 0, Y ? 2) ? ? P( X ? 1, Y ? 1) ? P( X ? 1, Y ? 2) ? P( X ? 2, Y ? 2) ? P( X ? 0) P(Y ? 0) ? P( X ? 0) P(Y ? 1) ? P( X ? 0) P(Y ? 2) ? ? P( X ? 1) P(Y ? 1) ? P( X ? 1) P(Y ? 2) ? P( X ? 2) P(Y ? 2) ? 0.64 ? 0.25 ? 0.64 ? 0.5 ? 0.64 ? 0.25 ? ? 0.32 ? 0.5 ? 0.32 ? 0.25 ? 0.04 ? 0.25 ? 0.89 . 12. 设随机变量 X 和 Y 相互独立,其联合分布列为 Y y1 y2 y3 X

11. 甲、乙两人各自独立地进行两次射击,假设甲的命中率为 0.2,乙的命中率为 0.5,以

x1
x2
试求联合分布列中的 a , b , c . 解:由边际分布列的定义可知

a
19

19
b

c
13

1 P ( X ? x1 ) ? a ? ? c 9 1 P (Y ? y1 ) ? a ? 9 1 P (Y ? y3 ) ? c ? 3 根据题意, X 和 Y 相互独立,则

1 1 4 ?b? ? ?b 9 3 9 1 P (Y ? y2 ) ? ? b 9 P ( X ? x2 ) ?

1 1 ? 1 ? ?a ? (a ? 9 ? c)(a ? 9 ) ?a ? 18 ? ? 4 1 ? ? 2 ? b ? ( ? b)( ? b) ? ? b ? 9 9 ? ? 9 1 1 ? c ? (a ? ? c)(c ? ) ? c ? 1 ? ? 9 3 ? ? 6 13. 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X ~ U (0,1) , Y 服从参数为 1 的指数分布,试求:
(1) X 和 Y 的联合概率密度;(2) P(Y ? X ) ;(3)方程 x ? 2 Xx ? Y ? 0 有实根的概率.
2

解:(1)根据题意, X ~ U (0,1) , Y ~ Exp(1) ,则其概率密度函数分别为

?e ? y , y ? 0, ?1, 0 ? x ? 1, f X ( x) ? ? fY ( y ) ? ? 其它; ?0, ? 0, 其它; 因为 X 和 Y 相互独立,则 ( X , Y ) 的联合密度函数为: ?e ? y , 0 ? x ? 1, y ? 0, f ( x, y) ? f X ( x) fY ( y) ? ? 其它; ? 0,

D ? {( x, y) 0 ? x ? 1, y ? 0}为联合密度函数的非零区域;
(2)根据题意,所求概率为

P(Y ? X ) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dy? e ? y dx ? e ?1 ,
D1 0 y

1

1

其中积分区域 D1 ? {( x, y) y ? x ? 1,0 ? y ? 1 }; (3)根据韦达定理可得, 当 ? ? 4 X ? 4Y ? 0 ? Y ? X 时,方程无实根,其概率为
2 2

P(Y ? X 2 ) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dy? 2 e ? y dx ,
D2 0 x

1

??

? ? e ? x dx ? ? e ? x dx ? ? e ? x dx
2 2 2

1

1

0

0

??

??

? 2? [?(1) ? ?(0)] ? 0.8553
其中积分区域 D2 ? {( x, y ) x ? y ? ??, 0 ? x ? 1} ;
2

当 ? ? 4 X ? 4Y ? 0 ? Y ? X 时,方程有实根,其概率为 P(Y ? X 2 ) ? 1 ? P(Y ? X 2 ) ? 1 ? 0.8553 ? 0.1447 .
2 2

14. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度如下,试问 X 和 Y 是否相互独立? (1) f ( x, y) ? ? (2) f ( x, y ) ? ? (3) f ( x, y ) ?

?3x, 0 ? x ? 1,0 ? y ? x, 其它; ? 0,

?1, ?0,
2

x ? y,0 ? y ? 1, 其它;

1 , ? ? ? x, y ? ?? ? (1 ? x 2 )(1 ? y 2 ) 解:因(1)、(2)中 X 的取值与 Y 的取值相互影响,故 f ( x, y ) 不可分离,所以 X 与 Y 不相
互独立; (3)由边际密度函数的定义可知

f X ( x) ? ? f ( x, y)dy ? ?
??

??

