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高三数学一轮单元测试卷18-14:导数与应用


高三数学单元测试卷(十四)
第十四单元 导数及应用
(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的. 1.曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率 k 是 A.4 B.5 C.6 D.7 2 2 2.已知二次函数 y=ax +(a +1)

x 在 x=1 处的导数值为 1,则该函数的最大值是 25 A. 16 x2-1 3.函数 y= 的导数是 x x2-1 A. x x2+1 B. x x2-1 C. 2 x 1-x2 D. 2 x 25 B. 8 25 C. 4 25 D. 2

4.已知函数 f(x-1)=2x2-x,则 f′(x)= A.4x+3 B.4x-1 C.4x-5 D.4x-3 3 5.曲线 y=x 的切线中斜率等于 1 的直线 A.不存在 B.存在,有且仅有一条 C.存在,有且恰有两条 D.存在,但条数不确定 6.已知函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)……(x-100),则 f′(1)= A.-99! B.-100! C.-98! D.0 3 2 7.已知 f(x)=2x -6x +a(a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值是 A.-5 B.-11 C.-29 D.-37 1 8.设过曲线 xy=1 上两点 P1(1,1) 2(2, )的切线分别是 l1、l2,那么 l1 与 l2 夹角的正切值为 ,P 2 3 A.- 5 3 B. 4 4 C. 5 3 D. 5

9.已知一个物体的运动方程是 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么该物体 在 3 秒末的瞬间速度是 A.6 米/秒 B.7 米/秒 C.8 米/秒 D.9 米/秒 3 2 10.已知函数 f(x)=x -ax +1 在区间(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 A.a≥3 B.a=3 C.a≤3 D.0<a<3

答题卡 题号 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上.
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11.过点(0,-4)与曲线 y=x3+x-2 相切的直线方程是 12.设 y= 3 2 ,则 y′= x2
1





13.以函数 y = x 2 为导数的函数 f(x)图象过点(9,1) ,则函数 f(x)=



14.已知函数 f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于 x∈(-1,1)恒有 f’(x)<0 成 立,若 f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数 a 的取值范围是 . 15.已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,给出下列结论: ①若存在常数 x0,使 f’(x)=0,则函数 f(x)必在 x0 处取得极值; ②若函数 f(x)在 x0 处取得极值,则函数 f(x)在 x0 处必可导; ③若函数 f(x)在 R 上处处可导,则它有极小值就是它在 R 上的最小值; ④若对于任意 x≠x0 都有 f’(x)>f(x),则 f(x0)是函数 f(x)的最小值; ⑤若对于任意 x<x0 有 f’(x)>0,对于任意 x>x0 有 f’(x)<0,则 f(x0)是函数 f(x)的一个最大 值; 其中正确结论的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

x 2 + ax( x ≤ 1) 设函数 f ( x) = 求实数 a、 的值和该函数 b , 若该函数在实数集 R 上可导, x + b( x > 1)
的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 1 已知曲线 C1:y=x2-2x+2 和曲线 C2:y=x3-3x2+ x+5 有一个公共点 P(2,2) ,若 2 两曲线在点 P 处的切线的倾斜角分别是 α 和 β,求 tan α+β α+β 和 sin 的值. 2 3

2

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b(x∈[-1,2])的最大值为 3,最小值为-29,求 a、b 的值.

19. (本小题满分 14 分) 将边长为 a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形, 然后将四边折起 做成一个无盖的方盒. 欲使所得的方盒有最大容积, 截去的小正方形的边长应为多少? 方盒的最大容积为多少?

3

20. (本小题满分 14 分) . 4 已知函数 f(x)=x -4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减; ⑴求 a 的值; ⑵是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx2-1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 2 个交点,若 存在,求出实数 b 的值;若不存在,试说明理由.

4

21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y=g(x)的图象经过原点 O(0,0) 、点 P1(m,0)和点 P2(m+1,m+1) (m≠0,且 m≠1). ⑴求函数 y=g(x)的解析式; ⑵设 f(x)=(x-n)g(x)(m>n>0)在 x=a 和 x=b(b<a)处取得极值. (ⅰ)求证 b<n<a<m; (ⅱ)若 m+n=2 2,则过原点与曲线 y=f(x)相切的两条直线能否互相垂直?若能, 请给出证明;若不能,请说明理由.

