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结构力学课件


《结构力学教程》(I)

第10章 矩阵位移法

主要内容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7 §10-8 §10-9 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 荷载列阵 计算步骤及算例 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架

结构的整体分析

§10-1

概述

1、结构分析方法
1)传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分

配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分
析较简单的结构。 2)矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法,或称 为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形

式,以计算机作为计算手段的电算结构分析方法,它
能解决大型复杂的工程问题。

§10-1

概述

3)矩阵位移法——它是以结点位移作为基本未知量 的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化, 故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位 移法也被称为杆件结构的有限元法。 2、基本思路

1)手算位移法
(1) 取基本体系 ——构造各自独立的单跨超静梁的 组 合体; (2) 写出杆端弯矩表达式 ——建立各杆件的杆端弯 矩与杆端位移间的关系;

§10-1

概述

(3)根据结点、截面的平衡条件——建立力的平衡 方程,即位移法方程。 2)矩阵位移法 (1)结构离散化——划分单元; (2) 单元分析 ——建立单元的杆端力与杆端位移间 的关系,形成单元刚度矩阵; (3) 整体分析 ——建立整个结构的结点位移与结点 荷载间的关系,形成结构刚度矩阵。

§10-1
M1

概述
M2 i1 i2 2 3

下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
M3

1

用位移法解该题 :

1、未知量: ?1 ?2 ?3 2、杆端弯矩:

M12 ? 4i1?1 ? 2i1?2
M21 ? 2i1?1 ? 4i1?2

M23 ? 4i2?2 ? 2i2?3

M32 ? 2i2?2 ? 4i2?3

§10-1
M1 1

概述
M2 M3

i1

i2
2 3

3、建立方程:

?M

1

?0 ?0 ?0

?M ?M

M12 ? M1 4i1?1 ? 2i1?2 ? M1
M21 ? M23 ? M2

… …①

2

2i1?1 ? (4i1 ? 4i2 )?2 ? 2i2?3 ? M2 … ②
M32 ? M3 2i2?2 ? 4i2?3 ? M3 … … ③

3

4、解方程得: ?1 ?2 ?3 5、回代得:杆端弯矩

§10-1
M1 1

概述
M2
i1 2 M3

i2
3

把以上解题过程写成矩阵形式: 1、确定未知量:可以通过编号来解决(一个结点一 个转角未知量)。 单元刚 2、杆端弯矩表达式(按杆件来写) 度方程 1-2杆
? M12 ? ? 4i1 写成矩阵形式 ? ??? M21 ? 2i1?1 ? 4i1?2 ? M 21 ? ? 2i1

M12 ? 4i1?1 ? 2i1?2

1

2

2i1 ? ? 4i1 ?

1 ??1 ?

? ? 2 ?? 2 ?

§10-1
M1

概述
M2
i1 M3

i2
2 3 2 3

单元刚 度方程

2-3杆

1

M23 ? 4i2?2 ? 2i2?3 ?M 23 ? ? 4i2 2i2 ? 2 ??2 ? 写成矩阵形式 ? ??? ? ?? ? M32 ? 2i2?2 ? 4i2?3 ?M32 ? ? 2i2 4i2 ? 3 ? 3 ? 3、位移法方程: 4i1?1 ? 2i1?2 ? M1 … …①
2i1?1 ? (4i1 ? 4i2 )?2 ? 2i2?3 ? M2 … … ②

2i2?2 ? 4i2?3 ? M3 … … ③

§10-1
位移法方程写成 矩阵形式:
1 2

概述
M1
i1 1 3 2 M2 i2 3 M3

? 4i1 ? 2i ? 1 ?0 ?

2i1 4i1 ? 4i2 2i2

4、解方程得: ?1 ?2 ?3

0 ? 1 ??1 ? ? M1 ? ? 2 ?? ? ? ?M ? 2i2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 结点荷载列阵 ? ? ? ? 4i2 ? 3 ??3 ? ? M 3 ? 结点位移列阵

5、回代得:杆端弯矩

整体刚度矩阵

以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵



1、单元划分及编号

在杆系结构中以自然的一根杆件 ② 为一个单元,并以加圈的数字为记号。 如图所示为刚架的单元划分。
2、结点编号及未知量确定 结点编号的作用:

用于单元定位
确定未知量
先处理法 后处理法

结点编号的方法:

§10-2
● ●

局部坐标下的单元刚度矩阵

在确定未知量时: 不忽略轴向变形; 所有单元都是两端固定的。 因此一个刚结点就有3个位移:u, v,? ,而且支 座位移也要作为未知量。 先处理法:是直接给未知量编号。

后处理法:是先给结点编号(包括支座结点), 然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。

§10-2
例1:
1

局部坐标下的单元刚度矩阵
2 1,2,3 4,5,6

后处理法: 结点编号如图所示, 由于:u3 ? v3 ? ?3 ? 0 u4 ? v4 ? ? 4 ? 0 因此未知量为6个。

3

4

0,0,0

0,0,0

先处理法: 结点编号如图所示, 编号顺序为:先水平, 后竖向,再转动。位移 为零编“0”号。

§10-2
例1:
② 1

局部坐标下的单元刚度矩阵
2 1,2,3 ① ③ ② ③ 4,5,6



后处理法: 单元编号如图所示, ①单元两头的结点号为: “1”、“2”,如果结点的 坐标已知,单元的位置 就定了。

3

4

0,0,0

0,0,0

先处理法: 单元编号如图所示, ①单元两头的结点号为: “1,2,3”、“4,5,6”,如 果结点的坐标已知,单 元的位置同样定了。

§10-2
例2: 1

局部坐标下的单元刚度矩阵
2 1,2,3 4,5,6

3

4

0,0,7

0,0,0

后处理法: 结点编号如图所示, 由于:u3 ? v3 ? 0
u4 ? v4 ? ? 4 ? 0 因此未知量为7个。

先处理法: 结点编号如图所示, 7个未知量,号就编 到7。

§10-2
例3:
1

局部坐标下的单元刚度矩阵
2 3

1,2,3

4,5,6 4,5,7

4

后处理法: 结点编号如图所示, 由于:u2 ? u3 v2 ? v3 u4 ? v4 ? 0 u5 ? v5 ? ?5 ? 0 因此未知量为8个。

5

0,0,8

0,0,0

先处理法: 结点编号如图所示, 8个未知量,号就编到8。

§10-2
例3:
② 4 1

局部坐标下的单元刚度矩阵
2

1,2,3
3 ③ ② 0,0,8 ①



4,5,6 4,5,7 ③ 0,0,0

后处理法: 先处理法: 单元编号如图所示, 单元编号如图所示。 ①单元 对应 “1”、“2” ①单元 对应 “123”、“456”

5

②单元 对应 “1”、“4” ②单元 对应 “123”、“008”
③单元 对应 “3”、“5” ③单元 对应 “457”、“000”

§10-2
例4:
1

局部坐标下的单元刚度矩阵
2 1,2 3,4

3

后处理法: 结点编号如图所示, 桁架一个结点2个线 位移,由于:

