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高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义


高一求求函数值域的 7 类题型和 15 种方法讲义
题型一:一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 的值域(最值) 1、一次函数: y ? ax ? b ? a ? 0? 当其定义域为 R ,其值域为 R ;

即可。若区间的形式为 ? ??, n? 或 ? m, ??? 等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数 f ( x

) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的值域(最值)

2、一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 在区间 ?m, n? 上的最值,只需分别求出 f ? m? , f ? n ? ,并比较它们的大小

? 4ac ? b 2 y ? ? ? 4a 1、二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 当其 定义域为 R 时,其值域为 ? 2 ? y ? 4ac ? b ? 4a ?
2、二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在区间 ?m, n? 上的值域(最值) 首先判定其对称轴 x ? ? (1) 若?

? a ? 0? ? a ? 0?

b 与区间 ?m, n? 的位置关系 2a

b b ? ? m, n ? ,则当 a ? 0 时,f ( ? ) 是函数的最小值, 最大值为 f (m), f (n) 中较大者; 当a ? 0 2a 2a b ) 是函数的最大值,最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 时, f ( ? 2a b ? ? m, n ? ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大(小)值。 2a

(2)若 ?

特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是 ?a, ??? , ? ??, b? , ? a, ??? , ? ??, b? 等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
2 例 1:已知 f ? x ? 2 x 的定义域为 ? ?3, ?? ? ,则 f ? x ? 的定义域为

?

?

? ??,1?




例 2:已知 f ? x ? 1? ? x ? 1 ,且 x ? ? ?3, 4? ,则 f ? x ? 的值域为
2

7 ?1, 1 ?

题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数 y ? 2、形如: y ?

k (k ? 0) 的定义域为 ? x x ? 0? ,值域为 ? y y ? 0? x

cx ? d 的值域: ax ? b

(1)若定义域为 ? x ? R x ? ? ? 时,其值域为 ? y ? R y ?

? ?

b? a?

? ?

c? ? a?

(2)若 x ? ?m, n? 时,我们把原函数变形为 x ? 出函数的值域。

d ? by ,然后利用 x ? ?m, n? (即 x 的有界性),便可求 ay ? c

1

2x ? 3 1? ? 例 3:函数 y ? 的值域为 ? ??, ? ? ? 3 ?? , ? x 3?2 ? 1 3? ?
例 4:当 x ? ? ?3, ?1? 时,函数 y ? 练习:已知 f ? x ? 1? ?

;若 x ? ?1, 2? 时,其值域为 ? ? , ? 。 ? 5 11? 。

? 1 1?

1 ? 3x 的值域 2x ? 1

3? ? ?4, ? ? ? 2? ?

x?3 ,且 x ? ? ?3, 2? ,则 f ? x ? 的值域为 2? x

6? ? ? ??, ? ? 5? ?



题型四:二次分式函数 y ?

dx 2 ? ex ? c 的值域 ax 2 ? bx ? c

一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是 否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的 x 是否 存在;③分子、分母必须是既约分式。

x2 ? x ? 1 例 6: y ? 2 ; x ? x?6
例 7: y ?
2

?1, ?? ? ? ? ? ??,
?

2? ? 7?

x ? x?2 ; ? y ? R y ? 1? x2 ? 1 3x ? 3 3? 例 8: y ? 2 ; ? , ? x ?4 ? 4 4? ? x ?1 x ? ? ?1, ?? ? 的值域 例 9:求函数 y ? 2 x ? 2x ? 1 解:由原函数变形、整理可得: yx2 ? ? 2 y ? 1? x ? y ? 1 ? 0
求原函数在区间 ? ?1, ?? ? 上的值域,即求使上述方程在 ? ?1, ?? ? 有实数解时系数 y 的取值范围 当 y ? 0 时,解得: x ? 1? ? ?1, ??? 也就是说, y ? 0 是原函数值域中的一个值 …① 当 y ? 0 时,上述方程要在区间 ? ?1, ?? ? 上有解,

?? ? 0 ? 即要满足 f ? ?1? ? 0 或 ? 2 y ? 1 ?? 2 y ? ?1 ?
综合①②得:原函数的值域为: ?0, ? 8 题型五:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的值域 题,然后求其值域。

解得: 0 ? y ?

