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2016年北京西城高三上学期期末文科数学试题及答案


2016 年北京西城高三上学期期末文科数学试题及答案

北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷

高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2016.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出

符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? a} ,集合 B ? {?1,1, 2},若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围是( (A) (1, ??) (B) (??,1) (C) (?1, ??) ) (C) y ?| x | ) (D) y ? x cos x (D) (??, ?1) )

2. 下列函数中,值域为 [0, ??) 的偶函数是( (A) y ? x2 ? 1 (B) y ? lg x

???? ? ???? ? ???? ? 3.设 M 是 ?ABC 所在平面内一点,且 BM ? MC ,则 AM ? (
(A)AB ? AC

??? ? ??? ?

(B)AB ? AC

??? ? ??? ?

? ???? 1 ??? (C) ( AB ? AC ) 2

? ???? 1 ??? (D) ( AB ? AC ) 2


4.设命题 p:“若 e x ? 1 ,则 x ? 0 ”,命题 q:“若 a ? b ,则 (A)“ p ? q ”为真命题 (C)“ ? p ”为真命题 5. 一个几何体的三视图如图所示,那么 这个几何体的表面积是( (A) 16 ? 2 3 (B) 16 ? 2 5 (C) 20 ? 2 3 (D) 20 ? 2 5 1 1 俯视图 6. “ mn ? 0 ”是“曲线 ) 2

1 1 ? ”,则( a b

(B)“ p ? q ”为真命题 (D)以上都不对

正(主)视图

2 侧(左)视图

x2 y 2 ? ? 1 是焦点在 x 轴上的双曲线”的( m n



(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

? y ? x≤1, ? 7. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y≤3, 若 z ? x ? 3 y 的最大值与最小值的差为 7,则实数 m ? ? y≥m, ?
( )

(A)

3 2

(B) ?

3 2

(C)

1 4

(D) ?

1 4

8. 某市乘坐出租车的收费办法如下: 不超过 4 千米的里程收费 12 元; 超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费); 当车程超过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x (单位:千米)为行驶里程, y (单位: 元)为所收费用,用[x]表示不大于 x 的最大整数, 1 处应填( 则图中○ ) 输入 x 是 1 ○ 开始

1 (A) y ? 2[ x ? ] ? 4 2 1 (B) y ? 2[ x ? ] ? 5 2 1 (C) y ? 2[ x ? ] ? 4 2 1 (D) y ? 2[ x ? ] ? 5 2

x?4

否 y=12

输出 y 结束

第Ⅱ卷 (非选择题

共 110 分)
频率 组距

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ? 4i ,那么 z ? ____. 10 . 若 抛 物 线 C:y 2 ? 2 px 的 焦 点 在 直 线 x ? y ? 3 ? 0 上 , 则 实 数
a 0.4

p ? ____;抛物线 C 的准线方程为____.
11.某校某年级有 100 名学生,已知这些学生完成家庭作业的时间均
0.1 O 0.5 1.5 2.5 3.5 时间(小时)

在区间 [0.5, 3.5) 内 (单位: 小时) , 现将这 100 人完成家庭作业的时间分为 3 组: [0.5, 1.5) ,

[1.5, 2.5) , [2.5, 3.5) 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.在这 100 人中,采用分
层抽样的方法抽取 10 名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性,则在抽取样本中, 完成作业的时间小于 2.5 个小时的有_____人. y 12. 已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示, 若不等式 ?2 ? f ( x ? t ) ? 4 的解集为 (?1, 2) ,则实数 t 的值为____. 13. 在 ? ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c. 若 O -2 4 3

x

π sin A ? cos( ? B) , a ? 3 , c ? 2 ,则 cos C ? ____; ? ABC 的面积为____. 2
14. 某食品的保鲜时间 t(单位:小时)与储藏温度 x(恒温,单位: ? C )满足函数关系

x≤0, ?64, ? t ? ? kx ?6 且该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时. 2 , x ? 0. ?
1 ○ 2 ○
? 该食品在 8 C 的保鲜时间是_____小时;

已知甲在某日上午 10 时购买了该食品,并将其遗

放在室外, 且此日的室外温度随时间变化如图所示, 那么到 了此日 13 时,甲所购买的食品是否过了保鲜时间______. (填“是”或“否”)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等比数列,并且 a1 , a2 ? 1, a3 是公差为 ?3 的等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? a2n ,记 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,证明: S n ?
16 . 3

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? 3 cos x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? (0, π) ,求函数 f ( x) 的单调增区间.
3 , x?R . 2

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 135? ,侧面 PAB ? 底 面 ABCD , ?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 6 , E , F 分别为 BC , AD 的中点,点 M 在线段 PD 上. (Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ) 若 M 为 PD 的中点, 求证:ME // 平面 PAB ; (Ⅲ)当
PM 1 ? 时,求四棱锥 M ? ECDF 的体积. MD 2

