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浙江省杭州市2017届高三4月教学质量检测(二模)数学试题 Word版含答案


2016 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷
选择题部分(共 40 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1.设 U ? {?1,0,1, 2} ,集合 A ? {x | x2 ? 1, x ?U } ,则 CU A ? ( A. {0,1, 2} 2.设 z ? B. {?1,1, 2} C. {?1, 0, 2} ) D. {?1, 0,1}

i 1 ?( ( i 为虚数单位) ,则 1? i |z|
B. 2 C.



A.

2 2

1 2

D.2

3.设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是一条直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ;②若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ? .则( A.①②都是假命题 C.①是假命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 D.①②都是真命题 ) )

4.设 k1 , k2 分别是两条直线 l1 , l2 的斜率,则“ l1 / / l2 ”是“ k1 ? k2 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.设方程 x ? ln(ax) ( a ? 0 , e 为自然对数的底数) ,则( A.当 a ? 0 时,方程没有实数根 C. 当 a ? e 时,方程有三个实数根

B. 当 0 ? a ? e 时,方程有一个实数根 D. 当 a ? e 时,方程有两个实数根

6.若实数 a , b , c ,满足对任意实数 x , y 有 3x ? 4 y ? 5 ? ax ? by ? c ? 3x ? 4 y ? 5 ,则 ( ) B. a ? b ? c 的最小值为-4 D. a ? b ? c 的最大值为 6
2

A. a ? b ? c 的最小值为 2 C. a ? b ? c 的最大值为 4

7.设倾斜角为 ? 的直线 l 经过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,与抛物线 C 交于 A ,

B 两点,设点 A 在 x 轴上方,点 B 在 x 轴下方.若

| AF | ? m ,则 cos? 的值为( | BF |
D.



A.

m ?1 m ?1

B.

m m ?1

C.

m ?1 m

2 m m ?1

8.设 {an } 是等差数列, Sn 为其前 n 项和.若正整数 i , j , k , l 满足

i ? l ? j ? k (i ? j ? k ? l ) ,则(
A. ai al ? a j ak D. Si Sl ? S j Sk

) C. Si Sl ? S j Sk

B. ai al ? a j ak

2 9.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b (a, b ? R) 的两个零点为 x1 ,x2 ,若 | x1 | ? | x2 |? 2 ,则(



A. | a |? 1 D. | a ? 2b |? 2

B. | b |? 1

C. | a ? 2b |? 2

10.在等腰直角 ?ABC 中,AB ? AC ,BC ? 2 ,M 为 BC 中点,N 为 AC 中点,D 为 BC 边上一个动点,?ABD 沿 AD 翻折使 BD ? DC , 点 A 在面 BCD 上的投影为点 O , 当点 D 在 BC 上运动时,以下说法错误的是( )

A. 线段 NO 为定长 C. ?AMO ? ?ADB ? 180?

B. | CO |?[1, 2) D.点 O 的轨迹是圆弧

非选择题部分(共 110 分) 二、填空题: (本大题共 7 小题,第 11-14 题,每小题 6 分,15-17 每小题 4 分, 共 36 分)
y2 ? 1的渐近线方程为 11.双曲线 x ? 2
2

;离心率等于



12.若 (2 x ? 项是

1 n ) 的展开式中所有二项式系数和为 64,则 n ? x2


;展开式中的常数

13.已知随机变量 ? 的概率分布列为:

则 E? ?

, D? ?

.

14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 面积是

cm3 ,表

cm2 .

15.设 P 为 ?ABC 所在平面上一点,且满足 3PA ? 4PC ? mAB (m ? 0) .若 ?ABP 的面积为 8,则 ?ABC 的面积为 .

??? ?

??? ?

??? ?

16.设 a , b , c 分别为 ?ABC 三内角 A , B , C 的对边,面积 S ?

1 2 c .若 ab ? 2 ,则 2

a 2 ? b2 ? c 2 的最大值是

.

17.