1 8

……②

? 1? ? ?
这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问

例 10: 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 在 x ? ? ?8,1? 时的值域 题型六:分段函数的值域:

??4, 4?

一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图 像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例 11: y ? x ?1 ? x ? 2 练习: y ? ? x ? 4 x ? 1
2

?3, ?? ? ? ??,5?

题型七:复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域 逐层向外递推。
2

例 13: y ? 练习: y ?

x ?1 ? ?1 ? x ? 1? 2? x

?0, 2?
? 5? 0, ? ? 2? ?

? x 2 ? 3x ? 4

函数值域求解的十五种求法
(1)直接法(俗名分析观察法) : 通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取 值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。 例 1:已知函数 y ? ?x ? 1? ? 1 , x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。
2

??1,0,3?
[1, ??)

练习:求函数 y ? 例 3:求函数 y ? 练习:求函数 y ?

x ? 1的值域。

x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。 x 2 ? 6 x ? 10 的值域。

? 2, ?? ?

?

?1, ???

(2)配方法: 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不
2 能改变定义域。对于形如 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 或 F ? x ? ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? a ? 0 ? 类的函数的值域
2

问题,均可使用配方法。 例 1.求函数 y ?

? 2 x ? x 2 ? 3 的值域。
? ( x ? 1) 2 ? 4 ,于是:

2 分析与解答:因为 ? 2 x ? x ? 3 ? 0 ,即 ? 3 ? x ? 1 , y ?

0 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 , 0 ? y ? 2 。
例 2.求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 4 1 在区间 x ? [ ,4] 的值域。 4 x
2

? 4 2 ? x 2 ? 2x ? 4 x? ? 分析与解答:由 y ? 配方得: y ? x ? ? 2 ? ? ? ? ?6, x x x? ?
1 4 1 ? x ? 2 时,函数 y ? x ? ? 2 是单调减函数,所以 6 ? y ? 18 ; 4 x 4 4 当 2 ? x ? 4 时,函数 y ? x ? ? 2 是单调增函数,所以 6 ? y ? 7 。 x 1 1 所以函数在区间 x ? [ ,4] 的值域是 6 ? y ? 18 。 4 4
当 (3)最值法: 对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。 例 1 求函数 y=3-2x-x2 当定义域为[-3,1]的值域。
3

解:由 3-2x-x2≥0,解出。 函数 y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由 3-2x-x2 的最大值为 4,最小 值为 0。 ∴函数的值域是[0,2] 练习:求函数 y ? 2x , x ?? ?2, 2? 的值域。

?1 ? ,4 ? ?4 ? ?

(4)反函数法(逆求或反求法) : 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。即通 过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围。对于形如 y ?
cx ? d (a ? 0) ax ? b

的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。 例 1:求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

解:由 y ?

1? y 1? y 1 ? 2x x x ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 解得 2 ? ,∵ 2 ? 0 ,∴ x 1? y 1? y 1? 2
1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

∴函数 y ?

(5)分离常数法: 分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知 分式函数 y ?

ax ? b ? a? (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为 ? y y ? ? ; cx ? d c? ?

ad b? a c (ad ? bc) ,用复合函 如果是条件定义域(对自变量有附加条件) ,采用部分分式法将原函数化为 y ? ? c cx ? d

数法来求值域。

1? x 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 2 ?? ? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 1? x 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? ,∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2 2x ? 5 2 2x ? 5
例 1:求函数 y ? (6)换元法(代数/三角) : 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数 化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时,用代数换元; 当根式里是二次式时,用三角换元。 对形如 y ?

1 的函数,令 f ? x ? ? t ;形如 y ? ax ? b ? cx ? d (a, b, c, d均为常数, ac ? 0) 的函数, f ? x?

令 cx ? d ? t ;
4

例 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ? ∵当 t ?

1? t2 1 2 5 2 ,∴ y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ? 2 4 2

1 3 5 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。∴函数 y ? 2x ? 1? 2x 的值域为 (??, ] 。 2 8 4 4

练习:求函数 y ? ( x 2 ? 5x ? 12)(x 2 ? 5x ? 4) ? 21的值域。 ? y | y ? 8 (7)判别式法:

? ?