P M A D

F C

B

E

18.(本小题满分 13 分) 甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命 中目标得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下: 甲 乙 6 7 6 9 9 9
y

x

(Ⅰ)已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时,此局得分小于 6 分的概率不为零,且在 4 局比赛中,乙的平均得分高于甲的平均得分,求 x ? y 的值; (Ⅱ)如果 x ? 6 , y ? 10 ,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,并将其得分 分别记为 a , b ,求 a≥b 的概率; (Ⅲ)在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 x 的所 有可能取值.(结论不要求证明)

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,且 l 与圆 x2 ? y 2 ? 5 的相交于不在坐 标轴上的两点 P1 , P2 ,记直线 OP 2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证: k1 ? k 2 为定值. 1 , OP

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 上,O 为坐 2 2 2 a b

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 x ?

1 ,直线 l:y ? kx ? 1 . x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)求证:对于任意 k ? R ,直线 l 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅲ)试确定曲线 y ? f ( x) 与直线 l 的交点个数,并说明理由.

北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2016.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.C 6.B 3.D 7.C 4.B 8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?1 ? 3i 11. 9 13.
7 9

10. 6 12. 1
2 2

x ? ?3

14.4



注:第 10,13,14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设等比数列 {an } 的公比为 q , 因为 a1 , a2 ? 1, a3 是公差为 ?3 的等差数列,
?a2 ? 1 ? a1 ? 3, 所以 ? ?a3 ? (a2 ? 1) ? 3,

?????? 2


?a1q ? a1 ? ?4, 即? 2 ?a1q ? a1q ? ?2,

?????? 3

分 解得 a1 ? 8, q ? 分
1 . 2

?????? 5

1 n ?1 n ?1 4?n 所以 an ? a1q ? 8 ? ( ) ? 2 . 2 bn ?1 a2 n ? 2 1 ? ? , (Ⅱ)证明:因为 bn a2 n 4
1 所以数列 {bn } 是以 b1 ? a2 ? 4 为首项, 为公比的等比数列. 4

?????? 7 分

?????? 8 分

1 4[1 ? ( )n ] 4 所以 S n ? 1 1? 4

? 16 1 16 [1 ? ( ) n ] ? . 3 4 3

?????? 11

?????? 13



16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x) ? cos x(sin x ? 3 cos x) ?
? sin x cos x ? 3 2

3 (2 cos 2 x ? 1) 2

?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?????? 4


π ? sin(2 x ? ) , 3

?????? 6

分 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 分
π π π (Ⅱ)解:由 2kπ ? ≤2x ? ≤2kπ+ , k ? Z , 2 3 2
2π =π . 2

?????? 8

?????? 9

分 得 kπ ?
5π π ≤x≤kπ+ , 12 12 5π π ,kπ+ ] , k ? Z . 12 12

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? 分

?????? 11

π 7π 所以当 x ? (0, π) 时, f ( x) 的增区间为 (0, ] , [ , π) . 12 12

?????? 13


π 7π (注:或者写成增区间为 (0, ) , ( , π) . ) 12 12

17.(本小题满分 14 分)

(Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,因为 AB ? AC , ?BCD ? 135? , 所以 AB ? AC . 由 E , F 分别为 BC , AD 的中点,得 EF //AB , 所以 EF ? AC . 分 因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90? , 所以 PA ? 底面 ABCD . 分 又因为 EF ? 底面 ABCD , 所以 PA ? EF . 分 又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 EF ? 平面 PAC . 分 (Ⅱ)证明:因为 M 为 PD 的中点, F 分别为 AD 的中点, 所以 MF //PA , 又因为 MF ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB , 所以 MF // 平面 PAB . 同理,得 EF // 平面 PAB . 又因为 MF ? EF =F , MF ? 平面 MEF , EF ? 平面 MEF , 所以平面 MEF // 平面 PAB . 又因为 ME ? 平面 MEF , 所以 ME // 平面 PAB . 分 (Ⅲ)解:在 ?PAD 中,过 M 作 MN //PA 交 AD 于点 N (图略), 由 ??????9 分 B A F D ??????7 分 P M ??????5 ??????3 ??????2 ??????1

C E ??????10

PM 1 MN 2 ? ,得 ? , MD 2 PA 3

又因为 PA ? 6 , 所以 MN ? 4 , 分 ?????? 12

因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 MN ? 底面 ABCD ,

1 1 6?6 所以四棱锥 M ? ECDF 的体积 VM ? ECDF ? ? S? ECDF ? MN ? ? ? 4 ? 24 . ?? 14 分 3 3 2

