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2014-2015学年广东省揭阳一中高一(下)第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年广东省揭阳一中高一(下)第二次段考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在四个备选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知平面向量 =(1,﹣3) , =(4,﹣2) ,若 λ ﹣ 与 垂直,则实数 λ=( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 2.平面向量 与 之间的夹角为 A. B. , =(2,0

) ,| |=1,则| |=( ) )

C. 4 D. 12 cosα,则 α 的取值范围是( ,π) C. ( , ) ) D. ( , )

3.若 0≤α≤2π,sinα> A. ( ,

) B. (

4.程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A. k≤10 B. k≥10 C. k≤11 D. k≥11 5.设 0≤θ<2π,已知两个向量



,则向量 值是( A. ) B.

长度的最大

C.
2

D. ) ,+∞)

6.若函数 f(x)=loga(x ﹣ax+ )有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0,1)∪(1,
2 2

) C. (1,

) D. [

7.从圆 x ﹣2x+y ﹣2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 0

8.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比 为( ) A. B. C. D.

9. 已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时, f (x) =lgx. 设 ,则( )



A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b

10.给定两个长度为 1 的平面向量 心的圆弧 上变动.若 =x +y



,它们的夹角为 120°如图所示,点 C 在以 O 为圆 )

,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是(

A.

B. 2 C.

D. 3

一、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. 已知 α、 β 为锐角, 且 = (sinα, cosβ) ,= (cosα, sinβ) , 当 时, α+β= .

12.在边长为

的正三角形 ABC 中,设 .

= ,

= ,

= ,则

? + ? + ? =

13.求值:

sin10°tan70°﹣2cos40°=



14.关于函数 f(x)=cos(2x﹣

)+cos(2x+

) ,有下列命题:

①y=f(x)的最大值为 ; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)在区间( ④将函数 y= , )上单调递减; 个单位后,将与已知函数的图象重合.

cos2x 的图象向左平移

其中正确命题的序号是

. (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分) (2015 春?揭阳校级月考) 已知函数 f (x) =2asinx?cosx+2cos x+1, (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)在 的值域.
2



16. (12 分) (2014 春?东海县校级期中)已知如图,函数 y=2sin( 的图象与 y 轴的交点为(0,1) . (1)求 φ 的值;

x+φ) (0≤φ≤

,x∈R)

(2)设点 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点,求向量 弦值.

与向量

夹角的余

17. (14 分) (2015 春?揭阳校级月考)函数 . (1)求 f(x)的周期; (2)f(x)在[0,π)上的减区间; (3)若 f(α)= , ,求 的值.

18. (14 分) (2013?临潼区校级模拟) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PA⊥平面 ABC, AC⊥BC, D 为侧棱 PC 上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明:AD⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 D﹣ABC 的体积.

19. (14 分) (2013 秋?大兴区期末)已知半径为 2,圆心在直线 y=﹣x+2 上的圆 C. (Ⅰ)当圆 C 经过点 A(2,2)且与 y 轴相切时,求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 E(1,1) ,F(1,﹣3) ,若圆 C 上存在点 Q,使|QF| ﹣|QE| =32,求圆心的横 坐标 a 的取值范围. 20. (14 分) (2013 秋?丽水期末)已知函数 f(x)=﹣x +2|x﹣a|. (Ⅰ)若函数 y=f(x)为偶函数,求 a 的值; (Ⅱ)若 ,求函数 y=f(x)的单调递增区间;
2 2 2

(Ⅲ)当 a>0 时,若对任意的 x∈[0,+∞) ,不等式 f(x﹣1)≥2f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年广东省揭阳一中高一(下)第二次段考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在四个备选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知平面向量 =(1,﹣3) , =(4,﹣2) ,若 λ ﹣ 与 垂直,则实数 λ=( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解:∵ ∴ =λ(1,﹣3)﹣(4,﹣2)=(λ﹣4,﹣3λ+2) , =λ﹣4﹣3(﹣3λ+2)=0,解得 λ=1. 与 垂直, )

故选 B. 点评: 熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键.

