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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)单元评估检测(一)


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单元评估检测(一)
第一章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合 A={(1,2),(3,4)},则集合 A 中元素的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

2.(2013·济南模拟)设全集 U 是实数 R,M={x|x2>4}, N={ x |
2 ? 1 },则图中阴影部分所表示的集合是( x ?1

)

(A){x|-2≤x<1} (B){x|-2≤x≤2} (C){x|1<x≤2} (D){x|x<2} 3.(2013·威海模拟)对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M 且 x? N},M ? N=(M-N)∪ (N-M),设 A={x|-1≤x<1},B={x|x<0},则 A ? B=( ) (A)(-1,0] (B)[-1,0) (C)(-∞,-1)∪[0,1) (D)(-∞,-1)∪(0,1]
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4.设非空集合 P,Q 满足 P∩Q=P,则下列结论正确的是( (A)? x∈Q,x∈P (B)? x?Q,x?P (C)? x0?Q,x0∈P (D)? x0∈P,x0?Q
? 5.(2013·聊城模拟)已知命题 p:x∈A∪B,则 p 是( )

)

(A)x ? A∩B (C)x ? A 且 x ? B 6.命题“若α = ,则 sinα = (A)若α ≠ ,则 sinα ≠ (B)若α = ,则 sinα ≠ (C)若 sinα ≠ (D)若 sinα ≠
? 3 ? 3 ? 3

(B)x ? A 或 x ? B (D)x∈A∩B
3 ”的逆否命题是( 2

)

3 2 3 2

? 3 , 则α ≠ 3 2 ? 3 , 则α = 3 2

7.(2013·东营模拟)命题 p:若 a·b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角.命题 q:定义域 为 R 的函数 f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是 增函数.下列说法正确的是( ) (A)“p 或 q”是真命题 (B)“p 且 q”是假命题 (C)“ ? p”为假命题 (D)“ ? q”为假命题
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8.(2013·天水模拟)已知集合 M={x|lgx2=0},N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},则 M∩ N=( ) (B){-1} (D){-1,0} )

(A){-1,1} (C){0}

9.设向量 a=(1,x-1),b=(x+1,3),则“x=2”是“a∥b”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

10.给出下列两个命题:命题 p1:y=ln[(1-x)(1+x)]为偶函数;命题 p2:函数 y= ln
1? x 是奇函数,则下列命题为假命题的是( 1? x

)

(A)p1∧p2 (C)p1∨p2

(B)p1∨( p2) (D)p1∧( p2)
1 a

11.(2013·石家庄模拟)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 12.下列有关命题的说法正确的是( )

)

(A)命题 p:? x∈R,函数 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x≤3,则 p:? x0∈R, f(x0)=2cos2x0+ 3 sin2x0≤3 (B)命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为假命题
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(C)已知命题 p:a2+b2≥2ab,则 p:a2+b2≤2ab(a,b∈R) (D)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则 a<b?cos2A>cos2B 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13.(2013·郑州模拟)已知集合 A={-1,1},B={x|ax+1=0}.若 B?A,则实数 a 的取 值集合为 .

14.(2013·长沙模拟)已知命题 p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相反;命题 q:? x0∈R,使 x02-mx0-m<0.若命题“p∧q”是假命题,则实数 m 的取值范围 是 .
x ,若关于 x 的不等式: 2?y

15.(2013·泰安模拟)在 R 上定义运算 ? :x ? y=

(x-a) ? (x+1-a)>0 的解集是集合{x|-2≤x≤2}的子集, 则实数 a 的取值范围是 __________. 16.(能力挑战题)已知下列四个结论: ①命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题; ②命题 p:? x0∈[0,1], e x ≥1,
0

命题 q:? x0∈R, x02+x0+1<0,则 p∨q 为真; ③若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ④“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(12 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}. 求:(1)A∪B.
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(2)( ?R A)∩B. 18.(12 分)(2013· 郑州模拟)已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实 根,命题 q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解集为 R.若 p∨q 为真命题、p∧q 为假命 题,求实数 m 的取值范围. 19.(12 分)A={x|
1 ≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}. 32

(1)当 x∈N 时,求 A 的非空真子集的个数. (2)若 A? B,求实数 m 的取值范围. 20.(12 分)已知 p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若 p 是 q 的必要而不充分 条件,求实数 m 的取值范围. 21.(13 分)(2013·汾阳模拟)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}, B={y|y= x2-x+ ,0≤x≤3}. (1)若 A∩B=? ,求实数 a 的取值范围. (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的最小值时,求( ?R A)∩B. 22.(13 分)(能力挑战题)设 a,b,c 为△ABC 的三边,探究方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件.
1 2 5 2

