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1.1.3导数的几何意义


1.1.3 导数的几何意义
教学建议 1.教材分析 教材从割线入手,观察割线的变化趋势,揭示了平均变化率与割线斜率之间的关系,通过逼近方 法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线,从而将切线斜率和导数相联系,发现了导数的几何意 义.本节的重点是理解导数的几何意义,难点是过曲线上某一点的切线斜率的求解方法. 2.主要问题及教学建议 (1)切线的定义. 建议教师运用信息技术演示割线的动态变化趋势,让学生观察、思考,并引导学生共同分析,直 观获得切线的定义. (2)导数的几何意义. 建议教师通过数形结合,将切线斜率和导数相联系,发现导数的几何意义,引导学生体会用数形 结合的方法解决问题的优势. 备选习题 2 1.若函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( ) A. B. 解析:根据题意 y'= C. D.1

= =(2ax+a·Δ x)=2ax, 设切点为(x0,y0),则 2ax0=1,且 y0=a+1,y0=x0,解得 a=.
答案:B 2.已知函数 y=f(x)=-1(a>0)的图象在 x=1 处的切线为 l,求 l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小 值. 解:∵Δ y=-1-+1 =,

∴.
当 Δ x 无限趋近于 0 时,趋近于, 即 f'(x)=.∴f'(1) =.又 f(1)=-1, ∴f(x)在 x=1 处的切线 l 的方程是 y-+1=(x-1). ∴l 与两坐标轴围成的三角形的 面积

S= =×(2+2)=1. 当且仅当 a=,即 a=1 时,直线 l 与两坐标轴 围成的三角形的面积最小,最小值为 1. 2 3.过点 P(-1,0)作抛物线 f(x)=x +x+1 的切线,求切线方程. 2 解:f(x)=x +x+1,设 抛物线上一点 M(x1,y 1),则该点处的切线斜率 k=f'(x1)==2x1+1,于是过点(x1,y1) 的切线方程 是 y-y1=(2x1+1)(x-x1). 又∵y1 =f(x1)=+x1+1,① 且点( -1,0)在切线上, ∴-y1=(-1-x1)(2x1+1).② 由①②联立方程组,可解得 x1=0 或 x1=-2,于是 y1=1 或 y1=3,即切点为(0,1)或(-2,3). 过(0,1)的切线方程为 y-1=x,即 x-y+1=0;过点(-2,3)的切线方程为 y-3=-3(x+2),即 3x+y+3=0.

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