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河北省石家庄二中2015届高三上学期开学数学试卷(理科)


河北省石家庄二中 2015 届高三上学期开学数学试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)函数 A.(0,8] 的定义域为() B.(﹣2,8] C.(2,8] D.[8,+∞)

2. (5 分)函数 f(x)=

满足 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能

值为() A

.1 或 B. ﹣ C. 1 D.1 或﹣

3. (5 分)有下列命题: ①函数 y=cos(x﹣ ②函数 y= )cos(x+ )的图象中,相邻两个对称中心的距离为 π;

的图象关于点(1,1)对称;
2

③关于 x 的方程 ax ﹣2ax﹣1=0 有且仅有一个零点,则实数 a=﹣1; ④已知命题 p:对任意的 x>1,都有 sinx≤1,则?p:存在 x≤1,使得 sinx>1. 其中所有真命题的序号是() A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 4. (5 分)已知函数 f(x)=﹣2sin(2x+φ) (|φ|<π) ,若 调递增区间可以是() A. B. C. D. ,则 f(x)的一个单

5. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+2f(3) , f(﹣1)=2,则 f=() A.1 B. 2 C. 3 D.4

6. (5 分)已知

= ,0<x<π,则 tanx 为()

A.﹣

B. ﹣

C. 2
2

D.﹣2

7. (5 分)当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则实数 a 的取值范围为()

A.(2,3]

B.[4,+∞)
2

C.(1,2]
2

D.[2,4)

8. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=2,AC +BC =8,则△ ABC 面积的最大值为() A. B. 2 C. D.3 9. (5 分)已知 f(x)=alnx+ x (a>0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有
2

>2 恒成立,则 a 的取值范围是() A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞)

10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,已知 f(x+1)是偶函数, (x﹣1)f′ (x)<0.若 x1<x2,且 x1+x2>2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是() A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.不确定

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)已知在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,∠A=30°,b= 则∠B=.
x 2

,a=1,

12. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+2 ,若 f(x +2)<f(3x) ,则实数 x 的取值范围是. 13. (5 分)若函数 f(x)=|sinx|(x≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点,交点中横 坐标的最大值为 α,则 =.

14. (5 分) 已知函数 ( f x) = ( ), g (x) =

x

x, 记函数 h (x) =



则不等式 h(x)≥

的解集为.

三、解答题(共 50 分) 2 15. (12 分)已知函数 g(x)=﹣x ﹣3,f(x)是二次函数,当 x∈[﹣1,2]时 f(x)的最小值 为 1,且 f(x)+g(x)为奇函数,求函数 f(x)的解析式.

16. (12 分)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图 象过点( , )和点( ,﹣2) .

(Ⅰ)求 m,n 的值;

(Ⅱ)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g (x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 17. (14 分)已知函数 .

(Ⅰ)若 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)在[0,1]上的最小值; (Ⅲ)若对任意 m∈R,直线 y=﹣x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值范围. 18. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣ln(2x) . (Ⅰ)设 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 m 的值并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明:f(x)>﹣ln2.
x﹣m

河北省石家庄二中 2015 届高三上学期开学数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)函数 A.(0,8] 的定义域为() B.(﹣2,8] C.(2,8] D.[8,+∞)

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 函数 的定义域为:{x| },由此能求出结果.

解答: 解:函数

的定义域为:

{x|

},

解得{x|﹣2<x≤8], 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的定义域,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2. (5 分)函数 f(x)=

满足 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能

值为() A.1 或 B. ﹣ C. 1 D.1 或﹣

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题是考查分段函数的概念及计算,我们可以在两个不同定义域内求解.

解答: 解:∵f(x)=

满足 f(1)+f(a)=2,

∴f(1)=1,∴f(a)=1, 当 a≥0 时,e 当
a﹣1

=1 解得 a=1; .

故选:D. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 3. (5 分)有下列命题: ①函数 y=cos(x﹣ ②函数 y= )cos(x+ )的图象中,相邻两个对称中心的距离为 π;

的图象关于点(1,1)对称;
2

③关于 x 的方程 ax ﹣2ax﹣1=0 有且仅有一个零点,则实数 a=﹣1; ④已知命题 p:对任意的 x>1,都有 sinx≤1,则?p:存在 x≤1,使得 sinx>1. 其中所有真命题的序号是() A.①② B.②③ C.③④ D.②③④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①利用积化和差公式可得 y=cos(x﹣ 为 π,相邻两个对称中心距离为 ② ,可判断①; )cos(x+ )= cos2x,从而可得其周期

,所以函数的对称中心为(1,1) ,可判断②;

③分 a=0 与 a≠0 讨论,可判断③; ④当全称命题变为非命题时,全称量词改成特称量词,可判断④.