? ? x cx ? ?2 f ( x) ? ? 2 2 ? ? x ? 1,| x |? 1

o



s



,

|

|f


?

(x
.

? ) f

?( x

? 2 l? ? l ) 对任意实数 ( 2 ?x 0f都成立,则 | ) x? l |的最小值 f (

x)

三、解答题 : (本大题共 5 小题,共 74 分)
18. 设函数 f ( x) ? 2cos x(cos? 3sin x) ( x ? R) . (1)求函数 y ? f ( x) 的周期和单调递增区间; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值.

19.如图, 已知 ABCD 是矩形,M ,N 分别为边 AD ,BC 的中点,MN 与 AC 交于点 O ,

沿 MN 将矩形 MNCD 折起,设 AB ? 2 , BC ? 4 ,二面角 B ? MN ? C 的大小为 ? .

(1)当 ? ? 90? 时,求 cos ?AOC 的值; (2)点 ? ? 60? 时,点 P 是线段 MD 上一点,直线 AP 与平面 AOC 所成角为 ? .若

sin ? ?

14 ,求线段 MP 的长. 7

20. 设函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)当实数 x ? [0,1] ,证明: f ( x) ? 2 ?

1 2 x . 4

21. 如图,设点 A , F 1 , F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点和左,右焦点,过点 A 作斜 4 3

率为 k 的直线交椭圆于另一点 B ,连接 BF2 并延长交椭圆于点 C .

(1)求点 B 的坐标(用 k 表示) ; (2)若 FC ? AB ,求 k 的值. 1 21. 已知数列 {an } 的各项均为非负数,其前 n 项和为 Sn ,且对任意的 n ? N ,都有
*

an ?1 ?

an ? an ? 2 . 2

(1)若 a1 ? 1 , a505 ? 2017 ,求 a6 的最大值; (2)若对任意 n ? N ,都有 Sn ? 1 ,求证: 0 ? an ? an +1 ?
*

2 . n(n ? 1)

2016 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1-5:BBBCD 6-10:AAABC

二、填空题(本大题共 7 小题,第 11-14 题,每小题 6 分,15-17 每小题 4 分, 共 36 分)
11. y ? ? 2x ; 3 15.14 16.4 12.6;240 13.1, 17. 2 3

1 2

14.40

三、解答题
18.解: (1)因为 f ( x) ? 2cos x(cos x ? 3sin x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 1.

? 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6



? 函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为: (k? ?
(2)? x ? [0,

?

?
3

] ,? 2 x ?

?

? 1 ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 6 2

? 7? ?[ , ] , 6 6 6

, k? ? ) ( k ? Z ) ; 3 6

?

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 的最大值是 3. 6
19.解:如图,设 E 为 AB 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.

?

(1)当 ? ? 90? 时, A(2, ?1, 0) , C (0,1, 2) ,

??? ? ??? ? ?OA ? (2, ?1,0) , OC ? (0,1, 2) ,
??? ? ??? ? OA ? OC 1 ? ??? ? ?? . ? cos ?AOC ? ??? 5 | OA | ? | OC |
(2)由 ? ? 60? 得 C(1,1, 3) , D(1, ?1, 3) , M (0, ?1,0) ,

???? ? ? MD ? (1,0, 3) ,
设 MP ? ? MD(0 ? ? ? 1) ,则 OP ? OM ? MP ? (?, ?1, 3?) ,

????

???? ?

??? ?

???? ? ????

??? ? ??? ? ??? ? ? AP ? OP ? OA ? (? ? 2,0, 3?) ,
设平面 AOC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,? n ? OA ? 0 , n ? OC ? 0 ,

?

? ??? ?

? ??? ?

? ? ? 2x ? y ? 0 ?? ,取 n ? (1, 2, ? 3) , ? ? x ? y ? 3z ? 0 ??? ? ? AP ? n 14 2 ? ? |? 由题意,得 | ??? ,即 3? ? 10? ? 3 ? 0 , 7 | AP | ? | n |
?? ? 1 或 ? ? 3 (舍去) , 3

1 2 ? 在线段 MD 上存在点 P ,且 MP ? MD ? . 3 3
20.解: (1)函数 f ( x ) 的定义域是 [?1,1] ,

? f '( x) ?