2.平面向量 与 之间的夹角为 A. B.

, =(2,0) ,| |=1,则|

|=(



C. 4 D. 12

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 运算求得结果. =2, =1, 再由 = = ,

解答: 解:由题意可得 ∴ = =

=2,

=

?| |cos =

=1. =2 ,

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,向量的模的定义,求向量的模的方法,属 于中档题. 3.若 0≤α≤2π,sinα> A. ( , cosα,则 α 的取值范围是( ,π) C. ( , ) ) D. ( , )

) B. (

考点: 正切函数的单调性;三角函数线. 专题: 计算题. 分析: 通过对 sinα> cosα 等价变形,利用辅助角公式化为正弦,利用正弦函数的性质 即可得到答案. 解答: 解:∵0≤α≤2π,sinα> cosα, ∴sinα﹣ ∵0≤α≤2π, ∴﹣ ≤α﹣ ≤ , cosα=2sin(α﹣ )>0,

∵2sin(α﹣ ∴0<α﹣ ∴ <α<

)>0, <π, .

故选 C. 点评: 本题考查辅助角公式的应用,考查正弦函数的性质,将 sinα> 难点,也是易错点,属于中档题. 4.程序框图如下:

cosα 等价变形是

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A. k≤10 B. k≥10 C. k≤11 D. k≥11 考点: 循环结构. 专题: 规律型.



分析: 经过第一次循环得到的结果,判断是否是输出的结果,不是说明 k 的值满足判断框 的条件;经过第二次循环得到的结果,是需要输出的结果,说明 k 的值不满足判断框中的条 件.得到判断框中的条件. 解答: 解:当 k=12,S=1,应该满足判断框的条件; 经过第一次循环得到 S=1×12=12,k=12﹣1=11 应该满足判断框的条件; 经过第二次循环得到 S=12×11=132,k=11﹣1=10,应该输出 S,此时应该不满足判断框的条 件,即 k=10 不满足判断框的条件. 所以判断框中的条件是 k≥11 故选 D 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,从中找到 规律. 5.设 0≤θ<2π,已知两个向量 ,则向量 值是( A. ) B. 长度的最大

C.

D.

考点: 向量的模;向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 根据向量的减法法则求出 化简向量 的坐标,利用向量模的坐标公式和同角平方关系, 模的最大值.

的模代数式,再根据已知角的范围和余弦函数性质,求出 =

解答: 解:由向量的减法知, ∴| = |=

=(2+sinθ﹣cosθ,2﹣cosθ﹣sinθ) ,

=



∵0≤θ<2π,∴﹣1≤cosθ≤1, 则当 cosθ=﹣1 时, 的长度有最大值是 .

故选 C. 点评: 本题考查了向量减法和向量模的坐标运算,利用了同角的平方关系和余弦函数的性 质,考查了运用知识和解决问题的能力.
2

6.若函数 f(x)=loga(x ﹣ax+ )有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0,1)∪(1, ) C. (1, ) D. [

) ,+∞)

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 u=x ﹣ax+ = 且 u 的最小值 ﹣
2 2

+ ﹣

,则 u 有最小值,欲满足题意,须 logau 递增,

>0,由此可求 a 的范围. + ﹣ ,则 u 有最小值 ﹣ ,

解答: 解:令 u=x ﹣ax+ =

欲使函数 f(x)=loga(x2﹣ax+ )有最小值,则须有

,解得 1<a<



即 a 的取值范围为(1, ) . 故选 C. 点评: 本题考查复合函数的单调性,若复合函数可分解为两个基本初等函数,依据“同增异 减”即可判断复合函数的单调性. 7.从圆 x ﹣2x+y ﹣2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 0
2 2

考点: 圆的切线方程. 分析: 先求圆心到 P 的距离,再求两切线夹角一半的三角函数值,然后求出结果. 解答: 解:圆 x ﹣2x+y ﹣2y+1=0 的圆心为 M(1,1) ,半径为 1,从外一点 P(3,2)向 这个圆作两条切线, 则点 P 到圆心 M 的距离等于 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于 ,
2 2

所以两切线夹角的正切值为

,该角的余弦值等于 ,

故选 B. 点评: 本题考查圆的切线方程,两点间的距离公式,是基础题. 8.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比 为( ) A. B. C. D.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 由题意设出球的半径,圆 M 的半径,二者与 OM 构成直角三角形,求出圆 M 的半 径,然后可求球的表面积,截面面积,再求二者之比.

