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2011年高考数学文科模拟试卷(三)


2011 年高考数学文科模拟试卷(三)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分),考试时间为 120 分 钟,满分为 150 分. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率? Pn(k)=C n pk(1-p)n-k 正棱锥、圆锥的侧面积公式 S 锥侧=
k

1 cl,其中 c 表示底面周长,l 表示斜高或母线长 2

球的表面积公式 S=4πR2,其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=

4 πR3,其中 R 表示球的半径 3

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.不等式|3x-12|≤9 的整数解的个数是 A.7 B.6 C.5 D.4 2.已知:sinα-cosα=sinαcosα,则 sin2α的值为 A. 2 -1 B.1- 2 C.2-2 2 D.2 2 -2

3.直线 L 与平面α成 45°角,若直线 L 在α内的射影与α内的直线 m 成 45°角,则 L 与 m 所成的角是 A.30° B.45° C.60° D.90° 4 3 2 4 3 2 1 4.由等式 x +a1x +a2x +a3x+a4=(x+1) +b1(x+1) +b2(x+1) +b3(x+1) +b4 定义 f(a1,a2,a3, a4)?=(b1,b2,b3,b4),则 f(4,3,2,1)等于 A.(1,2,3,4) B.(0,3,4,0) C.(-1,0,2,-2) D.(0,-3,4,-1) 5.已知圆(x-3)2+(y+4)2=r2 上至多有两点到直线 4x-3y-4=0 的距离为 1, 则半径 r 的取 值范围是 A.(0,4 ] B.(0,5) C.(0,5 ] D.[5,+∞)

6.已知 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是 A.x=1 B.x=2 C.x=-

1 2

D.x=

1 2

7.若数列{an}的前 8 项的值互异,且 an+8=an 对任意的 n∈N 都成立,则下列数列中可取 遍{an}的前 8 项值的数列为 A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 8.在直角坐标系中,到点(1,1)和直线 x+2y=3 距离相等的点的轨迹是 A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 9.若地球半径为 6370 km,地球表面北纬 30°圈上有 A、B 两个卫星地面站,它们在北

纬 30°圈上的距离为

6370 3π km,则这两地间的经度差是 3
B.

A.

π
6

π
3

C.

5π 6

D.

2π 3

10.如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有六个焊接点 A、B、C、D、E、 F,如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通.现在发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能 性共有 A.63 种 B.64 种 C.6 种 D.36 种 11.设函数 f(x)=sin

π
6

x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)的值等于

A.

1 2

B.

3 2

C.

1+ 3 2

D.0

12.设 f(x)(x∈R)为偶函数,且 f(x- [-2,0]时,f(x)等于 A.|x+4|

3 1 )=f(x+ )恒成立,x∈[2,3]时,f(x)=x,则 x∈ 2 2

B.|2-x| C.3-|x+1| D.2+|x+1| 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于___________. 14.购买手机的“全球通”卡,使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50 元, 在市内通话时每分钟另收话费 0.40 元;购买“神州行”卡,使用时不收“基本月租费” ,但 在市内通话时每分钟话费为 0.60 元. 若某用户每月手机费预算为 120 元, 则它购买_________ 卡才合算. 15. 袋中有 3 个 5 分硬币,3 个 2 分硬币和 4 个 1 分硬币,从中任取 3 个,总数超过 8 分的概率是_________.

? x 4 ? log a 2 ? ? 的展开式中 x3 的系数为 9 ,则实数 a 的值为_________. 16.已知 ? ? 2? ? x 16 ? ?
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 设 e1,e2 是两个垂直的单位向量,且 a=-(2e1+e2),b=e1-λe2. (1)若 a∥b,求λ的值; (2)若 a⊥b,求λ的值. 18.(本小题满分 12 分)

9

如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥面 ABC,BD∥AE,且 AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F 为 CD 中点.