4

先处理法: 结点编号如图所示, 8个未知量,号就编到8。

0,0

0,5

u3 ? v3 ? v4 ? 0

因此未知量为5个。

§10-2
例4:
② 1 ① ⑥ ④ 3

局部坐标下的单元刚度矩阵
2 1,2 ① ⑤ ③ ② ⑥ ④ 4 0,0 0,5 ⑤ ③ 3,4

后处理法: 先处理法: 单元编号如图所示, 单元编号如图所示, ①单元 对应 “1”、“2” ①单元 对应 “1,2”、“3,4” ⑤单元 对应 “1”、“4” ⑤单元 对应 “1,2”、“0,5”
… …

§10-2
3、建立坐标 坐标系:

局部坐标下的单元刚度矩阵
1 ① ② 2

局部坐标 整体坐标



1)局部坐标

3

4

方法:x 轴与杆件重合及顺时针转原则。 标法如图所示,箭头表示x 轴的方向,y轴 不标出。①单元的起始点是“1”,终点是“2”。 作用:用于表明杆端力及单元定位
FAX MAB A MBA FBX B F BY

FAY

§10-2
例4:
② 1 ① ⑥ ④ 3

局部坐标下的单元刚度矩阵
2

单元定位向量:




?1 ? ??? ? ?2 ?


?3 ? ??? ? ?1?


后处理法: 局部坐标如图所示, ①单元 对应 “1”、“2” ⑤单元 对应 “4”、“1”


4

?4 ? ??? ? ?2 ?


?3 ? ??? ? ?4?


?4 ? ??? ? ?1 ?


?3 ? ??? ? ?2?


先起始点后终点

§10-2
例4:
1,2

局部坐标下的单元刚度矩阵
3,4




⑥ ④





单元定位向量: ?1 ? ?0 ? ① ?2 ? ② ?0 ? ??? ? ??? ? 3 1 ?4 ? ?2 ? ? ? ? ?

?0 ? ③ ?5 ? ??? ? 3 ?4 ? ? ? ?0 ? ⑥ ?0 ? ??? ? 3 ?4 ? ? ?

?0 ? ?0 ? ⑤ ?5 ? ④ ?0 ? 先处理法: ??? ? ??? ? 0 1 局部坐标如图所示, ?5 ? ?2 ? ? ? ? ? 对应 “1,2”、“3,4” ①单元 ⑤单元 对应 “0,5”、“1,2”
0,0

0,5



§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

2)整体坐标 方法:可根据结构情况及顺时针转原则建立。
1
① ② ③ Y

2
X

O X

3

4

Y

作用:用于建立位移法方程 表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标,但 建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵——两端固定单元,由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。 单元刚度矩阵

局部坐标下的单元刚度矩阵
整体坐标下的单元刚度矩阵

本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵 以两端固定单元为研究对象,让其两端各发生3 个位移,求出6个杆端力,然后写成矩阵形式,即可 得到单元刚度矩阵。

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵
1 E,A,I
e

单元形式 ——两端固定单元 杆端位移 ——每端各三个位移,

2

x

y
l

u1、v1、?1、u2、v2、?2 杆端力 ——每端各三个杆力,

?1 1
u1 v1
e

Fx1、Fy1、M1、Fx 2、Fy 2、M 2 正负号规定 M1 1 ——与局部坐标一致为 Fx1 正,相反为负。 Fy1

2 ?2 u2 v
2

2
e

M2 F x2

Fy2

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵
?1

EA ? 1 1 L

EI,EA

2

EA ? 1 L

6EI? L2 1 ? 1

1 12EI? L2 1 ?1

EI,EA

2 12EI? L2 1

6EI? L2 1

4EI ? L 1

1 2 EI,EA 6EI ? 6EI ? L2 1 L2 1

2EI ? L 1

§10-2
EA ? 2 L 6EI? L2 2

局部坐标下的单元刚度矩阵
?2

1

EI,EA

2

EA ? 2 L
?2

1

EI,EA

2
12EI? L2 2 ?2

6EI? L2 1

12EI? L2 2 2EI ? L 2

1 2 EI,EA 6EI ? 6EI ? L2 2 L2 2

4EI ? L 2

§10-2
1 号 杆 端

局部坐标下的单元刚度矩阵
叠 加 原 理 求 出 :
生 六 个 位 移 时 , 六 个 杆 端 力 可 利 用 当 两 端 固 定 单 元 的 两 端 同 时 发

2 号 杆 端

EA Fx1 ? (u1 ? u2 ) L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI Fy1 ? 3 v1 ? 2 ?1 ? 3 v2 ? 2 ?2 L L L L 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI M 1 ? 2 v1 ? ?1 ? 2 v2 ? ?2 L L L L ? EA EA Fx 2 ? u1 ? u2 L L 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI Fy 2 ? ? 3 v1 ? 2 ?1 ? 3 v2 ? 2 ?2 L L L L 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI M 2 ? 2 v1 ? ?1 ? 2 v2 ? ?2 L L l l

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式:
FX1 FY1 M1 EA L 0 0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2 0 -EA L 0 -12EI L3 -6EI L2 0 6EI L2 2EI L 0 -6EI L2 4EI L u1 v2

=

0 -EA L

6EI L2 4EI L
0 -6EI L2 2EI L

0
0

?1
u2 v2

FX2
Fy2

EA L
0 0

0
12EI L3 -6EI L2

0
0

M2

?2

§10-2
FX1
FY1 M1 FX2

局部坐标下的单元刚度矩阵
0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2
e

EA L 0

0 6EI L2 4EI L

-EA L 0 0 EA L 0 0
e

0
-12EI L3 -6EI L2 0 12EI L3 -6EI L2

0 6EI L2 2EI L

u1 v2

=

0 -EA L 0 0

?1
u2 v2

0
-6EI L2 2EI L
e

0
-6EI L2 4EI L

Fy2
M2

?2

可缩写成: ?F ? ? ? k ? ??? ----单元刚度方程 ? ?

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵
e e e

单元刚度方程:?F ? ? ? k ? ??? ? ? 其中: FX1
FY1

u1

v2

?F ? =
e

M1 FX2 Fy2

??? =
e

?1
u2

v2

?F ? ----单元杆端力列阵 ???----单元杆端位移列阵
e

M2

?2

e

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵
1 EA L 0
0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2 0 6EI L2 4EI L -EA L 0 0 EA L 0 0 2

0
-12EI L3 -6EI L2 0 12EI L3 -6EI L2
e

0 6EI L2 2EI L 1

?k ? ? ?

e

=

0 -EA L 0 0

0
-6EI L2 2EI L

0
-6EI 2 L2 4EI L …①
e

?[k11 ] [k12 ]? ? k ? ----单元刚度矩阵 也可写成: ? k ? ? ? ? ? ? ? ? ?[k21 ] [k22 ]?
e

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

单元刚度矩阵的性质
● 单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。 ● 其中每个元素称为单元刚度系数,表示由于单位杆端 位移引起的杆端力。由反力互等定理可知: ij ? kji , k 因此单元刚度矩阵是对称矩阵。

● 第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个

杆端力分量。
e ● 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 [k ] ? 0 ,不

存在逆矩阵。

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵
1 EA L 0
0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2 0 6EI L2 4EI L -EA L 0 0 EA L 0 0 2