解答: 解:设球的半径为 R,圆 M 的半径 r, 由图可知,R = R +r , ∴ R =r ,∴S 球=4πR , 截面圆 M 的面积为:πr = πR ,
2 2 2 2 2 2 2 2

则所得截面的面积与球的表面积的比为:



故选 A. 点评: 本题是基础题,考查球的体积、表面积的计算,仔细体会,理解并能够应用小圆的 半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系,是本题的突破口.

9. 已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时, f (x) =lgx. 设 ,则( )



A. a<b<c B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b 考点: 奇函数. 专题: 压轴题. 分析: 首先利用奇函数的性质与函数的周期性把 f(x)的自变量转化到区间(0,1)内, 然后由对数函数 f(x)=lgx 的单调性解决问题. 解答: 解:已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx. 则 =﹣lg >0, =﹣lg >0, =lg <0, 又 lg >lg ∴0<﹣lg <﹣lg ∴c<a<b, 故选 D. 点评: 本题主要考查奇函数性质与函数的周期性,同时考查对数函数的单调性.

10.给定两个长度为 1 的平面向量 心的圆弧 上变动.若 =x +y



,它们的夹角为 120°如图所示,点 C 在以 O 为圆 )

,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是(

A.

B. 2 C.

D. 3

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析:首先以 O 为原点, 向量 的方向为 x 轴正方向, 建立平面直角坐标系, 并设∠COA=θ, 便可得到

从而可写出 A,B,C 三点的坐标,从而根据条件

, 这样便可得到

, 根据两角

和的正弦公式即可得到 x+y=2sin(θ+30°) ,根据 θ 的范围即可得出 x+y 的最大值. 解答: 解:如图,以 O 为坐标原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,则: A(1,0) ,B( ∴ ; ) ,设∠AOC=θ,0°≤θ≤120°,∴C(cosθ,sinθ) ; =









∴ ; ∵0°≤θ≤120°; ∴30°≤θ+30°≤150°; ∴θ+30°=90°,即 θ=60°时 x+y 取最大值 2. 故选 B. 点评: 考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法,向量坐标的数乘和加 法运算,以及两角和的正弦公式,正弦函数的最大值. 一、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.已知 α、β 为锐角,且 =(sinα,cosβ) , =(cosα,sinβ) ,当 时,α+β= .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: 根据向量平行的坐标公式结合三角函数的两角和差的余弦公式进行求解即可. 解答: 解:∵ ,

∴sinαsinβ﹣cosαcosβ=0, 即 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=0, ∵α、β 为锐角, ∴0<α+β<π, ∴α+β= ; ;

故答案为:

点评: 本题主要考查向量平行的坐标公式的应用,利用两角和差的余弦公式进行化简是解 决本题的关键.

12. 在边长为

的正三角形 ABC 中, 设

= , = , = , 则 ? + ? + ? = ﹣3 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 错误:a?b+b?c+c?a,应该是 由题意可得 与 的夹角等于 = ,且| |=| |= ,由此求得 =﹣1,同理求得

=﹣1,从而得到要求式子的值. ,且| |=| |= ,故有

解答: 解:由题意可得 与 的夹角等于 = 同理求得 故 故答案为﹣3. = =﹣1. =﹣1, =﹣3,

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,注意两个向量的夹角为 属于中档题.

,而不是



13.求值:

sin10°tan70°﹣2cos40°= 2 .