解答: 解:①y=cos(x﹣

)cos(x+

)= [cos2x+cos(﹣

)]= cos2x,所以函数的

周期为 π,相邻两个对称中心距离为 ②

,所以命题①不正确.

,所以函数的对称中心为(1,1) ,命题正确.

③当 a=0 时,不成立,当 a≠0 时,△ =0,可得 a=﹣1 或 a=0(舍) ,所以命题正确. ④当全称命题变为非命题时, 全称量词改成特称量词, 所以非 p 应该为, 存在 x>1, 使得 sinx >1,所以④不正确. 故选:B. 点评: 本题考查三角函数的图象及对称性、周期性,考查函数的零点及全程命题与特称命 题,属于中档题.

4. (5 分)已知函数 f(x)=﹣2sin(2x+φ) (|φ|<π) ,若 调递增区间可以是() A. B. C. D.

,则 f(x)的一个单

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由正弦函数最值的结论,得 x= φ= 为[ ,所以 f(x)=﹣2sin(2x+ +kπ, 是方程 2x+φ= +2kπ 的一个解,结合|φ|<π 得

) ,再根据正弦函数的图象与性质,得函数的单调增区间

+kπ](k∈Z) ,对照各选项可得本题答案. 时,f(x)=﹣2sin(2x+φ)有最小值为﹣2 +2kπ 的一个解,得 φ= . ) +kπ, (k∈Z) +2kπ, (k∈Z)

解答: 解:∵当 x= ∴x= 是方程 2x+φ=

∵|φ|<π,∴取 k=0,得 φ=

因此函数表达式为:f(x)=﹣2sin(2x+ 令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,得 +kπ≤x≤

取 k=0,得 f(x)的一个单调递增区间是 故选:D 点评: 本题给出函数 y=Asin(ωx+φ)的一个最小值及相应的 x 值,求函数的单调增区间, 着重考查了正弦函数的图象与性质的知识,属于基础题.

5. (5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+2f(3) , f(﹣1)=2,则 f=() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 令 x=﹣3 可求 f(3) ,然后代入可得 f(x+6)=f(x)即函数是以 6 为周期的函数, 结合已知可求函数值 解答: 解:f(x+6)=f(x)+2f(3) ,且 f(x)是定义在 R 上的偶函数 令 x=﹣3 可得 f(3)=f(﹣3)+2f(3)且 f(﹣3)=f(3) ∴f(﹣3)=f(3)=0 ∴f(x+6)=f(x) ,即函数是以 6 为周期的函数 ∵f(﹣1)=2 ∴f=f(1)=f(﹣1)=2 故选 B 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,体现了转化的数学思想.

6. (5 分)已知

= ,0<x<π,则 tanx 为()

A.﹣

B. ﹣

C. 2

D.﹣2

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 将已知等式左边分子利用二倍角的余弦函数公式化简,分母利用两角和与差的余弦 函数公式及特殊角的三角函数值化简,整理后约分得到 cosx+sinx= ,再将此等式左右两边平 方,利用同角三角函数间的基本关系化简,求出 2sinxcosx 的值小于 0,由 x 的范围得到 sinx 大于 0, cosx 小于 0, 再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出 cosx﹣sinx 的值, 与 sinx+cosx 的值联立组成方程组,求出方程组的解得到 sinx 与 cosx 的值,进而确定出 tanx 的值. 解答: 解:∵ = =cosx+sinx= ①,

∴(cosx+sinx) = ∴2sinxcosx=﹣

2

,即 sin x+2sinxcosx+cos x=1+2sinxcosx=

2

2



<0,又 0<x<π,

∴sinx>0,cosx<0, ∴(cosx﹣sinx) =sin x﹣2sinxcosx+cos x=1﹣2sinxcosx= ∴cosx﹣sinx=﹣ ②,
2 2 2



