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浙江省绍兴一中2014届高三下学期回头考数学理试卷 Word版含答案


绍兴一中

2013 学 年 第二 学期

高三数学(理科)回头考试题卷

本试题分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 参考公式: 球的表面积公式 S ? 4?R 2 柱体体积公式 V ? sh 球的体积公式 V ? 4 ? R 3
3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

台体的体积公式 V ? 台体的高 锥体体积公式 V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示 3

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 3

如果事件 A、B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 第 I 卷(选择题部分 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。) 1.已知 i 为虚数单位,则 A. 1 ? i

2i ?( 1? i B. ?1 ? i C. 1 ? i
x

) D.

?1 ? i
) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

2.设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论中正确的是( A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1)

3.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该四棱锥的体积是( )

3 3 cm 3 8 3 3 C. cm 3
A.

B.

4 3 3 cm 3
3

4

D. 3cm

4.已知不重合的直线 m 、和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? , 给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m // l ,则 ? ? ? .其中正确命题的个数是( A. 1 5. 已知函数 f ( x) ? A.(1,2) B.2 C.3 ) D.4

1 1 正视图

侧视图

3

1 俯视图

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点, 则 m 的取值范围是 ( ) 2
B.[1,2)
2

?

6. 点集 ? x, y ? x ? y ? 2 x x ? y ? 4 ? 0 所表示的平面图形的面积为(
2 2 2

?

?

??

? ?

C.(1,2]

D.[l,2] )

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 5?

7.已知 a , b 都是正实数,且满足 log4 (2a ? b) ? log2 A.12 B.10 C. 8

ab ,则 2a ? b 的最小值为( )

D .6

? x2 ? y2 ? 1 ? 8. 点 P ( x, y ) 为不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上一点, 则 x ? 2 y 取值范围为 ( ) ?x ? y ? 1 ? 0 ?
A. ? 5 , 5

?

?

B. ? 2, 5

?

?

C. ?? 1,2?

D. ?? 2,2?

9.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的两条渐近线为 l1 , l 2 ,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线 a2 b2


交 l1 , l 2 于 A, B 两点。若 OA , AB , OB 成等差数列,则双曲线的离心率为(

A.

5 2

B. 5

C. 3

D. 3 ? 1

10.同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak :(1)所有元素都是正整数;(2)最小元素为
? 1;(3)最大元素为 2014;(4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N 的等

?

?

差数列.那么 A33 ? A61 中元素的个数是( A.96 B.94 C.92

) D.90

第Ⅱ卷(共 100 分)[来 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k = 12.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, CC1 与平面 A1 BD 所成角的正弦值为 13.在 (1 ? x) ? (1 ? 2 x) 的展开式中, x 项的系数为 ______.
5 4
2

14.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (?1) n (an ? 1) ,记 S n 为 {an } 前 n 项的 和,则 S 2014 = ;
第 11 题

15.在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四边 形为梯形的概率为 ; 16.在 ?ABC 中,AC=6,BC=7, cos A ?

1 ,O 是 ?ABC 的内心,若 OP ? xOA ? yOB , 5

其中 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 17.对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常 数) , 对任给的正数 m, 存在相应的 x0, 使得当 x∈D 且 x>x0 时, 总有 ?

?0 ? f ?x ? ? h?x ? ? m , ?0 ? h?x ? ? g ?x ? ? m

则称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)和 y=g(x)的“分渐近线”。给出定义域均为 D= x x ? 1 的四组函数如下: ① f ?x? ? x 2,g ?x? ? ③ f ?x ? ?

?

?

x ;② f ?x ? ? 10 ? x ? 2,g ?x ? ?

2x ? 3 ; x

x2 ?1 x ln x ? 1 2x 2 ,g ?x ? ? ,g ?x ? ? 2 x ? 1 ? e ? x 。 ;④ f ?x ? ? x ln x x ?1

?

?

其中,曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,已知 AC=2,AB=1,且角 A、B、C 满足 cos 2 A ? 2sin
2

B?C ? 1. 2

(1)求角 A 的大小和 BC 边的长; (2)若点 P 是线段 AC 上的动点,设点 P 到边 AB、BC 的距离分别是 x,y.试求 xy 的最大值,并指出 P 点位于何处时 xy 取得最大值.