1 1 dy ? 2 2 ?? ? (1 ? x )( 1? y ) ? (1 ? x 2 )
?? 2

1 1 dx ? 2 2 ?? ?? ? (1 ? x )( 1? y ) ? (1 ? y 2 ) 由此可得 f ( x, y ) ? f X ( x ) f Y ( y ) 故 X 和 Y 相互独立. 1 15. 在区间 (0,1) 上任取两个数,试求这两个数之差的绝对值小于 和这两个数之积小于 2 fY ( y) ? ? f ( x, y)dx ? ?
?? ?? 2

1 的概率. 4
解:分别记这两个数为 X 和 Y ,根据题意, X 和 Y 相互独立且同分布,即 X ~ U (0,1) ,

Y ~ U (0,1) ,则其联合密度函数为 ?1, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1, f ( x, y) ? ? 其它. ?0,
且 D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 } 为联合密度函数的非零区域; 利用联合密度函数可以计算出所求概率,具体如下: (1)根据题意,求事件 { X ? Y ? 0.5}的概率, 积分区域 D1 如右图所示(图中阴影部分) ,则其概率为

y 1
0.5

P( X ? Y ? 0.5) ? P(?0.5 ? X ? Y ? 0.5)
? ?? f ( x, y )dxdy ? ?? dxdy ? S D1
D1 D1

D1
0.5

? 1 ? 0.25 ? 0.75 ;
(其中 S D1 为阴影部分面积) (2)根据题意,求事件 { XY ? 0.25} 的概率,

o y

1

x

积分区域 D2 如右图所示(图中阴影部分) ,则其概率为

xy ? 1 4

P( XY ? 0.25) ? ?? f ( x, y )dxdy ? ?? dxdy ? S D2
D2 D2

1
D2

1 dx 0.25 4 x ? 0.25(1 ? ln 4) ? 0.5966. ? 0.25 ? ?
1

o

1

x

(其中 S D2 为阴影部分面积) 16. 求第 1 题中随机变量 X 和 Y 的条件分布列. 解:(1)根据题意,有放回抽样时, X 和 Y 的联合分布列与边际分布列如下表:

X
0

Y 1
p? j

0

1 36 5 36
16

1 5 36
25 36
56

pi?
16 56

再由条件分布列的定义可得 当 Y ? 0 时, X 的条件分布列

P( X ? 0 Y ? 0) ?

P( X ? 0, Y ? 0) 1 36 1 ? ? ; P(Y ? 0) 16 6 P( X ? 1, Y ? 0) 5 36 5 P( X ? 1Y ? 0) ? ? ? ; P(Y ? 0) 16 6

如下表:

XY ?0
p
当 Y ? 1 时, X 的条件分布列

0

1
56

16

P( X ? 0, Y ? 1) 5 36 1 ? ? ; P(Y ? 1) 56 6 P( X ? 1, Y ? 1) 25 36 5 P( X ? 1Y ? 1) ? ? ? ; P(Y ? 1) 56 6 P( X ? 0 Y ? 1) ?
X Y ?1
p

如下表:

0

1
56

16

当 X ? 0 时, Y 的条件分布列

P( X ? 0, Y ? 0) 1 36 1 ? ? ; P( X ? 0) 16 6 P( X ? 0, Y ? 1) 25 36 5 P(Y ? 1 X ? 0) ? ? ? ; P( X ? 0) 56 6 P(Y ? 0 X ? 0) ?
Y X ?0
p

如下表:

0

1
56

16

当 X ? 1 时, Y 的条件分布列

P( X ? 1, Y ? 0) 5 36 1 ? ? ; P( X ? 1) 56 6 P( X ? 1, Y ? 1) 25 36 5 P(Y ? 1 X ? 1) ? ? ? ; P( X ? 1) 56 6 P(Y ? 0 X ? 1) ?
Y X ?1
p
0 1

如下表:

16

56

(2)根据题意,无放回抽样时, X 和 Y 的联合分布列与边际分布列如下表:

X
0

Y

0

1 66 5 33

1 5 33
15 22

pi?
16 56

1
p? j

16

56

再由条件分布列的定义可得 当 Y ? 0 时, X 的条件分布列

P( X ? 0 Y ? 0) ?

