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河南省商丘市第一高级中学2016届高三数学考前押题考试试题 文


商丘市一高 2016 届高考考前押题考试试卷 文科数学
2016 年 5 月 7 号 (考试时间:120 分钟 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 1.已知集合 P ={x x2 试卷满分:150 分)

Q =( 2} ,则 (CR P) ∩ 2x ≥ 0} , Q ={x 1< x ≤
D.[1,2] ) D.

>


A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) 2.若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( A.﹣4 B.

4 5

C.4

4 5

3.命题“ ? x∈Z,使 x + 2 x + m ≤0”的否定是
2

(

)
2

A. ? x∈Z,使 x +2x+m> 0
2

B.不存在 x∈Z,使 x +2x+m>0 D.对 ? x∈Z 使 x +2x+m>0
2

C.对 ? x∈Z 使 x +2x+m≤0
2

4. 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( A.1+ C.2+ B.1+2 D.2
|x﹣m|



5. 已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 ﹣1(m 为实数)为偶函数, 记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 ( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 6.设函数 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ ) f(﹣x)=f(x) ,则( A.f(x)在 C.f(x)在(0, ) 单调递减 B.f(x)在( )单调递增 D.f(x)在( , , ) D. )单调递减 )单调递增 的最小正周期为 π ,且

7.执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为( A. B. C.

1

8.x、y 满足

,若 z=y﹣ax 取最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为(



A. 或﹣1

B.2 或

C.2 或 1

D.2 或﹣1

9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在 容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的 厚度,则球的体积为( )

A. C. 10. 已知

B. D. 是 (﹣∞, +∞) 上的减函数, 那么 a 的取值范围是 ( )

A.(0,1)

B.
2 2

C.

D. )

11.过点 P (0, 1) 与圆 x +y ﹣2x﹣3=0 相交的所有直线中, 被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( A.x=0 B.y=1 C.x+y﹣1=0 D.x﹣y+1 =0

12.设函数 f′(x)是奇函数 f (x )(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x) <0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1, D 是边 BC 上一点 ,DC=2BD,则 14.椭圆 + ? = .

=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上, . . .

则椭圆的离心率是

15.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=﹣ 1,an+1=SnSn+1,则 Sn= 16.设 x,y 为实数,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是 三、解答题:本大题 共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)
2 2

2

+bcosC. .(1)求角 A +C 的大小 ; 在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c 且 a=csinB
(2)若 b ?

2 ,求△ ABC 面积的最大值.

18. (本小题满分 12 分)某高校在 2014 年的自主招生 考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组,得到的频率分布表如图所示. (1)请先求出频率分布表中①②位置处的相应数据, 再完 成下列频率分布直方图. (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试, 求第 3, 4, 5 组中应各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生由考官 A 进行面试,求第 4 组中至少有 1 名学生 被考官 A 面试的概率.

19.(本小题满分 12 分)如图(1),在直角梯形 ABCD 中, AD ? BC ,

?BAD ?

?
2

,AB ? BC ?

1 AD ? a ,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 2

的交点.将 ?ABE 沿 BE 折起到图 (2) 中△ A1BE 的位置,得到四棱锥

A1 ? BCDE .
(1)证明: CD ? 平面 AOC ; 1 (2)当平面 A 1 BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A 1 ? BCDE 的体积为 36 2, 求 a 的值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? =1 ? a ? b ? 0? 的焦距为 2 3,长轴长是短轴长的 2 倍. a 2 b2

(1)求椭圆 C 的标准方程;

3

(2)斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 其中 A 为椭圆的左顶点, 若椭圆的上顶点 P 始终在以 AB 为直径的圆内,求实数 k 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ?=xlnx -ax,g ? x ?=-x2- 2, (1)对一切 x ? (0,+?),f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)证明:对一切 x ? (0,+?) ,都有 ln x+1>

1 1 ? 成立. e x ex

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。做答时, 请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明与选讲

90? , 如图, 在 ? ABC中,?ABC= 以 AB 为直径的圆 O 交 AC
于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: DE 是圆 O 的切线; BC=DM · AC+DM · AB. (2)求证: DE· (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 1 x=1+ t, ? 2 ? 直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 (1 +sin ? ) ? = 2. 3 ? ?y= 2 t
2 2