0
-12EI L3 -6EI L2 0 12EI L3 -6EI L2

0 6EI L2 2EI L 1

?k ? ? ?

e

=

0 -EA L 0 0

0
-6EI L2 2EI L

0
-6EI L2 4EI L 2

由上述一般单元的刚度矩阵,可以根据实际情况处理后, 得到特殊情况下的单元刚度矩阵。

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

例如:已知两端固定单元两头只发生转角,其它位移等于 零,同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是:把下面刚度 矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。
1 EA L 0 2 0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2 3 0 6EI L2 4EI L 0 4 -EA L 5 0 -12EI L3 -6EI L2 0 12EI L3 -6EI L2 6 0 1 2 3 4 5 6

0
0 EA L 0 0

?k ? ? ?

e

=

0 -EA L 0

6EI L2 2EI L
0 -6EI L2 4EI L

0

-6EI L2 2EI L

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵:
1 4EI L 2EI L 2 2EI L 4EI L

?k ? ? ?

e

1 2

=

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

又如:已知两端固定单元没有轴向变形,也不需要写杆端 轴力。处理的方法是:把下面刚度矩阵的第1、4行和列划 掉即可。
1 EA L 0 2 0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2 3 0 6EI L2 4EI L 0 4 -EA L 5 0 -12EI L3 -6EI L2 0 12EI L3 -6EI L2 6 0 1 2 3 4 5 6

0
0 EA L 0 0

?k ? ? ?

e

=

0 -EA L 0

6EI L2 2EI L
0 -6EI L2 4EI L

0

-6EI L2 2EI L

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵
1 12EI L3 6EI L2 -12EI L3 6EI L2 2 3 -12EI L3 -6EI L2 12EI L3 -6EI L2 4 6EI L2 2EI L -6EI L2 4EI L 1

两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵:
6EI L2 4EI L -6EI L2 2EI L

?k ? ? ?

e

=

2
3

4

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

再如:对于轴力杆件的单元刚度矩阵,处理的方法是: 把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。
1 EA L 0 2 0 12EI L3 6EI L2 0 -12EI L3 6EI L2 3 0 6EI L2 4EI L 0 4 -EA L 5 0 -12EI L3 -6EI L2 0 12EI L3 -6EI L2 6 0 1 2 3 4 5 6

0
0 EA L 0 0

?k ? ? ?

e

=

0 -EA L 0

6EI L2 2EI L
0 -6EI L2 4EI L

0

-6EI L2 2EI L

§10-2

局部坐标下的单元刚度矩阵

轴力杆件的单元刚度矩阵应该是2×2的,但考虑到 斜杆在整体坐标中的需要,写成4×4的。
1 EA L 2 0 0 0 0 3 -EA L 0 EA L 4 0 0 0 0 1 2 3 4

?k ? ? ?

e

=

0 -EA L 0

0

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
整体坐标下的单元刚度矩阵 如前所述,为了表述杆端力,需要每个单元都要 有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时, 则需要结构有一套统一的整体坐标系,因此在建立方 程之前,必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整 体坐标下的。下面以一根斜杆为例,说明两套坐标系 的转换方法。

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
α

x

局部坐标系 中的杆端力

y

F x1

M1
α

x

Fy1
y

M2

整体坐标系 中的杆端力
F x2
Fy2

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
局部坐标系中杆端力与 整体坐标系中杆端力之 间的关系:
α 局部坐标系 中的杆端力 x

Fx1 ? Fx1 cos ? ? Fy1 sin ? Fy1 ? ? Fx1 sin ? ? Fy1 cos ? M1 ? M1
Fx 2 ? Fx 2 cos ? ? Fy 2 sin ? Fy 2 ? ? Fx 2 sin ? ? Fy 2 cos ? M2 ? M2
F x1
y

M1
α

x

Fy1
y

M2 F x2 Fy2

整体坐标系 中的杆端力

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
? Fx1 ? Cos? Sin? ? ? ?Sin? Cos? ? Fy1 ? ? M1 ? 0 0 ? ? ? ? ? 0 0 Fx 2 ? ? 0 0 ? Fy 2 ? ? ? 0 0 M2 ? ? ? ?
e

0 0 1 0 0 0

0 0 0
Cos?

0 0 0
Sin?

0 0

0
0

?Sin? Cos?

0 1

0

0

? Fx1 ? ?F ? ? y1 ? ? M1 ? ? ? ? ? ? Fx 2 ? ? Fy 2 ? ? ? ?M 2 ? ? ?

e

{F}e ? [T ]{F}e 可缩写成:

{F}e ? [T ]T {F}e

其中:[T]——单元坐标转换矩阵
{?}e ? [T ]{?}e 同理: {?}e ? [T ]T {?}e

写 成 矩 阵 形 式

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
其中:
Cos? Sin?

0 0 1 0 0 0

0 0 0
Cos?

0 0 0
Sin?

0 0

?Sin? Cos?

[T]=

0

0 0 0 0

0
0

0 0
0

?Sin? Cos?

0 1
……②

0

0

[T]——单元坐标转换矩阵; 是一正交矩阵, [T]-1 =[T]T。

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
整体坐标系中的单元刚度矩阵

局部坐标下的单元刚度方程:
{F}e ? [k ]e{?}e
… …③

杆端力、杆端位移局部坐标和整体坐标的关系式:
{F} ? [T ]{F}
e e

… …④

{?}e ? [T ]{?}e … …⑤

将④、⑤式代入③式,有: [T ]{F}e ? [k ]e [T ]{?}e 等式两边前乘 [T ]T ,得:
[T ] [T ]{F} ? [T ] [k ] [T ]{?}
T e T e e

{F}e ? [T ]T [k ]e [T ]{?}e

{F}e ? [k ]e {?}e 比较,令:[k ]e ? [T ]T [k ]e [T ] 与

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
整体坐标下的单元刚度矩阵:

[k ] ? [T ] [k ] [T ]
e T e

……⑥

[k ]e 与 [k ]e同阶,性质类似:


kij 表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引
起的第i个杆端力。
e

● ●

[k ] 是对称矩阵。 e 一般单元的 [k ] 是奇异矩阵。

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
计算步骤: 1)对每个结点(包括支座结点)用先处理法或后处 理法进行编号;对每个单元进行编号;对每个单元分 别建立局部坐标;对结构建立一套整体坐标。

2)对每个单元按式①写出局部坐标下的单元刚度矩阵。 3)对每个单元按式②写出坐标转换矩阵。

4)对每个单元按式⑥求出整体坐标下的单元刚度矩阵。

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
例1:求图示结构各单元的整体刚度矩阵,杆长5m, 3 A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。 1 1,2,3
解:1)编号、建立坐标如图所示。 2)写出各单元局部坐标下的刚 度矩阵。
① 0,0,4

x


2

?k ?

0 0 ?300 0 0 ? ? 300 y 0,0,0 ? 0 12 30 0 ?12 30 ? ? ? 1 2 ? 0 30 100 0 ?30 50 ? ? ?? ? ? ?k ? ? ??300 0 0 300 0 0 ? ? ? ? 0 ?12 ?30 0 12 ?30 ? ? ? 30 50 0 ?30 100 ? ? 0

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
3)写出各单元整体坐标下的刚度矩阵 单元①的局部坐标与整体坐标一致,因此没有必要 1 1 转换,即:? k ? ? ? k ? 单元②: ? =900 ,转换矩阵为:
?0 ? ?1 ? ?0 ? T? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ?1 0 0 ? ? ? ? ? 0? 0? ? 1?