19.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 的图像过点 (?4n, 0) ,且 f '(0) ? 2n , n ? N ? , 数列 {an } 满足

1 1 ? f ?( ) ,且 a1 ? 4 , an ?1 an
(1)求数列 {an } 的通项公式 (2)记 bn ? an an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

20.(本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA=AB=AC. (1)求证:PA∥平面 QBC; (2)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q-PB-A 的余弦值.

Q

P

C B

A

21.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与长轴垂直的 2 a b 2

直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大值; (3)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的垂 心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 15 分)

x2 ? 2 x ? a 已知函数 f n ( x) ? ,其中 n ? N? , a ? R, e 是自然对数的底数. nx e
(1)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的零点; (2) 若对任意 n ? N? , f n ( x) 均有两个极值点, 一个在区间 (1, 4) 内, 另一个在区间 ?1, 4? 外,求 a 的取值范围; (3) 已知 k , m ? N , k ? m, 且函数 fk ( x) 在 R 上是单调函数, 探究函数 f m ( x) 的单调性.
?

本试题分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 参考公式: 球的表面积公式 S ? 4?R 2 柱体体积公式 V ? sh 球的体积公式 V ? 4 ? R 3
3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

台体的体积公式 V ? 台体的高 锥体体积公式 V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示 3

1 Sh 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 3
第 I 卷(选择题部分 共 50 分)

如果事件 A、B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。)

2i ?( B ) 1? i A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i x 2.设函数 f ( x) ? 2 ,则下列结论中正确的是( B )
1.已知 i 为虚数单位,则 A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1)

D.

?1 ? i

B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

3.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该四棱锥的体积是 C A.

3 3 cm 3 8 3 3 cm 3

B.

4 3 3 cm 3
3

4

C.

D. 3cm

1 1 正视图

侧视图

3

4.已知不重合的直线 m 、和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? , 给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m // l ,则 ? ? ? .其中正确命题的个数是 B A.1 5.已知函数 f ( x) ? A.(1,2) B. 2 C. 3 D. 4 1 俯视图

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点,则 m 的取值范围是 B 2
B.[1,2) C.(1,2] D.[l,2]

?

6. 点集 ? x, y ? x 2 ? y 2 ? 2 x x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的平面图形的面积为 C

?

?

??

? ?

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 5?

7.已知 a , b 都是正实数,且满足 log4 (2a ? b) ? log2 (A)12 (B)10 (C)8

ab ,则 2a ? b 的最小值为 C
(D)6

? x2 ? y2 ? 1 ? 8.点 P ( x, y ) 为不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上一点,则 x ? 2 y 取值范围为 B ?x ? y ? 1 ? 0 ?
(A) ? 5, 5

?

?

(B) ? 2, 5

?

?

(C) ?? 1,2?

(D) ?? 2,2?

9.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的两条渐近线为 l1 , l 2 ,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线 a2 b2

交 l1 , l 2 于 A, B 两点。若 OA , AB , OB 成等差数列,则双曲线的离心率为 B

(A)

5 2

(B) 5

(C) 3

(D) 3 ? 1

10.同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak :(1)所有元素都是正整数;(2)最小元素为
? 1;(3)最大元素为 2014;(4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N 的等

?

?

差数列.那么 A33 ? A61 中元素的个数是 B A.96 B.94 C.92 D.90

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k = 3 12. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, CC1 与平面 A1 BD 所成角的正弦值为 13.在 (1 ? x) ? (1 ? 2 x) 的展开式中, x 项的系数为___-6_______.
5 4
2

3 3

14.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (?1) n (an ? 1) ,记 S n 为 {an } 前 n 项的 和,则 S 2014 = -1007 ;
第 11 题

15.在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概率 为 ; 【答案】

2 7

【解答】设正十边形为 A1 A2 ? A10 。则 以 A1 A2 为底边的梯形有 A 1 A2 A 3A 10 、 A 1A 2A 4A 9 、A 1A 2A 5A 8 共 3 个。同理分别以 A2 A3 、