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的恒等变换化简所给的式子,可得结果. 解答: 解: ﹣2cos40° = + ﹣ sin10°tan70°﹣2cos40°= +

2cos40°= =
2

﹣2cos40° ﹣2cos40°=4cos 20°﹣2cos40°=4× ﹣2cos40°=2,

故答案为:2. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,属于中档题.

14.关于函数 f(x)=cos(2x﹣

)+cos(2x+

) ,有下列命题:

①y=f(x)的最大值为 ; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)在区间( ④将函数 y= , )上单调递减; 个单位后,将与已知函数的图象重合.

cos2x 的图象向左平移

其中正确命题的序号是 ①②③ . (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和差的正余弦公式可把 f(x)化为 数的性质即可判断出答案. 解答:解: 函数( f x) =cos (2x﹣ = . ∴函数 f(x)的最大值为 周期 T= 当 ,因此①正确; = ) +cos (2x+ ) = = ,进而利用正弦函

,因此②正确; 时, ,因此 y=f(x)在区间( ,

)上单调递减,因此③正确;

将函数 y= =

cos2x 的图象向左平移 =

个单位后,得到 y= =

,因此④不正确. 综上可知:①②③. 故答案为①②③. 点评: 熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分) (2015 春?揭阳校级月考) 已知函数 f (x) =2asinx?cosx+2cos x+1, (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)在 的值域.
2



考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 利用已知及特殊角的三角函数值即可解得 a 的值. )+2,由

(2)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ ,可求 2x+ 解答: (本小题满分 12 分) , 可得:asin 解得: +2+cos ; .…..(3 分) (2)由(1)得: (5 分) = …(7 分) ,…..(8 分) 令 ,则 y=sinz 在[﹣ , ]上为增函数,在[ , =4,即 ,…(2 分)

的范围,利用正弦函数的图象和性质即可求得值域.

…..

]上为减函数,…(10 分)

,即 f(x)的值域为[2 ﹣ ,4].…(12 分) 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知 识的考查. ,x∈R)

16. (12 分) (2014 春?东海县校级期中)已知如图,函数 y=2sin( 的图象与 y 轴的交点为(0,1) . (1)求 φ 的值;

x+φ) (0≤φ≤

(2)设点 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点,求向量 弦值.

与向量

夹角的余

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 y=2sin( 从而可得 φ 的值; (2)依题意,可求得 M,N,P 的坐标,于是可得向量 坐标运算即可求得向量 与向量 夹角的余弦值 , , 与 的坐标,利用向量数量积的 x+φ)的图象与 y 轴的交点为(0,1) ,可得 sinφ= ,0≤φ≤ ,

解答: 解: (1)由题意得 ∴ (2)由 .…..…(6 分) x+ =0 得:x=﹣ , =4,

∴M(﹣ ,0) ,又 T=

∴点 P 的横坐标 xp=(﹣ )+ T= , ∴P( ,2) ,同理可得 N( ,0) ,…(9 分) ∴ ,…(12 分)

设向量

与的

夹角为 θ,则

…(14 分)

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,着重考查向量数量积的坐 标运算,求得 M,N,P 的坐标是关键,考查运算能力,属于中档题. 17. (14 分) (2015 春?揭阳校级月考)函数 . (1)求 f(x)的周期; (2)f(x)在[0,π)上的减区间; (3)若 f(α)= , ,求 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由诱导公式和和差角(辅助角)公式,将函数的解析式化为正弦型函数的形式, 根据 ω= ,可得 f(x)的周期; (2)根据正弦函数的图象和性质,求出 f(x)的单调递减区间,进而可得 f(x)在[0,π) 上的减区间; (3)若 f(α)= ,可得 ,进而根据同角三角函数的基本关系公式求出 α 的

余弦和正切,再由二倍角的正切公式和两角和的正切公式,得到答案. 解答: 解: (1) = , (k∈Z) ∵ω= , ∴f(x)的周期 . …(5 分)

(2)由 得 又 x∈[0,π) , 令 k=0,得 令 k=﹣1,得 ; (舍去) .