P( X ? 0, Y ? 0) 1 66 1 ? ? ; P(Y ? 0) 1 6 11 P( X ? 1, Y ? 0) 5 33 10 ; P( X ? 1Y ? 0) ? ? ? P(Y ? 0) 1 6 11

如下表:

XY ?0
p
当 Y ? 1 时, X 的条件分布列

0

1
10 11

1 11

P( X ? 0, Y ? 1) 5 33 2 ? ? ; P(Y ? 1) 5 6 11 P( X ? 1, Y ? 1) 15 22 9 P( X ? 1Y ? 1) ? ? ? ; P(Y ? 1) 56 11 P( X ? 0 Y ? 1) ?
X Y ?1
p

如下表:

0

1
9 11

2 11

当 X ? 0 时, Y 的条件分布列

P( X ? 0, Y ? 0) 1 66 1 ? ? ; P( X ? 0) 1 6 11 P( X ? 0, Y ? 1) 5 33 10 ; P(Y ? 1 X ? 0) ? ? ? P( X ? 0) 1 6 11 P(Y ? 0 X ? 0) ?
Y X ?0
p

如下表:

0

1
56

16

当 X ? 1 时, Y 的条件分布列

P( X ? 1, Y ? 0) 5 33 2 ? ? ; P( X ? 1) 5 6 11 P( X ? 1, Y ? 1) 15 22 9 P(Y ? 1 X ? 1) ? ? ? . P( X ? 1) 56 11 P(Y ? 0 X ? 1) ?
Y X ?1
p
0 1

如下表:

2 11

9 11

17. 设某班车起点站上客人数 X 服从参数 ? (? ? 0) 的柏松分布,每位乘客在中途下车的 概率为 p(0 ? p ? 1) ,且中途下车与否是相互独立,以 Y 表示中途下车的人数.求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列. 解:(1)根据题意,以 X 表示起点站上客人数,且 X ~ P(? ) ,则分布列为

pn ? P ( X ? n ) ?

?n
n!

e ?? , n ? 0,1,2,?

以 Y 表示中途下车的人数,且服从二项分布,则所求概率为
m m P(Y ? m X ? n) ? Cn p (1 ? p)n?m , m ? 0,1,?, n .

(3)由条件分布列公式可得

P(Y ? m X ? n) ?
则 ( X , Y ) 的分布列为:

P( X ? n, Y ? m) P ( X ? n)

P( X ? n, Y ? m) ? P( X ? n)P(Y ? m X ? n)

n! 其中 n ? 0,1,2,? , m ? 0,1,?, n , 0 ? p ? 1 . 18. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?

?n

m m e ?? Cn p (1 ? p) n?m

?kx2 y, x 2 ? y ? 1, f ( x, y) ? ? 其它. ? 0,
求(1)常数 k ; (2)边际概率密度 f X ( x) 和 fY ( y) ; (3)条件概率密度 f X Y ( x y) , fY X ( y x) ; (4)条件概率 P (Y ?

1 1 3 1 X ? ) , P(Y ? X ? ) . 4 2 4 2
1 1 1

解:(1)由概率密度的正则性可得

1? ?

?? ??

?

?? ??

f ( x, y)dxdy ? ?? kx2 ydxdy ? ? dx? 2 kx2 ydy ??
D ?1 x

?1

1 2 4k kx (1 ? x 4 )dx ? 2 21

21 ?k ? 4 2 其中 D ? {( x, y ) x ? y ? 1,?1 ? x ? 1} 为非零区域;
(2)由边际密度函数定义可知

? 21 ? 1 21 2 ?? 2 x ydy, ? 1 ? x ? 1, ? ( x 2 ? x 6 ), ? 1 ? x ? 1, f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ? x 4 ??8 ?? ? ? 0 , 其它 . 0, 其它, ? ? ?7 5 ? y 21 2 ?? ?? x ydx, 0 ? y ? 1, ? y 2 , 0 ? y ? 1, fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ? ? y 4 ? ?2 ?? ? ? 0, 其它. 其它; ? ? 0,
??

(3)由条件概率密度函数定义可知 当 0 ? y ? 1 时,有
3 ? f ( x, y) ? ?1.5x 2 y 2 , ? y ? x ? y , f X Y ( x y) ? ?? fY ( y) ? 0, 其它, ?



? f ( x, y ) ?3 2 x 2 , ? 2 ? x ? 2 , f X Y ( x y ? 0.5) ? ?? 2 2 fY (0.5) ? 其它, ? 0,
(4) 由条件概率密度函数定义可知 当 ? 1 ? x ? 1 时,有

2y f ( x, y ) ? ? , x 2 ? y ? 1, fY X ( y x) ? ? ?1 ? x 4 f X ( x) ? 0, 其它, ?


