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安徽省安庆市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试卷


安庆一中 2014—2015 学年度第二学期高二年级数学(文科)期中考试试卷
(卷面总分 100 分,考试时间 120 分钟) 命题:陈艳 审题:吴礼琴

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合要求的,把正确答案的代号填在括号内.) 1、在复平面内,复数

z?<

br />
1 对应的点位于( 2?i
C. 第三象限



A. 第一象限

B. 第二象限
/

D. 第四象限

2、如图是导函数 y ? f ( x) 的图象,那么函数

y ? f ( x) 在下面哪个区间是减函数(
A. ( x1 , x3 )
2

) C.

B. ( x2 , x4 )

( x4 , x6 )

D.

( x5 , x6 )


3、点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值( A. 1 B. 2 C.
2

2

D.

2 2

4、 用反证法证明命题 “若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 那么 a, b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A.假设 a, b, c 不都是偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数 5、下面给出了关于复数的四种类比推理: ① 复数的加减法运算,可以类比多项式的加减法运算法则; ② 由向量 a 的性质 | a | ? a

?? ?

?? ?

?? ?2

,可以类比得到复数 z 的性质 | z | ? z ;
2 2

③ 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a 、b 、c ∈ R )有两个不同实根的条件是 b 2 ? 4ac ? 0 , 类比可以得到方程 a z ? b z ? c ? 0 ( a 、 b 、 c ∈ C )有两个不同复数根的条件是
2

b 2 ? 4ac ? 0 ;
④ 由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论正确的是( A、① ③ B、 ② ④ ) C、② ③ D、① ④

6、黑白两种颜色的正六边形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案,则第五个图案中有白

色地面砖( A.21 C.20

)块. B.22 D.23

7、等差数列 ?an ? 中, a1 , a4025 是函数 f ? x ? ? 于( ) A.2 B.3 C .4

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 等 3

D.5

8、已知点列如下: P 1 ?1,1? ,P 2 ?1, 2 ? ,P 3 ? 2,1? ,P 4 ?1,3 ? ,P 5 ? 2, 2 ? ,P 6 ? 3,1? ,P 7 ?1, 4 ? ,

P8 ? 2,3? , P9 ? 3, 2 ? , P 10 ? 4,1? , P 11 ?1,5 ? , P 12 ? 2, 4 ? ,……,则 P 60 的坐标为(
A. ? 3,8 ? B. ? 4,7 ? C. ? 4,8 ? D. ? 5,7 ? 开始 ) 输入两个数 a 和 b 9、定义某种运算 S= a ? b ,运算原理如右图流程图所示, 则式子 (2 tan A. 4 C. 8

)

? 1 ) ? ln e ? lg100 ? ( ) ?1 的值为( 4 3
B. 6 D. 10

10、已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,
x 满足 f ?( x) ? f ( x) ,且 f ? 0 ? ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e 的

a>b?



解集为(


4

输出 a(b+1) B. (0, ??) D. (e , ??)
4

输出 a(b-1)

A. (??, e ) C. (??, 0)

结束

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把最简单结果填在题后的横线上) 11 、 定 义 运 算

a c

b d

? ad ? bc , 若 复 数 z 满 足

1 ?1 z zi

? 2 ,其中 i 为虚数单位,则

| z |?

.

12、 已知 x,y 的值如表所示,若 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 y=错误! 未找到引用源。 x+错误!未找到引用源。,则 a=______. x y 4 5 6 a
2

8 6

13、二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2?r,二维测度(面积)S=?r ;三维空间中, 4 3 2 球的二维测度(表面积)S=4?r ,三维测度(体积)V= ?r .应用合情推理,若四维空间 3 中, “超球”的三维测度 V=8?r ,则其四维测度 W=
3

.

14、已知函数 f ( x) ? 2 f '(0)e ? 2 x ? 1 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数, e 为自然对数的底
x

数,则 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为____________. 15、下列命题中,正确命题的序号是____________.
2 ①已知 z1 , z 2 ? C ,则 z12 ? z 2 ? 0 ? z1 ? z 2 ? 0 ;

②已知 x ? R ,若 ( x ? 1) ? ( x ? 3 x ? 2)i 是纯虚数,则 x ? ?1 ;
2 2

③ z 是虚数的一个充要条件是 z ? z ? R ; ④复数 z ? R 的一个充要条件是 z ? z ; ⑤若 z ? C ,则 z 2 ≥0; ⑥若 a, b ? R ,且 a > b ,则 a + i > b + i 。 三.解答题(本大题共 6 小题,50 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、 (本题满分 7 分)有以下三个不等式:

(12 ? 4 2 )(9 2 ? 5 2 ) ? (1 ? 9 ? 4 ? 5) 2 ; (6 2 ? 8 2 )(2 2 ? 12 2 ) ? (6 ? 2 ? 8 ? 12) 2 ; (20 2 ? 10 2 )(102 2 ? 7 2 ) ? (20 ? 102 ? 10 ? 7) 2 .
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论。

17、(本题满分 8 分)设复数 Z ? lg ? m 2 ? 2m ? 14 ? ? ? m 2 ? m ? 6 ? i ,求实数 m 为何值时? (Ⅰ)Z 是实数; (Ⅱ)Z 对应的点位于复平面的第二象限。