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答案解析
1.【解析】选 B.(1,2),(3,4)是元素,故集合 A 中只有两个元素. 2.【解析】 选 C.题图中阴影部分可表示为( ?U M)∩N,集合 M 为{x|x>2 或 x<-2}, 集合 N 为{x|1<x≤3},由集合的运算,知( ?U M)∩N={x|1<x≤2}. 3.【解析】选 C.由题意 A-B={x|0≤x<1},B-A={x|x<-1}, ?A ? B={x|x<-1 或 0≤x<1}. 4.【解析】选 B.P∩Q=P?P?Q,根据子集的意义,任意不属于集合 Q 的元素一定 不属于其子集 P. 5.【解析】选 C.由 x∈A∪B 知 x∈A 或 x∈B.所以选 C. 6.【解析】选 C.原命题结论的否定是 sinα≠
? 3

3 ,此为其逆否命题的条件;原命 2

题条件的否定是α≠ ,此为其逆否命题的结论,故原命题的逆否命题是“若 sinα≠
? 3 ,则α≠ ”. 3 2

7.【解析】选 B.由题得命题 p 是假命题,因为当 cos〈a,b〉-1<0 时,两个 向量的夹角为 180°,不是钝角.命题 q 是假命题,如函数 y ?
?1 . 所以选 B. x

8.【解析】选 B.集合 M={-1,1},集合 N={-1,0},所以 M∩N={-1}. 9.【解析】选 A.当 x=2 时,a=(1,1),b=(3,3),此时 a∥b;当 a∥b 时,1〓3 =(x-1)(x+1),解得 x=〒2.故“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件. 10.【思路点拨】根据函数奇偶性的定义判断命题 p1,p2 的真假,然后根据逻辑联 结词的意义判断选项中命题的真假. 【解析】选 D.函数 y=ln[(1-x)(1+x)]的定义域是(-1,1)且满足偶函数的定义, 命题 p1 为真命题;函数 y= ln
1? x 的定义域是(-1,1)且满足奇函数的定义,命题 p2 1? x
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是真命题.故命题 p1∧p2,p1∨( p2),p1∨p2 均为真命题,只有命题 p1∧( p2)为假命 题. 11.【思路点拨】根据 a,b 取值的正负,结合不等式的性质进行推理,注意使用举 反例的方法. 【解析】选 D.当 0<ab<1 时 a,b 同号,若 a,b 均为正数,则有 b< ,若 a,b 均为负 数,则 b> ,故条件不是充分的;当 b< 时,若 b<0,a>0,则一定不满足 0<ab<1,故 条件也是不必要的.故“0<ab<1”是“b< ”的既不充分也不必要条件. 12.【思路点拨】根据三角函数、不等式、解三角形以及命题的知识逐项判断. 【解析】 选 D.选项 A 中的命题的否定是? x0∈R,f(x0)=2cos2x0+ 3 sin2x0>3,故选 项 A 中的说法不正确;由于原命题为真命题,故其逆否命题一定是真命题,选项 B 中的说法不正确;a,b∈R 时,命题 p 的否定是 a2+b2<2ab,故选项 C 中的说法不正 确;a<b?2RsinA<2RsinB?sinA<sinB?sin2A<sin2B?1-cos2A<1-cos2B? cos2A>cos2B,故选项 D 中的说法正确. 13.【解析】当 a=0 时,B=? ,符合要求;当 a≠0 时,B={- },根据 B?A 可得 a=1 或-1.故实数 a 的取值集合为{-1,0,1}. 答案:{-1,0,1} 【误区警示】不要忽视集合 B 为空集的情况. 14.【解析】方程 x2+x-1=0 有两个实数根且两根之积为负值,故两根的符号相反, 命题 p 是真命题,若 p∧q 为假命题,只能是命题 q 为假命题,即其否定是真命题, 即? x∈R,x2-mx-m≥0 为真命题,即Δ=m2+4m≤0,即-4≤m≤0. 答案:[-4,0] 15. 【解析】 (x-a) ? (x+1-a)>0?
x ?a x ?a >0? >0?(x-a) [x-(a+1)] 2 ? x ?1? a ?1 ? a ? x ?
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1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

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<0?a<x<a+1,又{x|a<x<a+1}?{x|-2≤x≤2}, ??
?a ? ?2, ?a ? 1 ? 2,