A3 A4 、 A4 A5 、…、 A9 A10 、 A10 A1 为底边的梯形各有 3 个。这样,合计有 30 个梯形。
以 A1 A3 为底边的梯形有 A 1A 3 A4 A 10 、 A 1A 3A 5A 9 共 2 个。同理分别以 A2 A4 、 A 3A 5、

A4 A6 、…、 A9 A1 、 A10 A2 为底边的梯形各有 2 个。这样,合计有 20 个梯形。
以 A1 A4 为底边的梯形只有 A 同理分别以 A2 A5 、A3 A6 、A4 A7 、 …、A9 A2 、 1 A4 A 5A 10 1 个。

A10 A3 为底边的梯形各有 1 个。这样,合计有 10 个梯形。
所以,所求的概率 P ?

30 ? 20 ? 10 2 ? 。 4 C10 7

1 ,O 是 ?ABC 的内心,若 OP ? xOA ? yOB , 5 10 6 其中 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的面积为 3
16.在 ?ABC 中,AC=6,BC=7, cos A ? 17.对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常 数) , 对任给的正数 m, 存在相应的 x0, 使得当 x∈D 且 x>x0 时, 总有 ?

?0 ? f ?x ? ? h?x ? ? m , ?0 ? h?x ? ? g ?x ? ? m

则称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)和 y=g(x)的“分渐近线”。给出定义域均为 D= x x ? 1 的四组函数如下: ① f ?x? ? x 2,g ?x? ? ③ f ?x ? ?

?

?

x ;② f ?x ? ? 10 ? x ? 2,g ?x ? ?

2x ? 3 ; x

x2 ?1 x ln x ? 1 2x 2 ,g ?x ? ? ,g ?x ? ? 2 x ? 1 ? e ? x 。 ;④ f ?x ? ? x ln x x ?1

?

?

其中,曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是②④ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 △ABC 中 , 已 知 AC=2 , AB=1 , 且 角 A 、 B 、 C 满 足

cos 2 A ? 2 s i2n

B?C ? 1. 2

(I)求角 A 的大小和 BC 边的长; (II)若点 P 是线段 AC 上的动点,设点 P 到边 AB、BC 的距离分别是 x,y.试求 xy 的最大值,并指出 P 点位于何处时 xy 取得最大值. 提示:答案见宁波高三期末
n? N? , 0 (' 2 ? n , 19. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 的图像过点 (?4 n, 0) , 且 f)

数列 {an } 满足

1 1 ? f / ( ) ,且 a1 ? 4 , an?1 an

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 (Ⅱ)记 bn ? an an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

(Ⅱ) bn ? an an ?1 ?

4 1 1 ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

……………11 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1
1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1
? 2(1 ? 1 ) 2n ? 1
……………14 分

?

20.(本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA=AB=AC. (Ⅰ)求证:PA∥平面 QBC; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q-PB-A 的余弦值. 提示:温州市 2013 年高三第一次适应性测试

Q

P

21.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

C x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心 2 a b B

A

2 率为 , 过点 F 且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段 2
长为 2 ,O 为坐标原点.

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大 值; (Ⅲ)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的 垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)设 F (c,0) ,则

c 2 ,知 a ? 2c . ? a 2

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

(c ) 2 y 2 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? b. 2 a b 2
于是 2b ?
2 2

2 ,解得 b ? 1 .
2

又 a ? c ? b ,从而 a ? 所以椭圆 C 的方程为

2, c ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………(5 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

? y ? kx ? 2, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
2 2 由 ? ? (8k ) ? 24(2k ? 1) ? 0 ,得 k ?
2

3 . 2

由韦达定理,得 x1 ? x 2 ? ?

8k 6 , x1 x 2 ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

? 点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 1? k
2

, AB ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? , ?

? S ?AOB ?

1 8(2k 2 ? 3) | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2
2

2 设 t ? 2k ? 3 ,由 k ?

3 ,知 t ? 0 . 2

于是 S ?AOB ?

8t ? (t ? 4) 2

8 . 16 t ? ?8 t

由t ?

16 7 2 2 ? 8 ,得 S ?AOB ? .当且仅当 t ? 4, k ? 时等号成立. t 2 2

所以△ AO B 面积的最大值为

2 .…………………………………………(10 分) 2

(Ⅲ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQN 的垂心. 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 N (0,1) , F (1,0) ,所以 k NF ? ?1 . 由 NF ? PQ ,知 k PQ ? 1 .设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,
4m 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? . 3 3

2 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 ,且 x1 ? x 2 ? ?