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,若点 P 为 (1, 0) ,求 (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ?=| x + 2 |-| 2x- 2|. (1)解不等式 f ? x ? ? - 2;

1 1 ? ? 2 | AP | | BP |2

(2)设 g ? x ?=x 都有 g ? x ? ? f ? x ? 成立,求 a 的取值范围. -a ,对任意 x ? [a,+?),

4

商丘市一高 2016 届高考考前押题考试试卷 文科数学答案 一.选择题 1.C 2.D.3.D.4.C.5.B 6.A.7.D.8.D 二.填空题(共 4 小题) 13.﹣ . 三.解答题 17.解:(1)由正弦定理得 sin A=sin Cs in B+sin Bcos C.因为 sin A=sin(B+C), 所以 sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Csin B+sin Bcos C,所以 cos Bsin C=sin Csin B. π 因为 C∈( 0,π ),所以 sin C≠0,所以 cos B=sin B,即 tan B=1.又 B∈(0,π ),所以 B= , 4 3 所以 A+C= π . 4 (2)由 b =a +c -2accos B,得 2=a +c - 2ac, 2 2 所以 2+ 2ac=a +c ≥2ac(当且仅当 a=c 时等号成立), 2 1 2 1+ 2 所以 ac≤ =2+ 2.又 S△ABC= acsin B= ac,所以△ABC 面积的最大值为 . 2 4 2 2- 2
2 2 2 2 2

9.A.10.C.11.C.12.A.

14.



15.﹣ .

16.



30 18 解: (1)由题可知, 第 2 组的频数为 0.350×100=35, 第 3 组的频率为 100 =0.300. 频率分布直方图如图所示. (2)因为第 3,4,5 组共有 60 名学生,且第 3,4,5 组中的人数之比为 3∶ 2∶1,所以利用分层抽样在第 3,4,5 组中抽取 6 名学生,抽取的人数分 别为 3,2,1.

19 解:(1)证明:在图(1)中, 1 π 因为 AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,∠BAD= ,所以 BE⊥AC, 2 2 即在图(2)中,BE⊥A1O,BE⊥OC ,从而 BE⊥平面 A1OC.又 CD∥BE, 所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE,且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1)知,A1O⊥BE,所以 A1O⊥平面 BCDE, 即 A1O 是四棱锥 A1 ? BCDE 的高.由图(1)知,A1O= 平行四边形 BCDE 的面积 S=BC·AB=a . 1 1 2 2 3 2 从而四棱锥 A1 ? BCDE 的体积 V= ×S×A1O= ×a × a= a . 3 3 2 6
2

2 2 AB= a, 2 2

5



2 3 a =36 2,得 a=6. 6

20 2 2 2 2 2 解:(1)根据题意,得 c= 3,a=2b.又 a =b +c ,∴4b =b +3,解得 a=2,b=1,∴椭圆 C 的 2 x 2 标准方程为 +y =1. 4 (2)由(1)及题意知,左顶点 A(-2,0),∴直线 l 的方程为 y=k(x+2), ?y=k(x+2), 联立?x2 2 +y =1, ? ?4 -4)>0. 16k 2-8k 4k 设点 B 的坐标为(x0,y0),则 x0-2=- 2,∴x0= 2,∴y0= 2. 1+4k 1+4k 1+4k → → 又椭圆的上顶点 P 在以 AB 为直径的圆内,∴∠APB 为钝角,即PA·PB<0. ∵P(0,1),A(-2,0),B( 2-8k 4k 2, 2), 1+4k 1+4k
2 2 2 2 2

?