5

第十四单元
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A

导数及应用参考答案
5 C 6 A 7 D 8 D 9 B 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.y=4x-4;12. y ' =

4 35 2 3 2 x ;13. x 2 17 ;14. {a | 1 < a < } ;15.⑤ 3 3 2
: 依 题 意

三、解答题(共 80 分,按步骤得分) 16 . 解

x 2 x ( x ≤ 1) f '(1) = 2 + a = 1, 且lim f ( x) = f (1) = 1 + a,∴ a = b = 1,∴ f ( x) = , x →1+ x 1( x > 1)
1 1 作图易得函数的最小值是 f( )=- 2 4 17.解:∵y=x2-2x+2,∴y′=2x-2,∴tanα=2×2-2=2, 1 1 1 1 又∵y=x3-3x2+ x+5,∴y′=3x2-6x+ ,∴tanβ=3×22-6×2+ = , 2 2 2 2 π π ∴tanαtanβ=1,即 tanβ=cotα,由 0<α、β< 得 β= -α, 2 2 α+β α+β π π 1 ∴α+β=< ,tan =1 且 sin =sin = . 2 3 3 2 2 18.解:求出 f’(x)=0 在[-1,2]上的解,研究函数 f(x)的增减性: 令 f '( x ) = 3ax 2 12ax = 3a ( x 2 4 x ) =0,显然 a≠0,否则 f(x)=b 为常数,矛盾, ∴x=0,若 a>0,列表如下: x f’(x) (-1,0) + 0 0 (0,2) —

f(x) 增函数 最大值 3 减函数 由表可知,当 x=0 时 f(x)取得最大值,∴b=3,又 f’(0)=-29,则 f(2)<f(0),这不可 能, ∴f(2)=8a-24a+3=-16a+3= -29,∴a=2;若 a<0,同理可得 a=-2,b=- 29. 19 . 解 : 设 小 正 方 形 的 边 长 为 x , 则 盒 底 的 边 长 为 a - 2x , ∴ 方 盒 的 体 积 a V = x(a 2 x) 2 ( x ∈ (0, )), 2

V ' = ( a 2 x )( a 6 x ), 令V ' = 0, 则x1 =

a a a a a , x2 = ,由x1 = (0, ), 且对于x ∈ (0, ), V ' > 0, 2 6 2 2 6

a a a x ∈ ( , ), V ' < 0, ∴函数 V 在点 x=6处取得极大值,由于问题的最大值存在, 6 2
a a 2a3 ∴V( )= 即为容积的最大值,此时小正方形的边长为 . 6 6 27 20.解:⑴∵f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,
6

∴f’(1)=0,f’(1)=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0,∴a=4; ⑵由⑴知 f(x)=x4-4x3+4x2-1,由 f(x)=g(x)可得 x4-4x3+4x2-1=bx2-1 即 x2(x2-4x+4-b)=0. ∵f(x)的图象与 g(x)的图象只有两个交点, ∴方程 x2-4x+4-b=0 有两个非零等根或有一根为 0,另一个不为 0, ∴Δ=16-4(4-b)=0,或 4 – b = 0,∴b = 0 或 b = 4.

r = 0, p = 1, 2 21.解:⑴设 g ( x) = px + qx + r ( p ≠ 0), 依题意得 pm + qm = 0, 解得 q = m, r = 0; p ( m 1) + q = 1;
2

∴g(x)=x2-mx. ⑵(ⅰ)f(x)=x(x-n)(x-m)=x3-(m+n)x2+mnx,∴f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn, 依题得 a、b 是方程 f’(x)=0 的两个实数根, 又 f’(0)=mn>0,f’(n)=(n-m)n<0,f’(m)=m(m-n)>0, 故两根 a、b 分布在区间(0,n)(n,m)内,又 b<a,∴b<n<a<m 成立; 、 (ⅱ)设两切线的横坐标分别为 x1、x2,且不妨设 x1<x2,则切线方程 l1 为 y-f(x1)=[3x12-2(m+n)x1+mn](x-x1) 由 l1 过原点,∴-x1(x1-m)(x1-n)=[3x12-2(m+n)x1+mn](-x1) m+n m+n m+n 解得 x1=0 或 x1= ,同理 x2=0 或 x2= ,∴x1=0 且 x2= , 2 2 2 两切线的斜率分别为 k1 = mn, k2 = 1, ∴ 线.

1 (m + n) 2 + mn, 若两切线互相垂直,则 k1k2=- 4

m = 2 + 1, m + n = 2 2, 此时有 存在过原点且与曲线相切的两条互相垂直的直 mn = 1; n = 2 1;

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