3 2

1

3 1
② 6 4

2 x


5

6
5 y

4

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
? k?
2

? ? T? 1

T

? k ? ? T?
2

? k?

2

1 ?30 ?12 ?30 ? ? 12 ? 0 300 0 0 ?300 0 ? 1 2 ? ? 3 ? ?30 0 100 30 0 50 ? ? 10 4× ? ? 0 0 30 12 0 30 ? ? ?12 ? 0 ?300 0 0 300 0 ? 2 0 ? ? 0 0 50 30 0 100 ? ? ?30

2 1 0

3

0

0 2 0

0

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
例2:求整体坐标下的单元 刚度矩阵 1 A=0.5m2,I=1/24m4, y 7Mpa。 E=3×10 解:编号建立坐标如图所示。 0.0 0.0 ? 25.0 ? 0.0 0.69 2.08 ? ① ? 0.0 2.08 8.33 ?k ? ? ? ? ? 0.0 ? ?25.0 0.0 ? 0.0 ?0.69 ?2.08 ? 2.08 4.17 ? 0.0
0,0,0


1,2,3 2


x

6m 0,0,0
3

6m

8m

? 25.0 0.0 0.0 25.0 0.0 0.0

0.0 ? ? 0.69 2.08 ? ? ? 2.08 4.17 ? ? 0.0 0.0 ? 0.69 ? 2.08? ? ? 2.08 8.33 ? 0.0

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
0.0 0.0 ?15.0 0.0 0.0 ? ? 15.0 ? 0.0 0.15 0.75 0.0 ?0.15 0.75 ? ? ? ② ? 0.0 0.75 5.0 0.0 ?0.75 2.5 ? ?k ? ? ? ? ? ? 0.0 15.0 0.0 0.0 ? ? ?15.0 0.0 ? 0.0 ?0.15 ?0.75 0.0 0.15 ?0.75? ? ? 0.75 2.5 0.0 ?0.75 5.0 ? ? 0.0

由于①单元的局部坐标与整体坐标一致,因此:

?k?



? ? k?



§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
单元②: ? =36.870 Cos? ? 0.8 Sin? ? 0.6 转换矩阵为:
? 0.8 ? ?0.6 ? ? T? ? ? 0 ? ? ? ? ? 0.6 0.8 0 0 0 0 1 0.8 ?0.6 0 0.6 0.8 0 0 ? ? ? ? ? 0? 0? ? 1?

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵
?k ?


??T?

T

? k ? ?T ?


? 9.65 7.13 ?0.45 ?9.65 ?7.13 ?0.45 ? ? 7.13 5.50 ? 0.6 ?7.13 ?5.50 0.6 ? ? ? ?0.45 0.6 ② 5.0 0.45 ?0.6 2.5 ? ?k ? ? ? ? ? ?9.65 ?.137 0.45 9.65 7.13 0.45 ? ? ?7.13 ?5.50 ?0.6 7.13 5.50 ?0.6 ? ? ? 2.5 0.45 ?0.6 5.0 ? ? ?0.45 0.6

§10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵

1

3

3 1 2


x


2
6 2 4

6

4

y

5

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
重做一下概述中的例题:
M1 1


i1 2

M2


i2 3

M3

1、编号、建立坐标如图所示。 2、单元刚度矩阵(局部坐标与整体坐标是一致的)。

?k ?

1

? 4i1 ?? ? 2i1

2i1 ? 4i1 ? ?

?k ?

2

? 4i2 ?? ? 2i2

2i2 ? 4i2 ? ?
这是目 前会做 的

3、位移法方程——整体刚度方程

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
由前面得到的位移法方程: 4i1?1 ? 2i1?2 ? M1 … …①

2i1?1 ? (4i1 ? 4i2 )?2 ? 2i2?3 ? M2 … … ②

2i2?2 ? 4i2?3 ? M3 … … ③ 写成矩阵形式:
? 4i1 ? 2i ? 1 ?0 ? 2i1 4i1 ? 4i2 2i2 0 ? ??1 ? ? M1 ? ? ?? ? ? ?M ? 2i2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?? ? ? 4i2 ? ??3 ? ? M 3 ?

可以缩写成: ? K ???? ? ?FP ?
——整体刚度方程

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
整体刚度方程: ? K ???? ? ?F?
其中:? K ? ——整体刚度矩阵

??? ?F?
1

——结构位移列阵 ——结构荷载列阵
1 2 2 3

本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。
? 4i1 K ? ? ? 2i1 ? ? ?0 ? 2i1 4i1 ? 4i2 2i2 0 ? 1 2i2 ? 2 ? 4i2 ? 3 ?

?k ?
?k ?

1

? 4i1 ?? ? 2i1
2

2i1 ? 1 ?2 4i1 ?
2i2 ? 2 4i2 ? 3 ?
3

2

? 4i2 ?? ? 2i2

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
整体刚度矩阵形成步骤:
?

把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵 边上;
把单元刚度矩阵中已知支座位移为零的行和列划去; 整体刚度矩阵[K]的阶数等于结构未知量数,若未 知量为n,[K]就是n×n的方阵;

? ?

?

把各单元刚度矩阵[k] 按定位向量对入座于整体刚 度矩阵,形成[K]。

e

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
例1:
1
1 2 3 4 5

i1
2

i2
3

i3
4

i4
5

i5
6

解:1)编号及建立坐标 2)单元刚度矩阵
1 2 ① ? 4i1 2i1 ? 1 [k ] ? ? 2i1 4i1 ? 2 ? ? 3 ③ ? 4i3 [k ] ? ? ? 2i3 4 2i3 ? 3 4i3 ? 4 ? 2 ② ? 4i2 [k ] ? ? ? 2i2 5 2i4 ? 4 4i4 ? 5 ? 3 2i2 ? 2 4i2 ? 3 ? 5 ⑤ ? 4i5 [k ] ? ? ? 2i5 6 2i5 ? 5 4i5 ? 6 ?

4 ④ ? 4i4 [k ] ? ? ? 2i4

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
3)整体刚度矩阵
2 4i1 +4i2 2i2 3 2i2 4 0 2i3 4i3+4i4 5 0 0 2i4 6 0 2 3 4

4i2+4i3
2i3 0 0

0
0

[K ] ?

