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2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程导学案


2.2.1 椭圆及其标准方程
教学目标:1.掌握椭圆的定义,标准方程的两种形式。 2.会根据条件确定椭圆的标准方程, 会用待定系数法求椭圆的标准 方程。 教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程. 教学难点:椭圆的标准方程的推导,椭圆的定义中常数加以限制的原因. 教学过程: 一、引入课题:用一个平面截圆锥会得到怎样的图形呢?(动画演示) 当截面垂直于圆锥的轴, 截口曲线是圆, 当截面垂直于圆锥的轴成一定的 夹角时可以得到不同的截口曲线,有椭圆,抛物线,双曲线。因此我们把圆、 椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。 (圆锥曲线与生产科研以及人类生活 的密切关系, 例如卫星嫦娥二号的运行轨迹和一些天体的运行轨道是椭圆, 探 照灯的反射镜面是抛物面,发电厂的冷却塔的外形是双曲线等等) 二、复习:圆的定义: ____________________________________________ 三、新课讲授: 1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉 紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是一个 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个 点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什 么曲线 在移动笔尖的过程中, 细绳的 2.平面内与两个定点 F1 ,F2 的 圆。 这两个定点叫做椭圆的 , 保持不变, 即笔尖 等于常数. 的点的轨迹叫做椭 叫做椭圆的焦距。
F1 F2


P

3.将上题中“大于| F1 F2 |”改为“等于| F1 F2 |”的常数,其他条件不变,点

的轨迹是

将“大于| F1 F2 |”改为“小于| F1 F2 |”的常数,

其他条件不变,点的轨迹存在吗? 结论:在椭圆上有一点 P,则| PF 2 |= 1 |+| PF
2 a >| F1 F2 | 时,点的轨迹为

( 2a ? | F1 F2 | )。 ; 2a =| F1 F2 | 时,点的轨迹 。



; 2a <| F1 F2 |时,点的轨迹

四、推导椭圆的标准方程: 1.求动点轨迹方程的一般步骤是什么? 2.探讨建立平面直角坐标系的方案.(原则:尽可能使方程的形式简单、运算 简单) 3.怎样化简方程
( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

4. 课本 P39 思考题 5. 课本 P40 思考题 6.完成下表 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a.b.c 的关系
c2 ?

焦点在 y 轴上

7.仔细观察椭圆的标准方程你能找到判断焦点位置的方法吗? _________________________________________________________________ x2 y2 五、练习: 已知椭圆的方程为: ? ? 1 ,则①a=_____,b=_______, 9 4 c=_______,焦点坐标为:_____________,焦距等于_______。②曲线上一点 P 到焦点 F1 的距离为 3,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离等于_________,则三

角形 F1PF2 的周长为___________ 六、例题讲解: 例 1. 椭圆两个焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3) ,且椭圆经过点(5,0) ; 求这个椭圆的标准方程。

七、小结:1.知识小结⑴椭圆的定义: MF1 ? MF2 ? 2a ⑵求椭圆的标准方程: ①首先要判断类型 ②再用待定系数法求 a,b ⑶判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。 八.作业:P49,1,2 题


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