∴f(x)在[0,π)上的减区间是 (3)由 f(α)= ∴ 又 ∴ ∴ , ,∴ , ,得

. ,

…(9 分)





=



…(14 分)

点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,诱导公式和和差角(辅助角)公式, 同角三角函数的基本关系公式, 二倍角的正切公式和两角和的正切公式, 是三角函数的综合 应用,难度中档. 18. (14 分) (2013?临潼区校级模拟) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PA⊥平面 ABC, AC⊥BC, D 为侧棱 PC 上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明:AD⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 D﹣ABC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;由三视图还原实物图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 PA⊥平面 ABC,知 PA⊥BC,由 AC⊥BC,知 BC⊥平面 PAC,从而得到 BC⊥AD.由此能够证明 AD⊥平面 PBC. (2)由三视图得 BC=4,由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面 PAC,由此能求出三棱锥的体 积. 解答: .(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC,

又 AC⊥BC,所以 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥AD. 由三视图可得,在△ PAC 中,PA=AC=4,D 为 PC 中点,所以 AD⊥PC, 所以 AD⊥平面 PBC, (2)由三视图可得 BC=4, 由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面 PAC, 又三棱锥 D﹣ABC 的体积即为三棱锥 B﹣ADC 的体积, 所以,所求三棱锥的体积 .

点评: 本题考查利用几何体的三视图求直线与平面垂直的证明, 考查三棱锥的体积的求法, 解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用. 19. (14 分) (2013 秋?大兴区期末)已知半径为 2,圆心在直线 y=﹣x+2 上的圆 C. (Ⅰ)当圆 C 经过点 A(2,2)且与 y 轴相切时,求圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)已知 E(1,1) ,F(1,﹣3) ,若圆 C 上存在点 Q,使|QF| ﹣|QE| =32,求圆心的横 坐标 a 的取值范围. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 2 2 分析: (Ⅰ)可设圆心坐标为(a,﹣a+2) ,圆的方程为(x﹣a) +[y﹣(﹣a+2)] =4,利 用圆经过点 A(2,2)且与 y 轴相切,建立方程,即可求圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q(x,y) ,则由|QF| ﹣|QE| =32 得 y=3,即 Q 在直线 y=3 上,根据 Q 在(x﹣a) 2 2 +[y﹣(﹣a+2)] =4 上,可得⊙C 与直线 y=3 有交点,从而可求圆心的横坐标 a 的取值范 围. 解答: 解: (Ⅰ)∵圆心在直线 y=﹣x+2 上, ∴可设圆心坐标为(a,﹣a+2) ,圆的方程为(x﹣a) +[y﹣(﹣a+2)] =4, ∵圆经过点 A(2,2)且与 y 轴相切, ∴有 解得 a=2, ∴所求方程是: (x﹣2) +y =4; 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)设 Q(x,y) ,则由|QF| ﹣|QE| =32 得: (x﹣1) +(y+3) ﹣[(x﹣1) + (y﹣1) ]=32, 即 y=3, ∴Q 在直线 y=3 上, 2 2 ∵Q 在(x﹣a) +[y﹣(﹣a+2)] =4 上, ∴⊙C 与直线 y=3 有交点, ∵⊙C 的圆心纵坐标为﹣a+2,半径为 2, ∴⊙C 与直线 y=3 有交点的充要条件是 1≤﹣a+2≤5, ∴﹣3≤a≤1,即圆心的横坐标 a 的取值范围是﹣3≤a≤1. 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 20. (14 分) (2013 秋?丽水期末)已知函数 f(x)=﹣x +2|x﹣a|. (Ⅰ)若函数 y=f(x)为偶函数,求 a 的值;
2 2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)若

,求函数 y=f(x)的单调递增区间;