联立①②解得:cosx=﹣ ,sinx= , 则 tanx=﹣ . 故选 A 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函 数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键. 7. (5 分)当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.(2,3] B.[4,+∞) C.(1,2] D.[2,4) 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: 根据二次函数和对数函数的图象和性质,由已知中当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1) 2 <logax 恒成立,则 y=logax 必为增函数,且当 x=2 时的函数值不小于 1,由此构造关于 a 的 不等式,解不等式即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=(x﹣1) 在区间(1,2)上单调递增, 2 ∴当 x∈(1,2)时,y=(x﹣1) ∈(0,1) , 2 若不等式(x﹣1) <logax 恒成立, 则 a>1 且 1≤loga2 即 a∈(1,2], 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中根据二次函数和对数函数的 图象和性质,结合已知条件构造关于 a 的不等式,是解答本题的关键. 8. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=2,AC +BC =8,则△ ABC 面积的最大值为() A. B. 2 C. D.3 考点: 专题: 分析: 解答: 又 cosC= ∴ , ∴由不等式可知 AC=BC=2 时,面积有最大值 , 基本不等式;余弦定理. 解三角形. 利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出. 2 2 解:∵8=AC +BC ≥2AC?BC,∴AC?BC≤4. ≥ = . ,
2 2 2 2

故选:C. 点评: 本题考查了基本不等式、余弦定理、三角形的面积公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

9. (5 分)已知 f(x)=alnx+ x (a>0) ,若对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有

2

>2 恒成立,则 a 的取值范围是() A.(0,1] B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1, +∞)

考点: 导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先将条件“对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有 >2 恒成立”

转换成当 x>0 时,f'(x)≥2 恒成立,然后利用参变量分离的方法求出 a 的范围即可. 解答: 解:对任意两个不等的正实数 x1,x2,都有 则当 x>0 时,f'(x)≥2 恒成立 f'(x)= +x≥2 在(0,+∞)上恒成立 则 a≥(2x﹣x )max=1 故选 D. 点评: 本题主要考查了导数的几何意义,以及函数恒成立问题,同时考查了转化与划归的 数学思想,属于基础题. 10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,已知 f(x+1)是偶函数, (x﹣1)f′ (x)<0.若 x1<x2,且 x1+x2>2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是() A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.不确定 考点: 不等关系与不等式;函数奇偶性的判断;导数的运算. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+1)为偶函数可得 f(x)图象关于 x=1 对称,由(x﹣1)f′(x)<0,可得 f (x)在(﹣∞,1],[1,+∞)上的单调性,分情况讨论:若 x1≤1,利用对称性把 f(x1)变 到区间[1,+∞)上用单调性与 f(x2)比较;若 x1>1,则由 1<x1<x2 直接用单调性可进行 大小比较. 解答: 解:因为 f(x+1)是偶函数,所以 f(﹣x+1)=f(x+1) ,则 f(x)的图象关于 x=1 对称, 由(x﹣1)f′(x)<0 得,x>1 时 f′(x)<0,f(x)单调递减,x<1 时 f′(x)>0,f(x) 单调递增, 若 x1≤1,由 x1+x2>2,得 x2>2﹣x1≥1, 所以 f(x1)=f(2﹣x1)>f(x2) ; 若 x1>1,则 1<x1<x2,所以 f(x1)>f(x2) , 综上知 f(x1)>f(x2) , 故选 C.
2

>2 恒成立

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系,考查学生灵活运用知 识分析解决问题的能力,由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键,数形结 合是分析本题的有力工具. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)已知在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,∠A=30°,b= 则∠B=60°或 120°.

,a=1,

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题目中的条件,利用正弦定理可直接求出角 B 的正弦值,依据边的关系可求角 的大小. 解答: 解: ∵b>a ∴∠B=60°或 120° 故答案为:60°或 120° 点评: 本题考查的知识点:正弦定理的应用,三角形解的情况. 12. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+2 ,若 f(x +2)<f(3x) ,则实数 x 的取值范围是(1,2) . . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 分析: 求导确定函数在定义域上是单调的,再将不等式转化为关于 x 的一元二次不等式, 解之得实数 x 的取值范围. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) ∵f′(x)= +2 ln2>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数, 2 ∵f(x +2)<f(3x) , 2 ∴x +2<3x,∴1<x<2, ∴实数 X 的取值范围是 (1,2) . 故答案为: (1,2) . 点评: 此题是知函数值的大小来求自变量的取值范围,就需知函数的单调性,用导数来判 断. 13. (5 分)若函数 f(x)=|sinx|(x≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点,交点中横 坐标的最大值为 α,则 =2.
x x 2

考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题.