?-2≤a≤1. 答案:-2≤a≤1 16.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题 p 为真命题、q 为假命 题,故 p∨q 是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确;④ 中命题的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2”,这个命题在 m=0 时不成立,结论④不正 确. 答案:①②③ 17.【解析】(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10}. (2)因为 ?R A={x|x<3 或 x≥7}, 所以( ?R A)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. 18.【解析】命题 p 为真时,实数 m 满足Δ1=m2-4>0 且-m<0,解得 m>2;命题 q 为真 时,实数 m 满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3. p∨q 为真命题、p∧q 为假命题,等价于 p 真且 q 假或者 p 假且 q 真. 若 p 真且 q 假,则实数 m 满足 m>2 且 m≤1 或 m≥3,解得 m≥3; 若 p 假且 q 真,则实数 m 满足 m≤2 且 1<m<3,解得 1<m≤2. 综上可知,所求 m 的取值范围是(1,2]∪[3,+≦). 19.【解析】化简集合 A={x|-2≤x≤5}, 集合 B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}. (1)当 x∈N 时,集合 A={0,1,2,3,4,5},即 A 中含有 6 个元素,所以 A 的非空真子 集数为 26-2=62(个).
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(2)(2m+1)-(m-1)=m+2. ①当 m=-2 时,B=? ?A; ②当 m<-2 时,2m+1<m-1, 此时 B=(2m+1,m-1),若 B?A,则只要 ? 分,所以 m 的值不存在; ③当 m>-2 时,2m+1>m-1, 此时 B=(m-1,2m+1),若 B?A,则只要 ? ≤2. 综上所述,m 的取值范围是 m=-2 或-1≤m≤2. 20.【解析】≧p:-2≤x≤10, ? p:A={x|x>10 或 x<-2}. 由 q:x2-2x+1-m2≤0(m>0), 解得 1-m≤x≤1+m(m>0), ? q:B={x|x>1+m 或 x<1-m}(m>0). 由 p 是 q 的必要而不充分条件可知:B A.
?m ? 0, ?m>0, ? ? ? ?1 ? m ? ?2, 或 ?1 ? m<? 2, 解得 m≥9. ?1 ? m>10 ?1 ? m ? 10, ? ?

?2m ? 1 ? ?2, 3 解得- ≤m≤6,与 m<-2 无公共部 2 ?m ? 1 ? 5,

?m ? 1 ? ?2, 解得-1≤m≤2,此时 m 满足-1≤m ?2m ? 1 ? 5,

?满足条件的 m 的取值范围为 m≥9. 【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略 处理此类问题一般有两种策略: 一是直接求出条件与结论,再根据它们的关系求解.二是先写出命题条件与结论
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的否定,再根据它们的关系求解. 如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么 p 是 q 的必要不充分条件;同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那么 p 是 q 的充分不必要条件,如果 p 是 q 的充要条件,那么 p 是 q 的充要条件. 21.【解析】由 y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0,得 (y-a)(y-a2-1)>0, 由于 a2+1-a=(a- )2+ >0, 所以 A=(-≦,a)∪(a2+1,+≦). 集合 B 为函数 y= x2-x+ ,0≤x≤3 的值域,二次函数 y= x2-x+ 的对称轴方程 为 x=1,故在[0,3]上,当 x=1 时函数值最小,当 x=3 时函数值最大,故可得 B=[2,4]. (1)若 A∩B=? ,则只要 a2+1≥4 且 a≤2 即可,解得 a≤- 3 或 3 ≤a≤2,即实数 a 的取值范围是(-≦,- 3 ]∪[ 3 ,2]. (2)不等式 x2+1≥ax 对任意 x 恒成立的充要条件是 a2-4≤0,解得-2≤a≤2,最小 a 值为-2,此时 A=(-≦,-2)∪(5,+≦), ?R A=[-2,5],所以( ?R A)∩B=[2,4]. 22.【思路点拨】设出方程的公共根,消掉这个公共根就可以得到两个方程有公 共根的必要条件,再证明这个条件是充分的即可. 【解析】设 m 是两个方程的公共根,显然 m≠0.由题设知:m2+2am+b2=0 ①, m2+2cm-b2=0 ②, 由①+②得 2m(a+c+m)=0,所以 m=-(a+c) ③, 将③代入①,得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0, 化简得 a2=b2+c2.
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1 2

3 4

1 2

5 2

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5 2

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所以所给的两个方程有公共根的必要条件是 a2=b2+c2. 下面证明其充分性. 因为 a2=b2+c2,所以方程 x2+2ax+b2=0, 即 x2+2ax+a2-c2=0, 它的两个根分别为 x1=-(a+c)和 x2=c-a; 同理,方程 x2+2cx-b2=0 的两根分别为 x3=-(a+c)和 x4=a-c. 因为 x1=x3,所以方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根. 综上所述,方程 x2+2ax+b2=0 与方程 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是 a2=b2+c2.

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