1? ? 16?

把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从而求得原函数的值 域。对形如 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,通常转化成关于 x 的二次方程,由于 a2 x 2 ? b2 x ? c2

方程有实根,即 ? ? 0 从而求得 y 的范围,即值域。值得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。 注意:主要适用于定义在 R 上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。

x2 ? x ? 3 例 1:求函数 y ? 2 的值域。 x ? x ?1
解:由 y ?

x2 ? x ? 3 变形得 ( y ?1) x2 ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 ,当 y ? 1 时,此方程无解; 2 x ? x ?1
11 11 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? 3 3

2 当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴, ? ? ( y ?1) ? 4( y ?1)( y ? 3) ? 0 解得 1 ? y ?

∴函数 y ?

x2 ? x ? 3 11 的值域为 { y |1 ? y ? } 2 3 x ? x ?1

(8)函数单调性法: 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,可考虑利用函数的单调性求出函数的值域。 例 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。∴ y ? ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 例 2.求函数 y ? x ?

1 2 1 2

1 1 1 ? 1? 2? ? , 2 2 2

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域。 x

分析与解答:任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 ? x 2 ,则

5

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 1? ,因为 0 ? x
x1 x2

1

? x2 ,所以: x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,

当 1 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ?;而当 x ? 1 时, y min ? 2 于是:函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,???上的值域为 [2,??) 。 x

(10)函数有界性法: 利用某些函数有界性求得原函数的值域。 例 1:求函数 y ?

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1
y ?1 ( x ? R , y ? 1) , y ?1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) ,∵ y ? 1 ,∴ x 2 ? ?

∴?

x2 ?1 y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 ,∴函数 y ? 2 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x ?1 y ?1 2x ?1 2 y? ?1 1

y ? 1的值域 y0 ? 练习.求函数 ? 22 ? ,? x ? 0 ? y ? 1或y ? ?1
(11)数型结合法: 如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作 出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由

y1 ? y2 可联想到两点 ? x1 , y1 ? 与 ? x2 , y2 ? 连线的斜率 x2 ? x1

或距离。 例 1:求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。
y

?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? 解法 1: 将函数化为分段函数形式: y ? ?3( ?1 ? x ? 2) , ?2 x ? 1( x ? 2) ?
由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3}。

3

画出它的图象,
2 x

-1 O

解法 2(几何法或图象法) :∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的距离之和,∴易见 y 的最小值是 3,∴函数的值域是[3,+ ? ]。如图
x -1 O 1 2
-1 Ox 1 2
-1 O 1 2x



(12)复合函数法:

6

对函数 y ? f (u), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义域, 从而求出 y ? f (u ) 的值域的 方法。 例 1、求函数 y ?

3x 的值域 3x ? 1
x

(复合函数法)设 3 ? 1 ? t

,则 y ?

3x ? 1 ? 1 1 1 ? 1? x ? 1 ? ?t ? 1? x t 3 ?1 3 ?1

1 ? t ? 1 ?0 ? ? 1 t

?0 ? y ? 1

?原函数的值域为?01?
? 49 ? , ?? ? ? ?8 ?

练习:求函数 y ? log 1 (?2 x2 ? 5x ? 3) 的值域。
2

(13)非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例 1、(1)求函数 y ? 16 ? x 2 的值域。 (2)求函数 y ?
2

x2 ? 3 的值域。 x2 ? 1

解析:(1)? 0 ? 16 ? x ? 16 , ?0 ? 16 ? x 2 ? 4 故 所求函数的值域为 y ? ?0, 4? 。

x ? (2)? x ? 1 ? 0 , 即 x 2 (1 ? y) ? y ? 3 , 当 y ? 1 时, ? 原函数可化为 y( x 2 ? 1) ? x 2 ? 3 ,
2

2

y?3 , 1? y

? x2 ? 0 , ?

y?3 1 ) ? 0, 解得 ? 3 ? y ? 1 又 y ? 1 , 所以 ? 3 ? y ? 1 , 故 所求函数的值域为 y ? [?3, 。 1? y