分析: 先根据题意画图,然后令切点为 A(α,﹣sinα) ,α∈(π,

) ,在(π,

)上,

根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系,即可求出 α=tanα,代入所求化简即可求出 所求. 解答: 解:函数 f(x)=|sinx|(x≥0)与直线有且只有三个交点如图所示, 令切点为 A(α,﹣sinα) ,α∈(π, ∴﹣cosx=﹣ 即 α=tanα, ) ,在(π, )上,f'(x)=﹣cosx



=

=

=2

故答案为:2 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及三角函数的运算,属于中 档题.

14. (5 分) 已知函数 ( f x) = ( ), g (x) =

x

x, 记函数 h (x) =



则不等式 h(x)≥

的解集为(0, ].

考点: 指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的定义与函数的解析式可作图,找到两函数的交点,确定分段函数的取值, 最后解出不等式. 解答: 解:分别画出 f(x)和 g(x)的图象,h(x)的定义域为(0,+∞) ,由图可知两 函数的交点在 故答案为: (0, ] 之内,根据题意可知 的解集为 .

点评: 本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,属于基础题. 三、解答题(共 50 分) 2 15. (12 分)已知函数 g(x)=﹣x ﹣3,f(x)是二次函数,当 x∈[﹣1,2]时 f(x)的最小值 为 1,且 f(x)+g(x)为奇函数,求函数 f(x)的解析式. 考点: 二次函数的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据题意设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,再由 f(x)+g(x)为奇函数求出 a、c 的值, 再求对称轴,根据所给的区间进行分类讨论,分别求出 f(x)的最小值列出方程,求出 b 的 值. 解答: 解:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,则 f(x)+g(x)=(a﹣1)x +bx+c﹣3, ∵f(x)+g(x)为奇函数,∴a=1,c=3 ∴f(x)=x +bx+3,对称轴 x=﹣ , ①当﹣ >2,即 b<﹣4 时,f(x)在[﹣1,2]上为减函数, ∴f(x)的最小值为 f(2)=4+2b+3=1,∴b=﹣3,∴此时无解 ②当﹣1≤﹣ ≤2,即﹣4≤b≤2 时,f(x)min=f(﹣ )=3﹣ ∴b=﹣2 ,此时 f(x)=x ﹣2
2 2 2 2

=1,∴b=±2

x+3,

③当﹣ <﹣1s 时,即 b>2 时,f(x)在[﹣1,2]上为增函数, ∴f(x)的最小值为 f(﹣1)=4﹣b=1, ∴b=3,∴f(x)=x +3x+3, 2 2 综上所述,f(x)=x ﹣2 x+3,或 f(x)=x +3x+3. 点评: 本题考查了函数性质的综合应用,待定系数法求函数的解析式,以及分类讨论思想 求二次函数在定区间上的最值问题.
2

16. (12 分)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图 象过点( , )和点( ,﹣2) .

(Ⅰ)求 m,n 的值; (Ⅱ)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g (x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 考点: 平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由题意可得 函数 f(x)=msin2x+ncos2x,再由 y=f(x)的图象过点( 和点( ,﹣2) ,解方程组求得 m、n 的值. , )

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f(x)=2sin(2x+ g(x)=2sin(2x+2φ+

) ,根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得 ,可

)的图象,再由函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上,求得 φ=

得 g(x)=2cos2x.令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 x 的范围,可得 g(x)的增区间. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 函数 f(x)= ? =msin2x+ncos2x,

再由 y=f(x)的图象过点(



)和点(

,﹣2) ,可得



解得 m=

,n=1. sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ) .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f(x)=

将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后, 得到函数 g(x)=2sin[2(x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ )的图象,显然函数 g(x)最高点的

纵坐标为 2. y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 故函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上, ∴2φ+ =2kπ+ ,k∈Z,结合 0<φ<π,可得 φ= )=2cos2x. ≤x≤kπ, ,kπ],k∈Z. ,

故 g(x)=2sin(2x+

令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 kπ﹣ 故 y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 变换规律,余弦函数的单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题.