(1)求证:EF⊥面 BCD; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 已知递增等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2、a4 的等差中项. (1)求{an}的通项公式 an; (2)若 bn=anlog 1 an,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn+n·2n+1>30 成立的 n 的最小值.
2

20.(本小题满分 12 分) 因居民住房拆迁的需要,准备在某小区建造总面积为 40000 m2 完全相同的住房若干栋. 已知面积为 M 的一栋房子,其造价是由地面部分造价和基础部分造价组成,地面部分的造 价与 M M 成正比,基础部分的造价与 M 成正比.据统计,一栋面积为 1600 m2 的住房造 价是 176.8 万元,其中地面部分的费用是基础部分的 36%,试确定:建造多少栋房子,可使 总费用最少?并求出总费用. 21.(本小题满分 12 分) 已知动点 P 与双曲线

x2 y2 ? =1 的两个焦点 F1、F2 的距离之和为定值,且 cosF1PF2 2 3

的最小值为-

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3),M、N 在动点 P 的轨迹上,且 DM =λ DN ,求实数λ的取值范围. 22.(本小题满分 14 分) 定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足:对任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

x+ y ). 1 + xy

(1)求证:函数 f(x)是奇函数; (2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数; (3)在(2)的条件下解不等式:f(x+

1 1 )+f( )>0. 2 1? x

参 考 答 案
仿真试题(三)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.解析:∵1≤x≤7. 答案:A 2.解析:两边平方. 答案:D 3.解析:利用公式 cosθ=cos45°cos45°= 答案:C 4.解析:令 x=-1,得 b4=-1,选 D. 答案:D 5.B 6.解析:∵y=f(2x+1)=f(1-2x),∴对称轴为 x=

1 . 2

1 . 2

答案:D 7.解析:∵2k+1,4k+1,6k+1 均为奇数,∴选 B. 答案:B 8.解析:∵点(1,1)在直线 x+2y=3 上. 答案:A 9..D 10.A 11. 解 析 : ∵ f(x) 的 周 期 为 12 , ∴ f(1)+f(2)+ f(3)+ … +f(2004)=0 , 又 ∵ f(2004)=0 , f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)=0. 答案:D 12.解析:根据 y=f(x)以 2 为周期,画出函数图象可得出结论. 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.18 或 11 14.神州行 15.

31 120

16.

1 16

三、解答题(17、18、19、20、21 题每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分) 17.解:(1)∵a∥b,∴a=mb,即-2e1-e2=me1-mλe2. ∴? 分 (2)∵a⊥b,∴a·b=0,(-2e1-e2)·(e1-λe2)=0 即-2(e1)2+2λe1·e2-e2·e1+λ(e2)2=0,-2+λ=0,∴λ=2. 分 18.(1)证明:取 BC 中点 G,连 FG,AG. ∵AE⊥面 ABC,BD∥AE,∴BD⊥面 ABC, 又 AG ? 面 ABC,∴BD⊥AG,又 AC=AB,G 是 BC 中点, ∴AG⊥BC,∴AG⊥平面 BCD,∵F 是 CD 的中点且 BD=2, 12

?? 2 = m, 1 解得:m=-2,λ=- . 2 ?? 1 = ? mλ.

6

∴FG∥BD 且 FG= 分

1 BD=1,∴FG∥AE. 2

2

又 AE=1,∴AE=FG,故四边形 AEFG 是平行四边形,从而 EF∥AG, ∴EF⊥面 BCD. 分 (2)解:设 AB 中点为 H,则由 AC=AB=BC=2,可得 CH⊥AB 且 CH= 3 , 又∵BD∥AE,∴BD 与 AE 共面,又 AE⊥面 ABC,故平面 ABDE⊥平面 ABC, ∴CH⊥平面 ABDE,即 CH 为四棱锥 C-ABDE 的高. 故 VC-ABDE= 分

4

1 1 1 SABDE·CH= × [ (1+2)×2]× 3 = 3 . 3 3 2

8

(3)解:过 C 作 CK⊥DE 于 K,连接 KH,由三垂线定理的逆定理得 KH⊥DE, ∴∠HKC 为二面角 C—DE—B 的平面角. 分 易知 EC= 5 ,DE= 5 ,CD=2 2 , 由 S△DCE=

9

1 1 ×(2 2 )× 3 = × 5 ×CK, 2 2 2 可得 CK= 30 ,在 Rt△CHK 中, 5

sinHKC=

CH 10 6 = ,故 cosHKC= . CK 4 4

∴面 CDE 与面 ABDE 所成的二面角的余弦值为 分 19.解:(1)设此等比数列为 a1q,a1q2,a1q3, ∴? 分 ∴a1=2,q=2,∴an=2·2n-1=2n. 分

6 . 4

12

?a1q + a1q 2 + a1q 3 = 28, ? ?a1q + a1q 3 = 2(a1q 2 + 2). ?

