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高中数学配套同课异构2.4.1 抛物线及其标准方程 课件1(人教A版选修2-1)


第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识?

二次函数是开口向上或向下的抛物线。
y

o

x

问题探究: 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?

探 究 ?

M

H

·

C

·
F

l
e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,
即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
H

d M

·

C
焦 点

·
F

准线

l e=1

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上,满足条件的点的 轨迹是抛物线吗?

注:若F ? L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________的 焦点 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____,直线l叫做 准线 抛物线的_____ . 试一试:在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还是抛物线吗? 提示 当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定

直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.

1.抛物线定义的理解

(2)在抛物线的定义中,定点F不能在直线l上,否则,动点
M的轨迹就不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直 线.如到点F(1,0)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的 点的轨迹方程为x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l垂直 的一条直线.

探索研究 推出方程
想 一 想
L 求曲线方程 的基本步骤

如何建立直角坐标系?

· F

抛物线的标准方程:
如图,以过F点垂直于直线l的直线为x轴, F 和垂足K的中点为坐标原点建立直角坐标系.
设|FK|=p(p>0),M(x,y)

p p 则焦点F ( , 0), 准线l : x = 2 2
由抛物线定义知:|MF|=d

y

l

d

.M .
F

K

O

x

p2 2 p 即: ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
p2 p2 ? x 2 ? px ? ? y 2 ? x 2 ? px ? 4 4

? y ? 2 px, ( p ? 0)
2

y2 ? 2 px ? p ? 0?,叫作焦点在X轴正半轴上的 .
抛物线的标准方程.
它所表示的抛物线的焦点F在 x 轴的 p 0 正半轴上,坐标是( , ),它的 p 2 x?? 准线方程是 2 .
L

y

o

F

x

说明: p的几何意义: 焦点到准线的距离.

巩固练习1
标准方程
2

已知抛物线的标准方程, 求其焦点坐标和准线方程.
焦点坐标 准线方程

y =20x (5, 0) x ? ?5 2 1 1 x ? y ? 0 ( , 0) x ? ?
5x ? 2 y ? 0
2

y ? ax ? a ? 0?
2

?5 ? ,0 ? ? ?8 ?
? a ? ,0? ? ? 4 ?

4

5 x?? 8
a x?? 4

4

抛物线的标准方程 抛物线的焦点坐标和准线方程:
关键:确定P的值

y2 ? 2 px ? p ? 0?,叫作焦点在X轴正半轴上的 .
抛物线的标准方程.
L

y

一条抛物线,由于它在坐标 平面内的位置不同,方程也 不同,所以抛物线的标准方 程还有其它形式.

o

F

x

想一想: 抛物线的位置及其方程还有没有其它 的形式?

问题:仿照前面求抛物线标准方程的方法, 你能建立适当的坐标系,求下列后三幅图中 抛物线的方程吗?
(1)
F

(2)
F

l

l

(3)
F

(4)

l F

l

不同位置的抛物线标准方程
图 形

(P>0)

焦点位置
标准方程 焦点坐标 准线方程

x轴的 正方向

x轴的 负方向 y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2

y轴的 正方向 x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2

y轴的 负方向 x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2

y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2

2.抛物线标准方程的几种形式

图形

标准方程
y2=2px(p>0) ___________

焦点坐标
p ( ,0) 2 ______ p (- ,0) 2 _______ p (0, ) ______ 2 p (0,- ) 2 _______

准线方程
p x=- 2 _______ p x= 2 _____ p y=- _______ 2
p y= 2 _____

_____________

y2=-2px(p>0)

____________

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0) _____________

抛物线的标准方程
抛 物 线 方 程

左右 型

标准方程为

开口向右:

y2 =〒2px
(p>0)

y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:

y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:

上下 型

标准方程为

x2 =〒2py
(p>0)

x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:

x2 = -2py (y≤0)

【小结】 1、一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y 轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上。 2、一次项的系数符号决定了开口方向。

练习1:请判断下列抛物线的开口方向

x ? 32 y
2

x ? ?2 y
2

y ? ?25x
2

x ? ?49y
2

y ? 251x
2

y?x

2

y ? 32x ? 0
2

练习2:请判断下列抛物线的焦点坐标

x ? 32 y
2

F(0,8)

x ? ?2 y F(0,
2

?