消去 y, 得(1+4k )x +16k x+(16k -4)=0, 则 Δ =(16k ) -4(1+4k )(16k

2

2

2

2

2 2

2

2

→ → 2-8k -4k +4k-1 ∴PA=(-2,-1),PB=( ), 2, 2 1+4k 1+4k 3 1 → → 16k -4 4k -4k+1 2 ∴PA·PB= <0,即 20k -4k-3<0,解得 k∈(- , ). 2 + 2 1+4k 1+4k 10 2 21 解:(1)∵对一切 x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立, 2 ∴对一切 x∈(0,+∞),xln x-ax≥-x -2 恒成立, 2 即对一切 x∈(0,+∞),a≤ln x+x+ 恒成立. x 2 (x+2)(x-1) 令 F(x)=ln x+x+ ,则 F′(x)= , 2 x x ∴当 0<x<1 时,F′(x)<0;当 x>1 时,F′(x)>0. ∴F(x)在 x=1 处取得极小值, 也是最小值, 即 F(x)min=F(1)=3,∴a≤3. 1 2 (2)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x+1> x- 成立, e ex x 2 等价于对一切 x∈(0,+∞),xln x+x> x- 成立.
2 2

e

e

1 当 a=-1 时,f(x)=xln x+x,f′(x)=ln x+2,由 f′(x)=0 得 x= 2,

e

1 1 当 x∈(0, 2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x∈( 2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,

e

e

1 1 1 ∴f(x)在 x= 2处取得极小值,也是最小值,即 f(x)min=f( 2)=- 2.

e

e

e

x 2 1-x 1 设 G(x)= x- (x∈(0,+∞)),则 G′(x)= x ,易知 G(x)max=G(1)=- .

e

e

e

e

6

1 1 1 2 ∵- 2>- ,∴对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x+1> x- 成立. e e e ex 22 证明:(1)连接 OE.∵点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点,∴OD 1 AC,∴∠A=∠BOD,∠AEO=∠ 2

EOD.∵OA=OE,∴∠A=∠AEO,∴∠BOD= ∠EOD.在△EOD 和△BOD 中, ∵OE=OB,OD=OD,∴△EOD≌△BOD,∴∠OED=∠OBD=90°,即 OE⊥ ED.∵E 是圆 O 上一点,∴DE 是圆 O 的切线. (2) 延长 DO 交圆 O 于点 F.∵点 D 是 BC 的中点,∴BC=2DB. 2 ∵DE, DB 是圆 O 的切线, ∴DE=DB.∴DE·BC=DE·2DB=2DE .∵AC=2OD, AB=2OF, ∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=DM·(2OD+2OF)=2DM·DF.∵DE 是 2 圆 O 的切线, DF 是圆 O 的 割线, ∴DE =DM·DF, ∴DE· BC=DM·AC+DM·AB. 1 ? ?x=1+2t, 23 直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为(1+sin θ )ρ 3 ? ?y= 2 t
2

2

=2.

(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,若点 P 为(1,0),求 解:(1)消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x-y- 3=0, x 2 2 2 2 2 2 曲线 C 的极坐标方程 ρ +ρ sin θ =2 化成直角坐标方程为 x +2y =2,即 +y =1. 2 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x +2y =2,得 7t +4t-4=0. 设 A,B 两点在直线 l 的参数方程中对应的参数分别为 t1,t2, 4 4 则 t1+t2=- ,t1t2=- , 7 7 1 1 1 1 t1+t2 (t1+t2) -2t1t2 9 ∴ = . 2+ 2= 2+ 2= 2 2= 2 |AP| |BP| |t1| |t2| t1·t2 (t1t2) 2 24 解:(1)当 x≤-2 时,不等式化为 x-4≥-2,解得 x≥2,∴x∈?; 2 2 当-2<x<1 时,不等式化为 3x≥-2,解得 x≥- ,∴- ≤x<1; 3 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+4≥-2 ,解得 x≤6,∴1≤x≤6 , ? ? 2 ? 综上,不等式的解集为?x?- ≤x≤6?. 3 ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2

1 1 2+ 2. |AP| |BP|

7

x-4,x≤-2, ? ? 2)f(x)=?3x,-2<x<1, ? ?-x+4,x≥1, 函数 f(x)的图像如图所示. ∵g(x)=x-a 的图像为一条直线,-a 表示直线的纵截距,当直线过点(1,3)时,-a=2, ∴当-a≥2,即 a≤-2 时,g(x)≥f(x)成立; a 当-a<2,即 a>-2 时,令-x+4=x-a,得 x=2+ , 2 a ∴a≥2+ ,即 a≥4 时 g(x)≥f(x)成立. 2 综上,a 的取值范围为{a|a≤-2 或 a≥4}.

8


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