18、(本题满分 8 分)已知:a,b,c 均为实数,且 a = x 2 ? 2y +

π π , b = y 2 ? 2z + , 2 3

c = z 2 ? 2x +

π ,求证:a,b,c 中至少有一个大于 0. 6

19、(本题满分 8 分) 某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了 选修课程的 55 名学生,得到为了解学生喜欢数学是否与性别有关, 对 50 个学生进行了问卷调 查得到了如下的列联表: 喜欢数学 男生 女生 10 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢数学的学生的概率为 (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关?说明你的理由。 临界值参考: 不喜欢数学 5 合计

3 . 5

P( K 2 ? k )

0.10

0.05

0.25

0.010

0.005

0.001

(参考公式:
2

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

n(ad ? bc) 2 K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

f ( x) ?
20 、( 本 小 题 满 分 9 分 ) 已 知 函 数

ax ?1 (a ? 0, 且a ? 1) ax ?1 ,设函数

1 g ( x) ? f ( x ? ) ? 1 2 ,
(Ⅰ)求证: f ( x) 是奇函数; (Ⅱ)①求证: g ( x) ? g (1 ? x) ? 2 ; ② 结合①的结论求 g (0) ? g (

1 2 2011 ) ? g( ) ? ? ? g( ) ? g (1) 的值。 2012 2012 2012

21、 (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) ?

ln x x

ln x 的单调递增区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 内恒成立,求实数 k 的取值范围; (III)求证:

ln 2 ln 3 ln n 1 1 ? 4 ? ? ? 4 ? (1 ? ) (n ? 2, n ? N ? , e为自然对数的底数) 4 2e n 2 3 n

高二数学试题(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 3 分,共 33 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分,把最简单结果填在题后的横线上) 11.

2

12. 4

13. 2?r

4

14. 2 x ? y ? 3 ? 0 .

15. ④

三.解答题(本大题共 6 小题,50 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 3分

7分
2 ? ?m ? m ? 6 ? 0 17.解: ( Ⅰ )? 2 ? m ? ?3(舍去 - 2) ????? 3分 ? m ? 2 m ? 14 ? 0 ?

?m 2 ? 2m ? 14 ? 0 ?lg(m ? 2m ? 14) ? 0 ? ?0 ? m ? 2m ? 14 ? 1 ? 2 ?Ⅱ?? ?? 2 ? ?m ? 2m ? 15 ? 0 ? 2 ? ? ?m 2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? m ? 6 ? 0 ?m ? m ? 6 ? 0 ?
2 2

?m ? ?1 ? 15或m ? ?1 ? 15 ? ? ?? 5 ? m ? 3 ? ?5 ? m ? ?1 ? 15 ????? 8分 ?m ? ?2或m ? 3 ?
18.证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,得 a ? b ? c ? 0 ,????2 分 而 a ? b ? c ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 0 ,????4 分
2 2 2

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,

????6 分 ????8 分

? a, b, c 中至少有一个大于 0 。
19.解: (1) (3 分) 男生 女生 合计 30 喜欢数学 20 15 20 不喜欢数学 合计 25 25

(2)假设 H0:性别与喜欢数学无关 则K2 ?

50 ? (20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.897 30 ? 20 ? 25 ? 25

又 P(K2≥7.897)=0.005 故有 99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关。????8 分 20.证明: (1)? f ( x) ?

a x ?1 , ax ?1 ? 0 x a ?1

? 定义域关于原点对称????1 分

f (? x) ?

a ?x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数???4 分 a ?x ? 1 1 ? a x

(2)①证明: g ( x) ? g (1 ? x) ? f ( x ? ) ? 1 ? f (1 ? x ? ) ? 1

1 1 2 2 1 1 ? f ( x ? ) ? f ( ? x) ? 2 ? 2 ???6 分 2 2 1 2 2011 ②解: g (0) ? g ( ) ? g( ) ? ? ? g( ) ? g (1) 2012 2012 2012
=2013????????????????????9 分

1 ? x ? ln x 1 ? ln x 21.解: ( Ⅰ ) g ?( x) ? x ? ( x ? 0) x2 x2 由g ?( x) ? 0得,0 ? x ? e, 故g ( x)的单增区间为(0, e)

????? 2分

?Ⅱ? f ( x) ? g ( x)即kx ? ln x 在(0,??)上恒成立
x 即k ? ln x 在(0,??)上恒成立 x2 ln x 构造函数h( x) ? 2 ( x ? 0) x 1 ? 2 ln x 则h ?( x) ? 由h ?( x) ? 0得x ? e x3 又当0 ? x ? e时,h ?( x) ? 0 当x ? e时, h ?( x) ? 0 ? h( x) max ? h( e ) ? 1 , 2e 故k ? 1 2e ????? 6分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知

ln x 1 ln x 1 1 ? ? 4 ? ? 2 2 2e 2e x x x ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 ? 4 ? 4 ?? ? 4 ? ( 2 ? 2 ?? ? 2 ) 2e 2 2 3 n 3 n 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? 2e ?1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n ? ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2e ? 2 2 3 n ?1 n ? ? ? 1 1 ? (1 ? ) (n ? 2) 2e n ln 2 ln 3 ln n 1 1 ? 4 ? ? ? 4 ? (1 - ) ?????10分 4 2e n 2 3 n ?




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