由题意,有 NP ? FQ ? 0 . 因为 NP ? ( x1 , y1 ? 1), FQ ? ( x2 ? 1, y2 ) , 所以 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,即 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 , 所以 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 于是 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3
4 或 m ? 1. 3

解得 m ? ?

经检验,当 m ? 1 时,△ PQN 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .……………(15 分) 3 3

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f n ( x) ?

x2 ? 2 x ? a ,其中 n ? N? , a ? R, e 是自然对数的底数. enx

(1)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的零点; (2)若对任意 n ? N , f n ( x) 均有两个极值点,一个在区间 (1, 4) 内, 另一个在区间 ?1, 4? 外,求 a 的取值范围; (3) 已知 k , m ? N , k ? m, 且函数 fk ( x) 在 R 上是单调函数, 探究函数 f m ( x) 的单调性.
? ?

解:(1) g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ?

x 2 ? 2 x ? a x 2 ? 2 x ? a ( x 2 ? 2 x ? a)(e x ? 1) ? ? , ex e2 x e2 x

? ? 4 ? 4a
① 当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有 1 个零点: x1 ? 0. ② 当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有 2 个零点: x1 ? 0, x2 ? 1. ③ 当 a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 2. ④ 当 a ? ?1, a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有三个零点: …………1 分 ………2 分 ………3 分

x1 ? 0, x2 ? 1? a ?1, x3 ? 1? a ?1.
(2) f n? ( x) ?

………………4 分

(2 x ? 2)enx ? n( x 2 ? 2 x ? a)enx ?nx 2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 ? . e2 nx enx

……5 分

设 gn ( x) ? ?nx2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 , gn ( x) 的图像是开口向下的抛物线. 由题意对任意 n ? N , gn ( x) ? 0 有两个不等实数根 x1 , x2 , 且 x1 ? ?1,4? , x2 ??1,4?. 则对任意 n ? N , gn (1) gn (4) ? 0 ,即 n ? (a ? 1) ? n ? ? a ? (8 ? ) ? ? 0 , n 又任意 n ? N , 8 ?
? ? ?

? ?

6 ? ?

………7 分

6 6 关于 n 递增, 8 ? ? ?1 , n n

故 ?1 ? a ? (8 ? ) min , ?1 ? a ? 8 ? 6 ? 2. 所以 a 的取值范围是 ? ?1, 2? . (3)由(2)知, 存在 x ? R, f k ? ( x) ? …………………10 分

6 n

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? 0 ,又函数 fk ( x) 在 R 上 ekx
………………11 分

是单调函数,故函数 fk ( x) 在 R 上是单调减函数,

从而 ?k ? 4(k ? 1)2 ? 4k (ka ? 2) ? 4(k 2a ? k 2 ? 1) ? 0, 即 a ? ?(1 ? 所以 ? m ? 4(m ? 1 ? m a) ? 4 ?m ? 1 ? m (1 ?
2 2 2 2

1 ). k2

……12 分

? ?

1 ? 4(k 2 ? m2 ) ) ? . k2 ? k2 ?

由 k , m ? N , k ? m, 知 ? m ? 0.

?

…………………14 分

即对任意 x ? R, f k ? ( x) ?

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ?0 ekx
…………………15 分

故函数 f m ( x) 在 R 上是减函数.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1: x2+y2=1, 以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l :ρ(2cosθ-sinθ)=6.
(Ⅰ)将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (Ⅱ)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. (23).(本小题 10 分) 解:(Ⅰ)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0.

( ∵C2:

? x ? 3 cos? x y 2 ) ∴C2:的参数方程为: ? (θ 为参数)…5 分 2 ? ( ) =1 2 3 ? y ? 2 sin ?

(Ⅱ)设 P( 3 cosθ,2sinθ),则点 P 到 l 的距离为:

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ?2, g ( x) ? ? | x ? 2 | ?3. (Ⅰ)解不等式: g ( x) ? ?2 ; (Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? m ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围。


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