81 1 1 f ( x, y) ? ? y, ? y ? 1, fY X ( y x ? ) ? ? ? 40 9 1 3 其它, fY ( ) ? ? 0, 3

fY X ( y x ? 0.5) ?

32 f ( x, y ) ? ? y, ? ?15 fY (0.5) ? 0, ?

1 ? y ? 1, 4 其它,
0.25 ??

P(Y ? 0.25 X ? 0.5) ? 1 ? P(Y ? 0.25 X ? 0.5) ? 1 ? ?
? 1? ?
0.25 0.25

fY X ( y x ? 0.5)dy ,

32 ydy ? 1 ? 0 ? 1 ; 15
0.75 ??

P(Y ? 0.75 X ? 0.5) ? 1 ? P(Y ? 0.75 X ? 0.5) ? 1 ? ?
? 1? ?
0.75

fY X ( y x ? 0.5)dy

32 8 7 ydy ? 1 ? ? . 0.25 15 15 15 19. 设随机变量 X ~ U (0,1) ,在 X ? x(0 ? x ? 1) 的条件下,随机变量 Y 在区间 (0, x ) 上 服从均匀分布.试求: (1) ( X , Y ) 的联合概率密度; (2) Y 的概率密度 fY ( y) ; (3) P( X ? Y ? 1) . 解:(1)根据题意, X ~ U (0,1) ,则其概率密度函数为 ?1, 0 ? x ? 1, f X ( x) ? ? 其它. ?0,


?1 ? , 0 ? y ? x, fY X ( y x) ? ? x ? 其它. ? 0,
(1)由条件概率密度函数的定义可得

f Y X ( y x) ?


f ( x, y) ? f ( x, y) ? f X ( x) fY X ( y x) f X ( x)

?1 ? , 0 ? y ? x,0 ? x ? 1, f ( x, y ) ? ? x ? 其它; ? 0,
(2)由边际密度函数定义得

fY ( y ) ? ?
(3)因为

??

??

? 11 ? dx, 0 ? y ? 1, ?? ln y, 0 ? y ? 1, f ( x, y )dx ? ??y x ?? 其它; ? 0, ? 其它. ? 0,

?1 ? , 0 ? y ? x,0 ? x ? 1, f ( x, y ) ? ? x , ? 其它; ? 0, 且 D ? {( x, y) 0 ? y ? x,0 ? x ? 1 } 为非零区域,则所求概率为

P( X ? Y ? 1) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx?
D1 0.5

1

1 dy ? 1 ? ln 2 ? 0.3069, 1? x x
x

其中积分区域 D1 ? {( x, y) 1 ? x ? y ? x,0.5 ? x ? 1 }. 20. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布列为

X
?1
2

Y

?1
0.25
0.15

1
0 .1
0.15

2
0 .3
0.05

试求:(1) Z1 ? X ? Y ;(2) Z 2 ? X ? Y ;(3) Z3 ? max{X , Y } ;(4) Z 4 ? min{X , Y } 的分布 列. 解:将 ( X , Y ) 及各个函数的取值对应列在同一表中,如下:

( X ,Y )
P

(-1,-1)

(-1,1)

(-1,2)

(2,-1)

(2,1)

(2,2)

0.25

0 .1
0

0 .3

0.15

0.15
3

0.05

Z1 ? X ? Y Z2 ? X ? Y Z 3 ? max{X , Y }
Z 4 ? min{ X , Y }
Z1 ? X ? Y
P

?2
0

1
?3

1
3

4
0

?1 ?1 ?2

?2 1 ?1
0

2 ?1 1
0.45
0

2 ?1

1 2 1
3

2 2 4
0.05
3

经过合并整理即可得最后的结果:

0.25
?3

0 .1

0.15

Z2 ? X ? Y
P

?2
0 .1

1
0.15

0 .3

0 .3

0.15

Z 3 ? max{X , Y }
P

?1
0.25

1
0 .1

2
0.65

Z 4 ? min{ X , Y }
P

?1
0 .8

1
0.15

2
0.05

21. 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X ,Y 分别服从参数 ? , ? 的指数分布.定义随机变 量