1 2

)

1 是一次项系数的 4

y ? ?32x F(-8,0)
2

y ? 2x
2

1 F( , 0) 2

y ? 8x ? 0
2

1 F(0, ? ) 32

x ? 8y ? 0
2

1 F(? , 0) 32

练习3:请判断下列抛物线的准线方程

x ? 32 y
2

F(0,8)

x ? ?2 y F(0,
2

?

1 2

)

是一次项系数的

y ? ?32x F(-8,0)
2 2

1 的相反数 4
2

y ? 2x
1 F(0, ? ) 32

1 F( , 0) 2

y ? 8x ? 0 x ? 8y ? 0
2

1 F(? , 0) 32

▲如何确定各曲线的焦点位置?



圆:看分母大小

双曲线:看符号 抛物线:1.看一次项(X或Y)定焦点

2. 一次项系数正负定开口

P58思考:
二次函数 y ? ax 2 (a ? 0) 么是抛物线?
2 2

的图像为什

1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y a

1 ? ? ?2 p a

当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求它的焦点坐标和准线方程;

解: ∵2P=6,∴P=3

1 是一次项系数的 4
是一次项系数的

3 ∴抛物线的焦点坐标是( 2,0) 3 准线方程是x= ? 2

1 的相反数 4

例2 已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)
求它的标准方程。

解: 因为焦点在y的负半轴上,
所以设所求的标准方程为x2= -2py P ? 2 , 即p=4 由题意得 2 ∴所求的标准方程为x2= -8y

(课本67页练习1)根据下列条件写 出抛物线的标准方程; y2=12x (1)焦点是(3,0);
1 (2)准线方程是x= ; y2=x 4

(3)焦点到准线的距离是2;
y2=4x y2=-4x

x2=4y

x2=-4y

(课本67页练习2)求下列抛物线的焦 点坐标和准线方程:

(1)y2=20x
1 2= y (2)x 2

F(5,0) x=-5

1 1 F(0, ) y=8 8 2+5x=0 5 5 (3)2y F(- ,0) x= 8 8 (4)x2+8y=0 F(0,-2) y=2

题型一

求抛物线的标准方程

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: 【例1】 (3)过点A(2,3);

[思路探索] 式求抛物线方程要先确定其类型,并设出标准方 程,再根据已知求出系数p.若类型不能确定,应分类讨论.

(3)由题意,抛物线方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),
将点A(2,3)的坐标代入,得 32=m· 2=n· 2或2 3,

9 4 ∴m= 或 n= . 2 3
∴所的物方为 求抛线程 (4)由点准的离 焦到线距为 9 4 2 y = x 或 x = y. 2 3 5 5 ,可知 p= . 2 2
2

∴所抛线程 求物方为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.

题型二

抛物线定义的应用

【例2】 如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F, 点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2), 求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐 标. [思路探索] 解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|+ |PF|=|PA|+|PQ|,由图可知当A、P、Q三点共线时取最小 值. 解 如图,作PQ⊥l于Q,由定义知,抛物线上点P到焦点

F的距离等于点P到准线l的距离d,由图可知,求|PA|+
|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|+d的最小值的问题.

将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部. 1 设抛物线上点 P 到准线 l: x=- 的距离为 d, 由定义知|PA|+|PF| 2 7 =|PA|+d.由图可知, PA⊥l 时, 当 |PA|+d 最小, 最小值为 .即|PA| 2 7 +|PF|的最小值为 ,此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x= 2 2. ∴点 P 坐标为(2,2).

规律方法 抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地进行抛 物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化,另外要注意 平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边

间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.

小 结 :
1、学习好一个概念--抛物线
有关抛物线的标 准方程和它的焦 2、掌握好一种题型-- 点坐标、准线方 程的求法

3、注重好一种思想--数形结合


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