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 7 ? 9 ? x ? y ? 6 ? 6 ? 9 ? 9 ,即 x ? y ? 14 . 4 4 分 因为在乙的 4 局比赛中,随机选取 1 局,则此局得分小于 6 分的概率不为零, 所以 x, y 中至少有一个小于 6, 又因为 x≤ 10, y≤ 10 ,且 x, y ? N , 所以 x ? y≤15 , 所以 x ? y ? 15 . 分 (Ⅱ)解:设 “从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局,且得分满足 a≥b ”为事件 M , ?????? 6 分 记甲的 4 局比赛为 A1 , A2 , A3 , A4 ,各局的得分分别是 6,6,9,9;乙的 4 局比 赛 为 B1 , B2 , B3 , B4 ,各局的得分分别是 7,9,6,10. ?????? 5 ?????? 4 分 ?????? 2

( A1, B1 ) , 则从甲、 乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局, 所有可能的结果有 16 种,它们是: ( A1, B2 ) , ( A1, B3 ) , ( A1, B4 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , B4 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) ,
( A3 , B3 ) , ( A3 , B4 ) , ( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) , ( A4 , B3 ) , ( A4 , B4 ) .
分 而事件 M 的结果有 8 种,它们是: ( A1 , B3 ) , ( A2 , B3 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( A3 , B3 ) , ?????? 7

( A4 , B1 ) , ( A4 , B2 ) , ( A4 , B3 ) ,

?????? 8

分 因此事件 M 的概率 P ( M ) ? 8 ? 1 . 16 2 分 (Ⅲ)解: x 的可能取值为 6 , 7 , 8 . 分 ?????? 13 ?????? 10

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由题意,得 分 又因为点 A(1,
3 ) 在椭圆 C 上, 2
c 3 , a 2 ? b2 ? c 2 , ? a 2

?????? 2

所以 12 ? 32 ? 1 ,
a 4b

?????? 3

分 解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为 分 (Ⅱ)证明:当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 . 易得直线 OP 2 的斜率之积 k1 ? k2 ? ? 1 , OP 4
x2 ? y2 ? 1. 4

?????? 5

????? 6

分 当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m . 分 ????? 7

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4


得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ,

?????? 8

因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0,即 m2 ? 4k 2 ? 1 . 分 ?????? 9

? y ? kx ? m, 由方程组 ? 2 2 ? x ? y ? 5,


得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? 5 ? 0 ,

?????? 10

设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 分 所以 k1 ? k2 ?

?2km m2 ? 5 , , x ? x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

?????? 11

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? 5 ?2km ? km ? 2 ? m2 2 m 2 ? 5k 2 k ?1 k ?1 ? , m2 ? 5 m2 ? 5 k2 ?1

?????? 13

分 将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,

?k 2 ? 1 1 ?? . 2 4k ? 4 4 1 综上, k1 ? k2 为定值 ? . 4
得 k1 ? k2 ? 分

?????? 14

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) 定义域为 {x | x ? 0} , 分 求导,得 f ?( x) ? 2 ? 分 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化情况如下表所示:
2 , x3

?????? 1

?????? 2

x
f ?( x )

(??, 0)

(0,1)

1

(1, ??)

?


?


0

?


f ( x)

所以函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (??, 0) , (1, ??) ,单调减区间为 (0,1) , ?????? 3

分 所以函数 y ? f ( x) 有极小值 f (1) ? 3 ,无极大值. 分 (Ⅱ)证明:假设存在某个 k ? R ,使得直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切, 分
1 2 ) ,又因为 f ?( x) ? 2 ? 3 , x0 2 x 2 所以切线满足斜率 k ? 2 ? 3 ,且过点 A , x0

?????? 4

?????? 5

设切点为 A( x0 , 2 x0 ?

所以 2 x0 ? 分 即

1 2 ? (2 ? 3 ) x0 ? 1 , 2 x0 x0

?????? 7

3 ? ?1 ,此方程显然无解, x0 2

所以假设不成立. 所以对于任意 k ? R ,直线 l 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线. 分 (Ⅲ) 解: “曲线 y ? f ( x) 与直线 l 的交点个数” 等价于 “方程 2 x ? 由方程 2 x ? 分 令t ?
1 ,则 k ? t 3 ? t ? 2 ,其中 t ? R ,且 t ? 0 . x

?????? 8

1 ? kx ? 1 的根的个数” . x2
?????? 9

1 1 1 ? kx ? 1 ,得 k ? 3 ? ? 2 . 2 x x x

考察函数 h(t ) ? t 3 ? t ? 2 ,其中 t ? R , 因为 h?(t ) ? 3t 2 ? 1 ? 0 时, 所以函数 h(t ) 在 R 单调递增,且 h(t ) ? R . 分 而方程 k ? t 3 ? t ? 2 中, t ? R ,且 t ? 0 . 所以当 k ? h(0) ? 2 时,方程 k ? t 3 ? t ? 2 无根;当 k ? 2 时,方程 k ? t 3 ? t ? 2 有且仅有 一 根, 故当 k ? 2 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 l 没有交点,而当 k ? 2 时,曲线 y ? f ( x) 与直线
l有

?????? 11

且仅有一个交点. 分

?????? 13


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