?1, X ? Y , Z ?? ?0, X ? Y . 求:(1)条件概率密度 f X Y ( x y) ;(2) Z 的分布列及分布函数.
解:(1)根据题意可得, X ~ Exp(? ) , Y ~ Exp( ? ) , ? ? 0 , ? ? 0 其概率密度函数分 别为:

?? e?? x x ? 0, ?? e?? y f X ( x) ? ? fY ( y ) ? ? 其它. ? 0, ? 0, 又因为 X 和 Y 相互独立,则 ( X , Y ) 联合密度函数为 ??? e ?? x ? ? y x ? 0, y ? 0, f ( x, y ) ? ? 0, 其它. ? D ? {( x, y) x ? 0, y ? 0}为联合密度函数的非零区域;
由条件概率密度函数定义可知 当 y ? 0 时,有

y ? 0, 其它.

f X Y ( x y) ?
(2)当 X ? Y 时,

f ( x, y ) ??e ?? x , x ? 0, ?? fY ( y ) ? 0, 其它;
?? ??

p1 ? P(Z ? 1) ? P( X ? Y ) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx? ?? e??x??y dy ?
D1 0 x

? ???



其中积分区域 D1 ? {( x, y) 0 ? y ? x,0 ? x ? ??} ; 当 X ? Y 时,

p0 ? P( Z ? 0) ? P( X ? Y ) ? 1 ? P( X ? Y ) ? 1 ?
故随机变量 Z 的分布列为

? ???
1

?

? ???



Z

0

p
由分布函数定义可得

? ???

? ???

?0, z ? 0, ? ? ? F ( z) ? ? , 0 ? z ? 1, ?? ? ? ? z ? 1. ?1, 22. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?e ? ( x ? y ) f ( x, y ) ? ? ? 0,
试求以下随机变量的密度函数: (1) Z ?

x ? 0, y ? 0, 其它.

1 ( X ? Y ) ; (2) Z ? Y ? X . 2 解:(1)根据题意, D ? {( x, y) x ? 0, y ? 0} 为联合密度函数的非零区域,由分布函数的
定义可知

? X ?Y ? FZ ( z) ? P(Z ? z) ? P? ? z ? ? ?? f ( x, y)dxdy ? 2 ? D1
积分区域 D1 ? ?( x, y ) :

? ?

FZ ( z ) ? ??
D1

x? y ? ,则 ? z ? (其中 z 为常数) 2 ? 2z 2z?x ? ?? dx? e ?( x ? y ) dy, z ? 0, f ( x, y)dxdy ? ? 0 0 ? 0, 其它. ?

?1 ? (1 ? 2 z )e ?2 z , z ? 0, ?? 0, 其它. ?
则 Z 的概率密度函数为

?4 ze ?2 z , z ? 0, f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? ? 其它. ? 0, (2)根据题意, D ? {( x, y) x ? 0, y ? 0} 为联合密度函数的非零区域,由分布函数的定义 ?
可知

FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P(Y ? X ? z ) ? ?? f ( x, y )dxdy
D2

积分区域 D2 ? {( x, y) : y ? x ? z} (其中 z 为常数) ,则

FZ ( z ) ? ??
D2

? ?? dx x ? z e ?( x ? y ) dy, z ? 0, ?? ? f ( x, y )dxdy ? ? 0? ? 0x ? z dx e ?( x ? y ) dy, z ? 0. ? ??? z ?0

?1 ? 0.5e ? z , z ? 0, ?? z 其它. ? 0.5e ,
则 Z 的概率密度函数为

?0.5e ? z , z ? 0, ? f Z ( z ) ? FZ ( z ) ? ? z ? 0.5e , z ? 0.

f Z ( z) ? 0.5e , ? ? ? z ? ?? 23. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 ? 1 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 x, f ( x, y) ? ? 其它. ?0, 试求:(1)边际概率密度 f X ( x) 和 fY ( y) ;(2) Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) ;(3)求条件概率
综上所述

?z

? 1 1? P? ?Y ? 2 X ? 2 ? ?. ? ?
解:由边际密度函数定义得
2x ? ?? dy, 0 ? x ? 1, ?2 x, 0 ? x ? 1, f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ? 0 ?? ?? 其它; ? 其它. ? 0, ? 0, 1 ? ?? ?? dx, 0 ? y ? 2, ?1 ? 0.5 y, 0 ? y ? 2, fY ( y) ? ? f ( x, y)dx ? ? y 2 ?? ?? 其它; ? 0, ? 其它. ? 0, ??