0 0 0

2i4 4i4+4i5 2i5 4i5 2i5 0

5
6

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
例2:
0,0
1

0,1
2

2,0 3

1

单元刚度矩阵: 0

2

?k ? =


1

2

12EI1 L3 6EI1 L2 -12EI1 L3 6EI1 L2

0 0 1 6EI1 -12EI1 6EI1 L2 L3 L2 4EI1 -6EI1 2EI1 L L2 L -6EI1 12EI1 -6EI1 L2 L2 L3 2EI1 -6EI1 4EI1 L L2 L

0
0

0
1

1

2

§10-4 连续梁的整体刚度矩阵
0 1 12EI2 6EI2 L2 L3 6EI2 4EI2 L2 L -12EI2 -6EI2 L2 L3 2EI2 6EI2 L L2 2 0 -12EI2 6EI2 L2 L3 -6EI2 2EI2 L L2 12EI2 -6EI2 L2 L3 -6EI2 4EI2 L L2

0
1

?k ? =


2

2
0

3

2

3 2
-6EI2 L2 12EI2 L3

整体刚度矩阵:

1
4EI1 4EI2 L + L -6EI2 L2

?K ? =

1
2

§10-5

刚架的整体刚度矩阵

刚架的整体刚度矩阵一定求解方法与连续梁的 基本相同,步骤如下: 1)编号、建立坐标。 2)写出局部坐标下的单元刚度矩阵。 3)把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐 标下的。 4)把单元定位向量标在整体坐标下的单元刚度 矩阵边上,并划去已知支座位移等于零的行和列。 5)按定位向量号用对号入座的方法集合成整体 刚度矩阵。

§10-5

刚架的整体刚度矩阵
x

例1:求图示结构各单元的整体刚度矩阵,杆长5m, 3 A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。 1 1,2,3
解:1)编号、建立坐标如图所示。 2)写出各单元局部坐标下的刚 度矩阵。
① 0,0,4


2

?k ?

0 0 ?300 0 0 ? ? 300 y 0,0,0 ? 0 12 30 0 ?12 30 ? ? ? 1 2 ? 0 30 100 0 ?30 50 ? ? ?? ? ? ?k ? ? ??300 0 0 300 0 0 ? ? ? ? 0 ?12 ?30 0 12 ?30 ? ? ? 30 50 0 ?30 100 ? ? 0

§10-5
1 2

刚架的整体刚度矩阵
3 0 0 4
1 2 3 0 0 4

?k ? ?


0 0 ?300 0 0 ? ? 300 ? 0 12 30 0 ?12 30 ? 1? ? ? 0 30 100 0 ?30 50 ? ? ×104? ?300 0 0 300 0 0 ? ? 12 ?30 ? 3 ? 0 ?12 ?30 0 ? ? 30 50 0 ?30 100 ? ? 0

? ?k ?



1 1 2
0 12 30 30

3 3
0 30 100 50

4
0 30 50 100

1 1,2,3 ①

3
x 0,0,4

?k ?



?

300 0 0 0

1 2 ×104 ② 3 4 2
y 0,0,0

§10-5
? k?
2

刚架的整体刚度矩阵
T

? ? T?

? k ? ? T?
2

1 2 3 0 0 0 0 ?30 ?12 0 ?30 ? ? 12 300 0 0 ?300 0 ? 1 ? 0 ? ? ② ? ?30 0 100 30 0 50 ? 4× ? k ? ? 10 ? ? 0 30 12 0 30 ? ? ?12 2 ? 0 ?300 0 0 300 0 ? ? ? 0 50 30 0 100 ? ? ?30 2 1

1 2 3 0 0 0

§10-5
?k ?


刚架的整体刚度矩阵
1 12 0
-30

? 10 4×

2 0 300
0

3 -30 0
100

1 2 3 4

拼装整体刚度矩阵:
1 2 3
300+12 0 0 -30 0 0 12+300 30 30 ? 10 4× 0 -30 30 100+100 50 0 30 50 100

?K?

1 2 3 4

§10-5

刚架的整体刚度矩阵

整体刚度矩阵的特点: 1)整体刚度系数(ki j)的意义 ——表示当第j个结点位移分量Δ1=1(其它结点位移分量 为零)时所产生的第i个结点力Fi;
2)整体刚度是对称矩阵(反力互等定理); 3)整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵(先处理法,已考虑约 束条件); 4)整体刚度矩阵是稀疏、带状矩阵(有许多零元素,且非 零元素都分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内)。

§10-5

刚架的整体刚度矩阵

例2:图示有中间铰刚架,求其整体刚度矩阵。
杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3×104Mpa。
解:1)编号、建立坐标 2)整体坐标下的单元刚度矩阵
1 2 3 4 5 6

1

1,2,3


2 4,5,6 x 3 4,5,7


? ?

300 1 0 0 ① k ? -300 104× 0 2 0

0 0 -300 0 0 12 30 0 -12 30 30 100 0 -30 50 0 0 300 0 0 -12 -30 0 12 -30 30 50 0 -30 100
1
2

1 ② 2 4 3 0,0,0 4 5 y 6

5 0,0,0

§10-5
1

刚架的整体刚度矩阵
2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0

?k ? ?


12 0 -30 -12 0 -30 1 0 300 0 0 -300 0 -30 0 100 30 0 50 4× 10 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0 4 -30 0 50 30 0 100
1 4

§10-5
4

刚架的整体刚度矩阵
5 7 0 0 0 4 5 7 0 0 0

?k ? ?


12 0 -30 -12 0 -30 3 0 300 0 0 -300 0 -30 0 100 30 0 50 4× 10 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0 5 -30 0 50 30 0 100
3 5

§10-5
1 1 300+12 2 0 3 0-30 ? K ? ? 4 -300 10 4×5 0 6 0 7 0

刚架的整体刚度矩阵
2 0 12+300 30 0 -12 30 0 3 4 5 0-30 -300 0 30 0 -12 100+100 0 -30 0 300+12 0 -30 0 12+300 50 0 -30 0 -30 0 6 7 0 0 30 0 50 0 0 -30 -30 0 100 0 0 100

§10-6

荷载列阵

把位移法方程写成矩阵形式:
[K ]??? ? ?F ? ---整体刚度方程

其中{ F } ----荷载列阵

荷载列阵通常有两部分组成:

?F ?
j

?F ? ? ?Fj ? ? ?P ?

----结点荷载列阵
??Pe

?P ? ---等效结点荷载列阵

1)结点荷载列阵 一列n行,n——未知量的个数,由作用在结点上 的集中力组成,按编号的顺序及 x, y , ? 的顺序由 上而下排列,若某方向上没有集中力就填0。

§10-6
例:
Fp1
M

荷载列阵
? FP1 ? 1 1? 0 ?2 2 ? ? 4,5,6 ? M ?3 ?Fj ? ? ? 0 ? 4 ? ? 2 ? FP 2 ? 5 ? 0 ?1 4 0,0,0 ? ? ? 0 ?6 1? 0 ?2 ? ? Fp ? M ?3 x 2 ? ? 4,5,6 3 Fp Fj ? ? FP1 ? 4 4,5,7 ? ?

Fp2 x

1 1,2,3

0,0,0

3 y
M

例:
1,2,3

1

? ?