(Ⅲ)当 a>0 时,若对任意的 x∈[0,+∞) ,不等式 f(x﹣1)≥2f(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)因为函数 y=f(x)为偶函数,所以可由定义得 f(﹣x)=f(x)恒成立,然 后化简可得 a=0;也可取特殊值令 x=1,得 f(﹣1)=f(1) ,化简即可,但必须检验. (Ⅱ)分 x≥ ,x ,将绝对值去掉,注意结合图象的对称轴和区间的关系,写出单调增

区间,注意之间用“和”. (Ⅲ)先整理 f(x﹣1)≥2f(x)的表达式,有绝对值的放到左边,然后分①0≤x≤a②a< x≤1+a③x>1+a 讨论,首先去掉绝对值,然后整理成关于 x 的一元二次不等式恒成立的问 题,利用函数的单调性求出最值,从而求出 a 的范围,最后求它们的交集. 2 解答: 解: (Ⅰ)解法一:因为函数 f(x)=﹣x +2|x﹣a| 又函数 y=f(x)为偶函数, 所以任取 x∈R,则 f(﹣x)=f(x)恒成立, 2 2 即﹣(﹣x) +2|﹣x﹣a|=﹣x +2|x﹣a|恒成立.…(3 分) 所以|x﹣a|=|x+a|恒成立, 两边平方得:x ﹣2ax+a =x +2ax+a 所以 4ax=0,因为 x 为任意实数,所以 a=0…(5 分) 解法二(特殊值法) :因为函数 y=f(x)为偶函数, 所以 f(﹣1)=f(1) ,得|1﹣a|=|1+a|,得:a=0 所以 f(x)=﹣x +2|x|, 故有 f(﹣x)=f(x) ,即 f(x)为偶函数…(5 分)
2 2 2 2 2

(Ⅱ)若

,则

.…(8 分)

由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知, 函数的单调递增区间为 (﹣∞, ﹣1]和 (10 分) 2 2 (Ⅲ)不等式 f(x﹣1)≥2f(x)化为﹣(x﹣1) +2|x﹣1﹣a|≥﹣2x +4|x﹣a|, 2 即:4|x﹣a|﹣2|x﹣(1+a)|≤x +2x﹣1(*) 对任意的 x∈[0,+∞)恒成立. 因为 a>0.所以分如下情况讨论: 2 ①0≤x≤a 时,不等式(*)化为﹣4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x +2x﹣1, 2 即 x +4x+1﹣2a≥0 对任意的 x∈[0,a]恒成立, 2 因为函数 g(x)=x +4x+1﹣2a 在区间[0,a]上单调递增, 则 g(0)最小,所以只需 g(0)≥0 即可,得 又 a>0 所以 …(12 分) ,



②a<x≤1+a 时,不等式(*)化为 4(x﹣a)+2[x﹣(1+a)]≤x +2x﹣1, 2 即 x ﹣4x+1+6a≥0 对任意的 x∈(a,1+a]恒成立, 由①, ,知:函数 h(x)=x ﹣4x+1+6a 在区间(a,1+a]上单调递减,
2 2

2

则只需 h(1+a)≥0 即可,即 a +4a﹣2≥0,得 因为 所以,由①得

或 .…(14 分)
2



③x>1+a 时,不等式(*)化为 4(x﹣a)﹣2[x﹣(1+a)]≤x +2x﹣1, 2 即 x +2a﹣3≥0 对任意的 x∈(a+1,+∞)恒成立, 2 因为函数 φ(x)=x +2a﹣3 在区间(a+1,+∞)上单调递增, 则只需 φ(a+1)≥0 即可, 即 a +4a﹣2≥0,得 综上所述得,a 的取值范围是
2



,由②得 .…(16 分)



点评: 本题是函数的综合题,考查了函数的重要性质﹣﹣奇偶性和单调性,同时考查了函 数恒成立的一个常用结论:a>f(x)恒成立,只要 a>f(x)的最大值;a<f(x)恒成立, 只要 a<f(x)的最小值.还重点考查了数学中一个重要数学数学方法﹣﹣分类讨论.本题 属于难题.


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