(2)根据题意, D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2x} 为联合密度函数的非零区域,由分布函数 的定义可知

FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P(2 X ? Y ? z ) ? ?? f ( x, y )dxdy
D1

积分区域 D1 ? {( x, y) : 2 x ? y ? z} (其中 z 为常数) ;则
1 2 x? z ? ?1 ? dx dy, 0 ? z ? 2, FZ ( z ) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? ?0.5 z ?0 ? 0, 其它. D1 ? ?z ? 0.25z 2 , 0 ? z ? 2, ?? 0, 其它. ? 则 Z 的概率密度函数为 ?1 ? 0.5z, 0 ? z ? 2, ? f Z ( z ) ? FZ ( z) ? ? 其它; ? 0,

y
y ? 2x
A

(3)由条件分布定义,且在联合密度函数的非零区域

D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2x} 内 f ( x, y ) ? 1 得,如右
图阴影部分所示
E F

1 1? ? P? Y ? , X ? ? ? 1 1? 2 2 ? S EFOB 3 ? P? ? ? . o ?Y ? 2 X ? 2 ? ?? 1? S ABO 4 ? ? ? P? X ? ? 2? ? 24. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 ?2 ? x ? y, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1, f ( x, y) ? ? 其它. ? 0,

B

1

x

试求:(1) P( X ? 2Y ) ;(2) Z ? X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) . 解:(1)根据题意, D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 } 为联合密度函数的非零区域,所求概率 为

P( X ? 2Y ) ? ?? f ( x, y)dxdy ? ? dx?
D1 0

1

0.5 x

0

(2 ? x ? y)dy ?

7 ; 24

其中积分区域 D1 ? {( x, y) 0 ? y ? 0.5x,0 ? x ? 1 }; (2)由和分布公式可得

f Z ( z ) ? ? f ( x, z ? x)dx
??

??

因为 D ? {( x, y) 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 } 为联合密度函数的非零区域, 故 当 z ? x ? y ? 0 时, f Z ( z) ? 0 ; 当 z ? x ? y ? 2 时, f Z ( z) ? 0 ; 只有当 ? 此时有

? 0 ? x ?1 ? 0 ? x ?1 ?? 时, f Z ( z ) ? 0 ; ?0 ? z ? x ? 1 ? z ? 1 ? x ? z

? z (2 ? x ? z ? x)dx, 0 ? z ? 1, ? 2 z ? z 2 , 0 ? z ? 1, ?? f Z ( z ) ? ? 10 ?? 2 (2 ? x ? z ? x)dx, 1 ? z ? 2, ?(2 ? z ) , 1 ? z ? 2; ? ? ? z ?1 综上所述可得 Z 的概率密度函数为 ? z (2 ? z ), 0 ? z ? 1, ? f Z ( z ) ? ?(2 ? z ) 2 , 1 ? z ? 2, ? 0 其它. ?
25. 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且均服从区间 (0,3) 上的均匀分布,试求

P(max{X , Y } ? 1) . 解:根据题意, X ~ U (0,3) ,则其分布函数为 x ? 0, ? 0, ?x FX ( x) ? ? , 0 ? x ? 3, ?3 x ? 3. ? 1, X 和 Y 相互独立且同分布,记 Z ? max{X , Y } ,则 z ? 0, ? 0, 2 ? ?x Fmax ( z ) ? [ FX ( z )]2 ? ? 0 ? z ? 3, ?9 z ? 3. ? ?1
则所求概率为

1 P (max{ X , Y } ? 1) ? Fmax(1) ? 。 9
26. 对某电子装置的输出测量了 5 次,得到的观测值为 X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ,设它们是相 互独立的,且服从同一分布
x ? ?1 ? e ? 8 , x ? 0, F ( x) ? ? ? 其它. ? 0,
2

试求:(1) Z ? max{X1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5} 的分布函数; (2) P( Z ? 4) .