0,0,0 4

5

0,0,0

y

2 FP 2 5 ? ? ? 0 ?6 ? ? 3? 0 ?7

§10-6
??Pe

荷载列阵

2)等效结点荷载列阵
Fp

由节间荷载组成: Fp 例:

原结构 (a)

=
(b)

+
(c)

(a)内力=(b)内力+(c)内力 (b)内力:固端力——可查表 (c)内力:用矩阵位移法求解

等效结点 荷载

§10-6
??Pe

荷载列阵

等效结点荷载求解方法: 把所有有结点位移的地方用附加刚臂或链杆 固定起来,求出这些刚臂和链杆中的反力,把反 力反向的加在结点上,即为等效结点荷载。
1,2,3
Fp q

q

FPe3

FPe2 2 0,0,0

1

2 0,0,0

=
3 0,0,0

Fp

FPe1 1 1,2,3

+
3 0,0,0

§10-6
q

荷载列阵
x

1
Fp

2

取出“1”号结点
qL 2 FP 2 FP 2 F PL 8 下一步的工作是如何把以上 的计算过程用矩阵形式来表示。

3
y

qL 2 FP 2 1

qL2 FPL 8 12
2 等效结点荷载 3

qL2 FPL 8 12 qL2 12 qL 2

§10-6

荷载列阵
q

取①、②单元,求出固端力,并按局部 坐标写成矩阵形式,称为局部坐标下的单元 q 固端力列阵。 Fp qL2 2 qL 12 12 ① qL qL 2 2 0 0 F PL FP qL 8 2 2 FPL qL2 ② ① 8 12 FP = FP FP = 0 0 FP qL 2 2 F PL 2 F PL qL 8 12 8

1 ② 3

① 2

FP 2 ②

FP 2

§10-6

荷载列阵

把局部坐标下的单元固端力列阵转换成整体坐标 下的,并反号,称为整体坐标下的单元固端力列阵。


FP





=

FP

FP
? ? ? ? ? 0? 0? ? 1?

= ?[ T ]

T



FP

单元②: ? =900 ,转换矩阵为:
?0 ? ?1 ? ?0 ? T? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ?1 0 0



FP

=

FP 2 0 FPL 8 0 FP 2 FPL 8

§10-6

荷载列阵

把定位向量标在整体坐标下的单元固端力列阵 边上。
0 qL 2 qL2 12 0 qL 2 qL2 12 1 2 3 0 0 0 FP




FP

=

=

FP 2 0 F PL 8 0 FP 2 F PL 8

1 2 3 0

0
0

§10-6

荷载列阵
0 qL 2 + 0 qL2 FPL 12 8 FP + 2 1 2 3

按对号入座的方式,求出等效结点荷载列阵。

P =

等效结点荷载的求解步骤:
1)求出局部坐标下的单元固端力列阵; 2)求出整体坐标下的单元固端力列阵;
3)按定位向量形成等效结点荷载列阵。

§10-6
解:1)求 ?FP ? 单元①
e

荷载列阵

例:求图示结构的等效结点荷载{P}。

?F ?
P



? ? 0 ?12 ?10 0 ?12 10? T

单元② ?FP ? ? ?0 4 5 0 4 ?5? T


2)求 ? P?

e

4.8kN/m


0,0,4
x 2.5m 2.5m

?FP ? ? ?0
1



? ? ?FP ?
2 3

1,2,3 8kN



12 10 0 12 ?10? T
0 0 4


0,0,0
5m
y

§10-6

荷载列阵
?0 ?1 ? ?0 = ?? ?0 ?0 ? ?0 ?
1 2 3

? FP ?



= ?? T ?

T

?F ?
P



-1 0 0 0 0 ? ? 0 ? ? 4 ? ?? 4 ? ? 0 ? 0 0 0 0 0?? ? ? ? 0 1 0 0 0 ? ? 5 ? ??5? ? ? ? ? ?? ? = ? ? 0 0 0 -1 0 ? ? 0 ? ? 4 ? 0 0 1 0 0?? 4 ? ? 0 ? ?? ? ? ? 0 0 0 0 1 ? ??5? ? 5 ? ?? ? ? ?
4 12 5 -10

1
2 3 0 0 0

0 +4

{P}=

12 + 0 10 -5

=

-10 + 0

4

§10-7
计算步骤:

计算步骤和算例

1)编号及建立坐标; e 2)求出局部坐标系下的单元刚度矩阵 [k ] ;
3)求出整体坐标系下的单元刚度矩阵 [k ] e ; 4)按单元定位向量形成整体刚度矩阵 ? K ? ;

5)求出结构的荷载列阵 {F } ;
6)解方程 [ K ]{?} ? ?F ? ,求出结点位移{Δ}。

{F}e ? [k ]e{?}e ? {FP }e 求出各杆杆端内力。 7)按公式:

§10-7

计算步骤和算例

例1:求图示结构的内力。横梁b1×h1=0.5m ×1.26m, 立柱b2×h2=0.5m ×1m。
2 3 ② x 5 6 4 ③

1
1kN/m 6m



y
0

12m

0 0

0

0

0

解:1)编号、建立坐标

§10-7
梁的原始数据:

计算步骤和算例

2)局部坐标下的单元刚度矩阵

1 EI EA ?3 A ? 0.5, I ? , l ? 6, ? 6.94 ? 10 , ? 83.3 ?10?3 , 24 l l 2 EI 4 EI 6 EI 12 EI ? 13.9 ? 10?3 , ? 27.8 ?10?3 , 2 ? 6.94 ?10 ?3 , ? 2.31?10 ?3 l l l l3

柱的原始数据:

1 EI EA ?3 A ? 0.63, I ? , l ? 12, ? 6.94 ? 10 , ? 52.5 ? 10?3 , 12 l l 2 EI 4 EI 6 EI 12 EI ? 13.9 ?10?3 , ? 27.8 ? 10?3 , 2 ? 3.47 ? 10?3 , ? 0.58 ? 10?3 l l l l3

§10-7

计算步骤和算例

?83.3 0 0 0 ? 83.3 ? 0 2.31 6.94 0 ?2.31 ? ? 0 6.94 27.8 0 ?6.94 ① ③ [k ] ? [k ] ? ? ? ?83.3 0 0 83.3 0 ? ?2.31 ?6.94 0 2.31 ? 0 ? 0 ? 6.94 13.9 0 ?6.94

0 6.94 13.9
0 ?6.94 27.8

×10-3

§10-7
52.5 ? ? 0 ? ② ? 0 [k ] ? ? ? ? 52.5 ? 0 ? ? 0

计算步骤和算例
? 52.5 0 ? 0 ? 0.58 3.47 ? ? 0 ?3.47 13.9 ? ?×10-3 52.5 0 0 ? 0 0.58 ? 3.47 ? ? 0 ?3.47 27.8 ? 0

0 0.58 3.47 0 ? 0.58 3.47

0 3.47 27.8 0 ? 3.47 13.9

§10-7

计算步骤和算例

3)整体坐标下的单元刚度矩阵 单元①、③(α =90o)坐标转换矩阵为:
?0 ? ?1 ? ?0 ? T? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ?1 0 0 ? ? ? ? ? 0? 0? ? 1?