17. (14 分)已知函数



(Ⅰ)若 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)在[0,1]上的最小值; (Ⅲ)若对任意 m∈R,直线 y=﹣x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. ′ 分析: (Ⅰ)由已知当 x=1 时,f(x)取得极值,所以必有 f (1)=0,据此可求出 a 的值, 再验证 a 的值是否满足取得的极值条件即可. ′ (Ⅱ)先对函数 f(x)求导得 f (x) ,需要对 a 进行分类讨论,看其在区间(0,1)或其子区 ′ 间上 f (x)与 0 进行比较,可得到其单调性,进而求出其最小值.

(Ⅲ)因为?m∈R,直线 y=﹣x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线,所以 f'(x)=x ﹣a≠﹣1 对 x∈R 成立,进而求出 a 的取值范围即可. 解答: 解: (I)∵f'(x)=x ﹣a, 当 x=1 时,f(x)取得极值,∴f'(1)=1﹣a=0,a=1. 又当 x∈(﹣1,1)时,f'(x)<0,x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)在 x=1 处取得极小值,即 a=1 符合题意 (II) 当 a≤0 时,f'(x)>0 对 x∈(0,1]成立, ∴f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)在 x=0 处取最小值 f(0)=1. 当 a>0 时,令 f'(x)=x ﹣a=0, 当 0<a<1 时, , 当 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以 f(x)在 当 a≥1 时, 处取得最小值
2 2

2

, 时, f' (x) <0, f (x) 单调递减, .

,x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减 .

所以 f(x)在 x=1 处取得最小值

综上所述: 当 a≤0 时,f(x)在 x=0 处取最小值 f(0)=1. 当 0<a<1 时,f(x)在 处取得最小值 . .

当 a≥1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值
2

(III)因为?m∈R,直线 y=﹣x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线, 所以 f'(x)=x ﹣a≠﹣1 对 x∈R 成立, 2 只要 f'(x)=x ﹣a 的最小值大于﹣1 即可, 2 而 f'(x)=x ﹣a 的最小值为 f(0)=﹣a 所以﹣a>﹣1,即 a<1. 点评: 深刻理解导数的几何意义及熟练利用导数求极值、最值是解题的关键.分类讨论思 想和转化思想是解题常用的思想方法,应熟练掌握. 18. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣ln(2x) . (Ⅰ)设 x=1 是函数 f(x)的极值点,求 m 的值并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明:f(x)>﹣ln2. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)求出 f′(x) ,由题意可知 f'(1)=0,由此可求 m,把 m 值代入 f′(x) ,由 f′ (x)的单调性及 f'(1)=0 可知其符合变化规律,从而可得单调性; (Ⅱ)x∈(0,+∞)时,e ≥e ≥x﹣1 恒成立,取函数 h(x)=x﹣1﹣ln(2x) (x>0) ,可 x﹣m x﹣2 得 f(x)=e ﹣ln(2x)≥e ﹣ln(2x)≥x﹣1﹣ln(2x)≥﹣ln2,即可得出结论. x﹣m 解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=e ﹣ln(2x) , ∴f′(x)=e
x﹣m x﹣m x﹣2 x﹣m

﹣ ,

由 x=1 是函数 f(x)的极值点得 f′(1)=0, 即e
1﹣m

﹣1=0,∴m=1.
x﹣1

…(2 分)
x﹣1

于是 f(x)=e 由 f″(x)=e

﹣ln(2x) ,f′(x)=e

﹣ ,

x﹣1

+

>0 知 f′(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增,且 f′(1)=0,

∴x=1 是 f′(x)=0 的唯一零点. …(4 分) 因此,当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)递减; x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增, ∴函数 f(x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. …(6 分) (Ⅱ)证明:当 m≤2,x∈(0,+∞)时,e ≥e x x﹣m x﹣2 又 e ≥x+1,∴e ≥e ≥x﹣1. …(8 分)
x﹣m x﹣2



取函数 h(x)=x﹣1﹣ln(2x) (x>0) ,h′(x)=1﹣ , 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)单调递增,得 函数 h(x)在 x=1 时取唯一的极小值即最小值为 h(1)=﹣ln2.…(12 分) ∴f(x)=e ﹣ln(2x)≥e ﹣ln(2x)≥x﹣1﹣ln(2x)≥﹣ln2, 而上式三个不等号不能同时成立,故 f(x)>﹣ln2.…(14 分) 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值、单调性,考查学生灵活运用知识分析解决问题 的能力.
x﹣m x﹣2


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