解:(1)根据题意可知,以 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 分别表示 5 次观测值,它们相互独立且同分 布,则
z ? ?(1 ? e ? 8 )5 , z ? 0, 5 Fmax ( z ) ? [ FX ( z )] ? ? ? 0, 其它. ?
2

(2)根据题意,所求概率为

P(Z ? 4) ? 1 ? P(Z ? 4) ? 1 ? F (4) ? (1 ? e?2 )5 ? 0.4834。 27. 设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1 和 L2 连接而成,连接的方式分别为:
(1)串联;(2)并联;(3)备用(开关完全可靠, 子系统 L2 在储备期内性能无变化,当 L1 损坏 时, L2 开始工作) ,如右图所示,且设 L1 和 L2 的寿命分别为 X 和 Y ,其概率密度分别为 (2) (1)

L1
L1 L2

L2

?? e?? x , x ? 0, f X ( x) ? ? x ? 0. ? 0,
(3)

L1

?? e?? y , y ? 0, L2 fY ( y ) ? ? y ? 0. ? 0, 其中 ? ? 0 , ? ? 0 ,且 ? ? ? . 分别对以上三种连接方式求 L 的寿命 Z 的概率密度. 解:由分布函数的定义,可得 X 和 Y 的分布函数分别为: ?1 ? e?? x , x ? 0, ?1 ? e?? y , y ? 0, FX ( x) ? ? FY ( y) ? ? x ? 0. y ? 0. ? 0, ? 0, (1)根据题意,串联时,记 Z ? min{X , Y } ,因为 X 和 Y 相互独立,
则其分布函数为

?1 ? e ? (? ? ? ) z , z ? 0, Fmin ( z ) ? ? 0, z ? 0. ?
则其密度函数为

?(? ? ? )e ? (? ? ? ) z , z ? 0, f min ( z ) ? Fmin ( z ) ? ? 0, z ? 0. ? (2)根据题意,并联时,记 Z ? max{X , Y } ,因为 X 和 Y 相互独立, ?
则其分布函数为

?(1 ? e ?? z )(1 ? e ? ? z ), z ? 0, Fmax ( z ) ? ? 0, z ? 0. ?
则其密度函数为

?? e ?? z ? ? e ? ? z ? (? ? ? )e ?(? ? ? ) z , z ? 0, ? f max ( z ) ? Fmax ( z ) ? ? 0, z ? 0. ? (3)根据题意,备用时,记 Z ? X ? Y ,因为 X 和 Y 相互独立,
则由卷积公式可得,其密度函数为

f Z ( z) ? ? f X ( x) fY ( z ? x)dx
??

??

z ? ?? ?e ??x ?e ? ? ( z ? x ) dx, z ? 0, ?? 0 ? 0, z ? 0. ?

?

?

? ?? ( e ? ? x ? e ?? z ), z ? 0, ? ? ?? ? ? ? 0, z ? 0. ?
28. 设某种型号的电子元件的寿命(以小时计)近似地服从正态分布 N (1000 ,202 ) ,随机 地选取 4 只.试求:(1)全部寿命均不超过 1050 的概率;(2)没有一只寿命小于 1020 的概率. 解:根据题意,以 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 分别表示四只电子元件的寿命,且它们相互独立,具有 共同分布 X i ~ N (1000 ,202 ) , i ? 1,2,3,4 (1)记 Z1 ? max{X1 , X 2 , X 3 , X 4 } ,则所求概率为

P(Z1 ? 1050 ) ? Fmax (1050 ) 又因为 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 独立且同分布,则
Fmax ( z ) ? ? FX i ( z ) ? [ F ( z )]4
i ?1 4



P(Z1 ? 1050 ) ? Fmax (1050 ) ? [F (1050 )]4
? ? X ? 1000 1050 ? 1000 ?? ? ? P? ? ?? 20 20 ?? ? ? 4 4 ? [?(2.5)] ? (0.9948 ) ? 0.9754 ; (2)记 Z 2 ? min{ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 } ,则所求概率为
4

P(Z 2 ? 1020 ) ? 1 ? P(Z1 ? 1020 ) ? 1 ? Fmin (1020 ) 又因为 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 独立且同分布,则

Fmin ( z ) ? 1 ? ?[1 ? FX i ( z )] ? 1 ? [1 ? FX ( z )]4
i ?1

4



P(Z2 ? 1020 ) ? 1 ? Fmin (1020 ) ? 1 ? {1 ? [1 ? F (1020 )]4} ? [1 ? F (1020)]4 ? [1 ? P( X ? 1020)]4
? ? X ? 1000 1020 ? 1000 ?? ? ?1 ? P? ? ?? 20 20 ? ?? ? 4 4 ? [1 ? ? (1)] ? (1 ? 0.8413) ? 0.00063 .
4


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