§10-7
1 2

计算步骤和算例
3
?6.94 0 27.8

转换后单元①、③在整体坐标下的刚度矩阵为:
0 0 0
0 4 ? 2.31 83.3 5 ? 0 ? ? ?6.94 0 ① ③6 [k ] ? [k ] ? ? 0 ? ?2.31 0 0 ? 0 ?83.3 ? 0 ? ?6.94 ? 0 4 5

?2.31 0 ?6.94 0 ?83.3 0 6.94 0 13.9
2.31 0 6.94

6.94 0 13.9

1 2 3 -3 ×10 0 6.94 0 0 83.3 0 0 27.8 0

6

0

0

0

§10-7
1? 52.5 2? 0 ? ②3 ? 0 [k ] ? ? 4 ? ? 52.5 5? 0 ? 6? 0 1

计算步骤和算例
? 52.5 0 ? 0 ? 0.58 3.47 ? ? 0 ?3.47 13.9 ? ?×10-3 52.5 0 0 ? 0 0.58 ? 3.47 ? ? 0 ?3.47 27.8 ? 0

单元②的局部坐标与整体坐标一致,因此没有必要转换。
0 0.58 3.47 0 ? 0.58 3.47 0 3.47 27.8 0 ? 3.47 13.9

2

3

4

5

6

§10-7

计算步骤和算例

4)按单元定位向量形成整体刚度矩阵 三个单元的定位向量如下:
?1 ? ?2? ? ? ?3? ① {?} ? ? ? ?0 ? ?0 ? ? ? ?0 ?

?1 ? ?2? ? ? ?3? ② {?} ? ? ? ?4? ?5 ? ? ? ?6 ?

?4? ?5 ? ? ? ?6 ? ③ {?} ? ? ? ?0 ? ?0 ? ? ? ?0 ?

把三个单元的定位向量标在整体单元刚度边上。

§10-7
1 2 1 52.5 +2.31 2

计算步骤和算例
3 4 5 6

0
0.58 +83.3 3.47

-6.94
3.47 27.8 +27.8

-52.5

0
-0.58 -3.47

0
3.47 13.9

0
-6.94 -52.5

0
0
52.5 +2.31

[K]?

3

×10-3

4
5

0
-0.58 3.47

0
-3.47
13.9

-6.94 0.58 +83.3
-3.47

0
-3.47 27.8 +27.8

0 0

0
-6.94

6

§10-7
5)求荷载列阵
(1)固端力列阵 局部坐标下的

计算步骤和算例
(2)固端力列阵 整体坐标下的 (3)等效结点 荷载列阵

?3? 1 ?0? 2 ? ? ?-3? 3 {P} ? ? ? 4 ?0? ?0? 5 ? ? ?0? 6 由于没有结点荷载,因此荷载列阵等于等效结点 荷载列阵。
?0? ?3? 1 ?3? ?0? 2 ? ? ? ? ?3? ?-3? 3 ① ① T ① {FP } ? ? ? {FP } ? ?[T ] {FP } ? ? ? ?0? ?3? 0 ?3? ?0? 0 ? ? ? ? ?-3? ?3? 0

§10-7
6)解方程
? 54.81 ? 0 ? ? ?6.94 ?3 10 ? ? ? ? 52.5 ? 0 ? ? 0

计算步骤和算例
? 52.5 0 0 54.81 0 ?6.94 ? ?u A ? ? 3 ? ? 0.58 3.47 ? ? vA ? ? 0 ? ?? ? ? ? ?3.47 13.9 ? ?? A ? ??3? ? ? ?? ?? ? ? 0 ?6.94 ? ?uB ? ? 0 ? 83.88 ? 3.47 ? ? vB ? ? 0 ? ?? ? ? ? ?3.47 55.6 ? ?? B ? ? 0 ? ? ? 0 0

? K ???? ? ?F?
0 ?6.94 3.47 55.6 0 ? 3.47 13.9

83.88 3.47 0 ? 0.58 3.47

由方程解得结点位移如下:

?u1 v1 ?1 u2 v2 ?2 ?

T

? ?847 ? 5.13 28.4 824 5.13 96.5?

T

§10-7
7)求杆端力 单元①:

计算步骤和算例

{?}① ? [847 ?5.13 28.4 0 0 0]T

{F}① ? [k ]① [T ]{?}① ? {FP}① ?
0 0 ? 83.3 ? 0 2.31 6.94 ? ? 0 6.94 27.8 10?3 ? ? 0 0 ? ?83.3 ? 0 ?2.31 ?6.94 ? 6.94 13.9 ? 0 ?83.3 0 ?? 0 0 ?2.31 6.94 ? ? ?1 ?? 0 ?6.94 13.9 ? ? 0 ?? 83.3 0 0 ?? 0 0 2.31 ?6.94 ? ? 0 ?? 0 ?6.94 27.8 ? ? 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ? ? 847 ? ? 0 ? ? ?0.43? 0 0 0 ? ??5.13? ? 3 ? ? 1.24 ? ?? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? ? 28.4 ? ? 3 ? ??2.09 ? ??? ? ? ? ? ?? 0 1 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0.43 ? ?1 0 0 ? ? 0 ? ? 3 ? ? 4.76 ? ? ? ? ? ? ?? 0 0 1 ? ? 0 ? ??3? ??8.49 ? 0

§10-7
单元②:

计算步骤和算例
T

???



? ?847 ? 5.13 28.4 824 5.13 96.5?

{F}② ? [k ]②[T ]{?}② ? {FP}② ?
0 0 ?52.5 0 0 ? ? 847 ? ? 1.24 ? ? 52.5 ? 0 0.58 3.47 0 ?0.58 3.47 ? ??5.13? ? 0.43 ? ? ?? ? ? ? ? 0 3.47 27.8 0 ?3.47 13.9 ? ? 28.4 ? ? 2.09 ? ?3 10 ? ? ??? ? ?? ?52.5 0 0 52.5 0 0 ? ? 824 ? ??1.24 ? ? ? 0 ?0.58 ?3.47 0 0.58 ?3.47 ? ? 5.13 ? ? ?0.43? ? ? ? ? ?? 3.47 13.9 0 ?3.47 27.8 ? ? 96.5 ? ? 3.04 ? ? 0

§10-7
单元③:


计算步骤和算例
T

??? ? ?824 5.13 96.5 0 0 0?
0 0 ? 83.3 ? 0 2.31 6.94 ? ? 0 6.94 27.8 ?3 10 ? ? 0 0 ? ?83.3 ? 0 ?2.31 ?6.94 ? 6.94 13.9 ? 0 ?83.3 0

{F}③ ? [k ]③ [T ]{?}③ ? {FP}③ ?
0 ?? 0 0 ?2.31 6.94 ? ? ?1 ?? 0 ?6.94 13.9 ? ? 0 ?? 83.3 0 0 ?? 0 0 2.31 ?6.94 ? ? 0 ?? 0 ?6.94 27.8 ? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ? ? 824 ? ? 0.43 ? ? ? ? 0 0 0 ? ?5.13? ??1.24 ? ?? 0 0 0 ? ?96.5? ??3.04 ? ??? ? ?? 0 1 0 ? ? 0 ? ? ?0.43? ?1 0 0 ? ? 0 ? ? 1.24 ? ? ? ? ?? 0 0 1 ? ? 0 ? ? ?4.38? 0

§10-7

计算步骤和算例

8)根据杆端力绘制内力图

{F}① ? [?0.43 1.24 ?2.09 0.43 4.76 ?8.49]T

{F}② ? [1.24 0.43 2.09 ?1.24 ?0.43 3.04]T
{F}③ ? [0.43 ?1.24 ?3.04 ?0.43 1.24 ?4.38]T

§10-7
2.09

计算步骤和算例
3.04 1.24 1.24 0.43 1.24


M图 (kN.m)
8.49 4.38

FQ图
(kN)
1.24



4.76

0.43



1.24

F N图 (kN)

0.43

§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
对图示刚架进行分析时忽略 轴向变形。 因此,1、2、3号点的竖向位 移等于零,并且水平位移相等。 1)编号及建立坐标 2)单元定位向量
{?} ? ?1 0 2 1 0 3?
① ②
T

0
1 1

2 ①

3

0

1 3 4

2




4 0,0,0

5 0,0,0

{?} ? ?1 0 2 0 0 0?