3

6

(2)bn=anlog 1 an=2nlog 1 2n=-n·2n,∴Sn=-(n-1)·2n+1-2.
2 2

若 Sn+n·2 分

n+1

>30,即 2n+1>32,n>4,n 的最小值是 5.

12

20.解:设建造 n 栋房子,可使总费用最少.则 M=

40000 . n

设面积为 M 的一栋房子的造价为 y=k1M M +k2 M , ∴? 分 ∴k2=

?176.8 = k1 × 1600 × 40 + 40k 2 , ?1600k1 × 40 = 40k 2 × 36%.
13 . 4

4

则总造价 W=ny=

M M k1 k 2 M 40000 ·y=40000( + ) M M M

=40000( M k1+

k2 ) M
8

≥2×40000 k1k 2 , 分 当且仅当 M=

k2 40000 160000 时取最小值,即 = . k1 n 36

∴n=9 时,W 取最小值.

36 , 160000 13 6 ∴Wmin=2×40000× × =3900. 4 400
又 k1k2=(k2)2× ∴当建造 9 栋房子时,总费用最少为 3900 万元. 21.解:(1)由题意 c2=5,设|PF1|+|PF2|=2a(a> 5 ),由余弦定理 12 分

| PF1 | 2 + | PF2 |2 ? | F1 F2 | 2 2a 2 ? 10 得 cosF1PF2= = -1. 2 | PF1 | ? | PF2 | | PF1 | ? | PF2 |
又|PF1|·|PF2|≤( 分 当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取最大值, 此时 cosF1PF2 取最小值

| PF1 | + | PF2 | 2 2 ) =a , 2

3

2a 2 ? 10 2a 2 ? 10 1 -1,令 -1=- ,解得 a2=9. 2 2 a a 9

∵c= 5 ,∴b2=4,故所求 P 的轨迹方程为 分

x2 y2 + =1. 9 4

6

(2)设 N(s,t),M(x,y),则由 DM =λ DN ,可得 (x,y-3)=λ(s,t-3),故 x=λs,y=3+λ(t-3), 分 8

s2 t 2 (λ s ) 2 (λt + 3 ? 3λ ) 2 ∵M、N 在动点 P 的轨迹上,故 + =1 且 + =1. 9 4 9 4
消去 s,可得

(λt + 3 ? 3λ ) 2 ? λ2t 2 =1-λ2, 4

13λ ? 5 . 6λ 13λ ? 5 1 又|t|≤2,∴| |≤2,解得 ≤λ≤5. 6λ 5 1 故实数λ的取值范围是[ ,5]. 5
解得 t= 分 22.(1)证明:令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0),故 f(0)=0. 分 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f( ∴f(-x)=-f(x), 即函数 f(x)是奇函数. 分 (2)证明:设 x1<x2∈(-1,1),则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

12

2

x?x )=f(0)=0. 1? x2
4

x1 ? x2 ). 1 ? x1 x2

∵x1<x2∈(-1,1), ∴x2-x1>0,-1<x1x2<1. 因此

x1 ? x2 x ? x2 <0,∴f( 1 )>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2
9

∴函数 f(x)在(-1,1)上是减函数. 分 (3)解:不等式 f(x+

1 1 1 1 )+f( )>0,化为 f(x+ )>f( ). 2 1? x 2 x ?1

∵函数 f(x)在(-1,1)上是减函数,

1 ? ?? 1 < x + 2 < 1, ? 1 ? ∴ ?? 1 < < 1, x ?1 ? 1 ? 1 ? x + 2 < x ? 1. ?
分 解得:-

11

3 <x<-1. 2 3 <x<-1 } . 2
14 分

∴原不等式的解集为{x|-



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