1? x ? 1? x 2 1 ? x2

,当 f '( x) ? 0 时,解得 x ? 0 ,

? f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (?1, 0) 上单调递减,

? f ( x)min ? f (1) ? f (?1) ? 2 , f ( x)max ? f (0) ? 2 ,
? 函数 f ( x) 的值域为 [ 2, 2] .
(2)设 h( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ?

1 2 x ? 2 , x ? [0,1] , h(0) ? 0 , 4

1 1 ? ? 1 1 1 ? h '( x) ? ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) 2 ? x , 2 2 2

?

1 2 x[1 ? ], 2 1 ? x2 ( 1 ? x ? 1 ? x )
1 ? x2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ? 2 ,

因为 1 ? x 2 ( 1 ? x ? 1 ? x ) ?

? h '( x) ? 0 . ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减,又 h(0) ? 0 ,

? f ( x) ? 2 ?

1 2 x . 4

21.解: (1)设点 B( xB , yB ) ,直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立

x2 y 2 ? ? 1 得, 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 ,
??2 xB ? 16k 2 ? 12 ?8k 2 ? 6 x ? ,即 , B 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
12k ?8k 2 ? 6 12k B ( , ). ,即 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? yB ? k ( xB ? 2) ?

4k 1 , k BF1 ? ? , 2 1 ? 4k k 4k 1 ( x ? 1) , y ? ? ( x ? 1) , 所以直线 BF2 , CF1 方程分别为 y ? 2 1 ? 4k k
(2)易知 F2 (1,0) , k BF2 ?

1 ? y ? ? ( x ? 1) ? x2 y 2 ? k ? ? 1, 由? ,解得 C(8k 2 ?1, ?8k ) ,代入 4 k 4 3 ?y ? ( x ? 1) ? 1 ? 4k 2 ?
4 2 2 2 得 192k ? 208k ? 9 ? 0 ,即 (24k ?1)(8k ? 9) ? 0 ,得 k ?
2

1 , 24

所以 k ? ?

6 . 12

22.解: (1)由题意知 an?1 ? an ? an?2 ? an?1 ,设 di ? ai ?1 ? ai (i ? 1, 2,?,504) , 则 d1 ? d2 ? d3 ? ? ? d504 ,且 d1 ? d2 ? d3 ? ? ? d504 ? 2016 ,

?

d1 ? d 2 ? ? ? d5 d6 ? d 7 ? ? ? d504 2016 ? (d1 ? d 2 ? ? ? d5 ) ? ? , 5 409 409

所以 d1 ? d2 ? ? ? d5 ? 20 ,

? a6 ? a1 ? (d1 ? d2 ? ? ? d5 ) ? 21 .
* (2)若存在 k ? N ,使得 ak ? ak ?1 ,则由 an ?1 ?

an ? an ? 2 , 2

得 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 , 因此,从 an 项开始,数列 {an } 严格递增, 故 a1 ? a2 ? ? ? an ? ak ? ak ?1 ? ? ? an ? (n ? k ? 1)ak ,

对于固定的 k ,当 n 足够大时,必有 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,与题设矛盾,所以 {an } 不可能递 增,即只能 an ? an?1 ? 0 . 令 bk ? ak ? ak ?1 , (k ? N * ) , 由 ak ? ak ?1 ? ak ?1 ? ak ?2 ,得 bk ? bk ?1 , bk ? 0 , 故 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? (b1 ? a2 ) ? a2 ? ? ? an ? b1 ? 2(b2 ? a3 ) ? a3 ? ? ? an ,

? ? ? b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ? nan ? (1 ? 2 ? ? ? n)bn ?
所以 bn ?

n(n ? 1) bn , 2

2 , n(n ? 1)
*

综上,对一切 n ? N ,都有 0 ? an ? an ?1 ?

2 . n(n ? 1)



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