T

{?} ? ?1 0 4 0 0 0?


T

§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
3)整体坐标下的单元刚度矩阵
1 0 2 1 0 3 1 0 2 1 0 3

?k ?

300 1 0 ① 0 10 4× ? -300 2 0 0

0 0 -300 0 0 12 30 0 -12 30 30 100 0 -30 50 0 0 300 0 0 -12 -30 0 12 -30 30 50 0 -30 100
1 2

§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析

1

0

2

0

0

0 1 0 2 0 0 0

?k ? ?


12 0 -30 -12 0 -30 1 0 300 0 0 -300 0 -30 0 100 30 0 50 4× 10 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0 4 -30 0 50 30 0 100
1 4

§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析

1

0

4

0

0

0 1 0 4 0 0 0

?k ? ?


12 0 -30 -12 0 -30 3 0 300 0 0 -300 0 -30 0 100 30 0 50 4× 10 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0 5 -30 0 50 30 0 100
3 5

§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
1 2 3 4

0+12+12

0-30
100+100

0
50

-30

1 2 3

?K?

0-30
? 10 4×

0 -30

50

100
100

4

§10-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析

上述工作还可以这样处理:对考虑轴向变形的整 体刚度矩阵进行修正:把已知位移为零的行和列划掉, 把已知位移相等的行和列相加。
1 1 300+12 12+12 12 2 0 3 0-30 ? K ? ? -300 4 10 4×5 0 6 0 7 0-30 2 0 12+300 30 0 -12 30 0 3 4 5 0-30 -300 0 12 30 0 -12 100+100 0 -30 0 300+12 0 -30 0 12+300 50 0 -30 0 -30 0 6 7 0 -30 0 30 0 50 0 0 -30 -30 0 100 0 0 100

§10-9 桁架结构的整体分析
局部坐标下的单元刚度方程:

? Fx1 ? ?1 ? ? ?0 Fy1 ? EA ? ? ? ? ? l ? ?1 ? Fx 2 ? ? ? Fy 2 ? ?0 ? ?
坐标转换矩阵:

e

0 ?1 0? ? u1 ? ? ? 0 0 0? ? v1 ? ?? ? 0 1 0? ?u2 ? ?? ? 0 0 0? ? v2 ?

e

0 0 ? ? cosa sina ?-sina cosa 0 0 ? ? ?T ? = ? ? 0 0 cosa sina ? ? ? 0 -sina cosa ? ? 0

§10-9 桁架结构的整体分析
例: 求图示桁架内力(EA=常数)。 解:1)编号及坐标如图: 10kN ② 10kN 2)局部坐标下的单 元刚度矩阵 [k ]e 1,2
?1 ? EA ? 0 [k ]e ? l ? ?1 ? ?0 ?1 ?0 EA ? [k ]e ? 2l ? ?1 ? ?0 0 ?1 0 ? 0 0 0? ? e=①②③④ 0 1 0? ? 0 0 0? 0 ?1 0 ? 0,0 0 0 0? ? e=⑤⑥ 0 1 0? ? 0 0 0?

3,4

⑤ ⑥ ③ ④ l 0,0 l

x



y

§10-9 桁架结构的整体分析
3)整体坐标下的单元刚度矩阵[k]e 单元②、④α =90°

{?}② ? [1 2 3 4]T

?k

?



?? k

?



?? k

?



?? k

?



{?}④ ? [0 0 0 0]T

单元①、③α =90°
?0 0 ?0 1 ① ③ EA ? ? k ? ?? k ? ? ? l 0 0 ? ?0 ?1 0 0? 0 ?1? {?}① ? [1 2 0 0]T ? 0 0? ③ T ? {?} ? [3 4 0 0] 0 1?

§10-9 桁架结构的整体分析
单元⑤α =45° ?1 1 ?1 1 ⑤ EA ? ?k? ? 2 2l ? ?1 ?1 ? ? ?1 ?1 单元⑥α =135°
?1 ?1 1 1 ?1? ?1? ? 1? ? 1?

{?}⑤ ? [1 2 0 0]T

? 1 ?1 ?1 1 ? ? ? ⑥ EA ? ?1 1 1 ?1? ?k? ? 2 2l ? ?1 1 1 ?1? ? ? ? 1 ?1 ?1 1 ?

{?}⑥ ? [3 4 0 0]T

§10-9 桁架结构的整体分析
4)整体刚度矩阵[K]
1 2 3 4 1

?1 0 ? ?1.35 0.35 ?0.35 1.35 0 0 ? ? [K ] ? ? ? ?1 0 1.35 ?0.35? ? ? 0 ?0.35 1.35 ? ? 0
5)结点荷载列阵

2
4

EA ? 3 l

{Fj } ? [10 -10 0 0]T
1 2 3 4

§10-9 桁架结构的整体分析
6)解方程
?1 0 ? ? u1 ? ? 10 ? ?1.35 0.35 ? ? ?0.35 1.35 ? 0 0 ? ? v1 ? ??10? EA ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 1.35 ?0.35? ?u2 ? ? 0 ? l ? ?1 ? ?? ? ? 0 ?0.35 1.35 ? ? v2 ? ? 0 ? ? 0 ?

解得:
? u1 ? ? 26.94 ? ? v ? ??14.42? ? 1? ? ? l ? ??? ?? ?u2 ? ? 21.36 ? EA ? v2 ? ? 5.58 ? ? ? ? ?

§10-9 桁架结构的整体分析
7)杆端力计算
{F}① ? [k ]① [T ]{?}① ?1 ?0 ?? ? ?1 ? ?0 0 ?1 0? ? 0 0 0 0? ? ?1 ?? 0 1 0? ? 0 ?? 0 0 0? ? 0 1 0 ? ? 26.94 ? ??14.42? 0 0 0? ??14.42? ? 0 ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 0 0 1 ? ? 0 ? ? 14.42 ? ?? ? ? ? 0 ?1 0? ? 0 ? ? 0 ? 0

{F }② ? [k ]② [T ]{?}② ?1 ?0 ?? ? ?1 ? ?0 0 ?1 0? ?1 0 0 0 ? ?0 ?? 0 1 0 ? ?0 ?? 0 0 0 ? ?0 0 0 0? ? 26.94 ? ? 5.58 ? 1 0 0 ? ??14.42? ? 0 ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 0 1 0 ? ? 21.36 ? ??5.58? ?? ? ? ? 0 0 1 ? ? 5.58 ? ? 0 ?

其 它 杆 件 的 计 算 省 略 了


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