练习:求下列函数的值域: (1) y=

6 ; 2 x ?2

(2) y=

2 x 2 ? 4 x ? 10 ; x2 ? 2 x ? 2

( 3) y=10- 16 ? x2 ; (4) y= ?3( ) ? 4( x ? ?1) ;
x

1 2

(14)“平方开方法” .本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道 典型的例题. 1.适合函数特征 设 f ( x) ( x ? D )是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征: (1) f ( x) 的值总是非负,即对于任意的 x ? D , f ( x) ? 0 恒成立; (2) f ( x) 具有两个函数加和的形式,即 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ( x ? D ) ; (3) f ( x) 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即 , f 2 ( x) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]2 ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为常数) 其中,新函数 g ( x) ( x ? D )的值域比较容易求得. 2.运算步骤
7

若函数 f ( x)( x ? D ) 具备了上述的三个特征, 则可以将 f ( x) 先平方、 再开方, 从而得到 f ( x) ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为 常数 ) . 然 后, 利用 g ( x) 的 值 域便 可轻 易地 求出 f ( x) 的 值 域 . 例 如 g ( x)? [u , v ], 则显然

f ( x) ?[ c ? u , c ? v ] .
3.应用四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题 时的技巧. 例 1 求函数 f ( x) ? b ? x ? x ? a ( x ? [a, b] , a ? b )的值域. 解:首先,当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 0 ; 其次, f ( x) 是函数 f1 ( x) ? b ? x 与 f2 ( x) ? x ? a 的和; 最后, f 2 ( x) ? b ? a ? 2 (b ? x)( x ? a) ? b ? a ? 2 ?x2 ? (a ? b) x ? ab 可 见 , 函 数 f ( x) 满 足 了 采 用 “ 平 方 开 方 法 ” 的 三 个 特 征 . 于 是 , 对 f ( x) 平 方 、 开 方 得
f ( x) ? b ? a ? 2 ? x 2 ? (a ? b) x ? ab ( x ? [a, b] ).这里, g ( x) ? 2 ?x2 ? (a ? b) x ? ab ( x ? [a, b] ).对 g ( x) 根

号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得 g ( x) 的值域为 [0, b ? a] .于是, f ( x) 的值域为 [ b ? a , 2(b ? a)] . 练习: 求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域
y 2 ? ( x ? 3) ? (5 ? x) ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15
2 2

y ?? ( x2 ? 3) (5? ?0 x )? ? 2 ? x ? 8 x ? 15 2? ?) 由 x? ?3 3, 5? ? ,1 y2 ? (x ? (5, ?得 x) ? x 2 ? ?8 xx ?15 8 x ?? 15 由 x2 ? ?3,5? , 得 ? x 2 ? 8 x ? 15 ? ?0,1? 2 ? ? ? y ? 2 , 4 由 x ? ?3,5? , 得 ? x2 ? 8 x ? 15 ? ?0,1? y 2 ? ( x ? 3) ? (5 ? x) ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15 ? y ? ?2,4? 2 原函数值域为 2 ,2 ? 2 ? ? ? y ? 2 , 4 由 x ? ?3,5? , 得 ? x ? 8 x ? 15 ? ?0,1? ? 原函数值域为? 2 ,2? ? 原函数值域为 2 ,2 ?15 y 2)一一映射法 ? ?2,4? (

解: (平方法) 函数定义域为:x ? ?3,5?

? 原函数值域为 2, 2b ax ? 原理:因为
y? cx ? d
可以求另一个变量范围。

?

? (c ? 0) 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就

?

?

?

?

例 1. 求函数 y ? 1 ? 3x 的值域。

2x ? 1

1 1? 解:∵定义域为 ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? ?
故x ?

由 y ? 1 ? 3x 得 x ?

2x ? 1

1? y 2y ? 3

1? y 1? y 1 1 3? ? 3 ? ?? 或x ? ? ? 解得 y ? ? 3 或y ? ? 3 故函数的值域为 ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,?? ? 2y ? 3 2 2y ? 3 2 2? ? 2 2 2 ? ?

8


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