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指数对数函数


1.指数函数
【热点难点全析】
一、幂的运算的一般规律及要求 1.相关链接 (1)分数指数幂与根式根据 a n ? n am (a>0, m, n ? N* , 且n>1) 可以相互转化.
2 1

m

(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 a 4

写成 a 2 等必须认真考查

a 的取值才能决定,如

? ?1? 4 ? 4 ? ?1?

2

2

? 1, 而 ? ?1? 2 ? ?1 无意义.

1

(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式, 并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算 性质进行运算. (4)指数幂的一般运算步骤:有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成 正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若 是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质. 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 (1)化简原则 ①化根式为分数指数幂; ②化负指数幂为正指数幂; ③化小数为分数; ④注意运算的先后顺序. 注:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于 0,否则不能用性质运算。 (2)结果要求 ①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; ②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; ③结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂。

1

2.例题解析

a ? 8a b
〖例 1〗 (1)化简: 4b ? 2 ab ? a
3 2 3 2 3

4 3

1 3

? (a

?

2 3

23 b a ? 3 a2 ? )? 5 a a ?3 a



? ? 3 ? 4 [(3 ) 3 (5 ) 0.5 ? (0.008) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.06250.25 8 9 (2)计算:

2

2

1

1

2

二、指数函数的图象及应用 1.相关链接 (1)图象的变换

(2)从图象看性质 函数的图象直观地反映了函数的基本性质 ①图象在 x 轴上的身影可得出函数的定义域; ②图象在 y 轴上的身影可得出函数的值域; ③从左向右看,由图象的变化得出增减区间,进而得出最值; ④由图象是否关于原点(或 y 轴)对称得出函数是否为奇(偶)函数; ⑤由两个图象交战的横坐标可得方程的解。 (3)应用指数函数图象研究指数型函数的性质: 对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象, 通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解. (4)利用图象解指数型方程、不等式: 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型 函数图象数形结合求解.

3

2.例题解析 〖例 1〗已知 f(x)=|2x-1| (1) 求 f(x)的单调区间.(2)比较 f(x+1)与 f(x)的大小.(3)试确定函数 g(x)=f(x)-x2 零点的个数.

〖例 2〗已知函数 y=( (1) 作出图象;

1 |x+1| ) 。 3

(2) 由图象指出其单调区间; (3) 由图象指出当 x 取什么值时函数有最值。

4

三、指数函数的性质及应用 1、相关链接 (1)与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 ①函数 y=af(x)的定义域与 y=f(x)的定义域相同; ②先确定 f(x)的值域,再根据指数函数的值域、单调性,可确定 y=af(x)的值域; (2)与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①求复合函数的定义域; ②弄清函数是由哪些基本函数复合而成的; ③分层逐一求解函数的单调性; ④求出复合函数的单调区间(注意“同增异减” ) 。 利用指数函数的性质可求解的问题及方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函 数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.

2、例题解析 〖例 1〗(1)函数 y ? (2)函数 f ? x ? ? ( )

32x ?1 ?

1 的定义域是______. 27

1 3

? x 2 ? 4x ? 3

的单调递减区间为______,值域为______.

(3)(2012·金华模拟)已知函数 f ? x ? ?

ax ? 1 (a>0 且 a≠1) ax ? 1

①求 f(x)的定义域和值域;②讨论 f(x)的奇偶性;③讨论 f(x)的单调性.

5

〖例 2〗如果函数 f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0 且 a≠1)在区间 ?0, ??? 上是增函数,求实数的取值范围

6

四、指数函数的综合应用 〖例 1〗已知 f(x)=

a (ax-a-x)(a>0,a≠1). a ?1
2

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

方法指导:1.判断函数的奇偶性,先看函数的定义域是否关于原点对称,再看 f(-x)与 f(x)之间的关 系; 2.在利用指数函数的性质解决相关的综合问题时,要特别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分 类讨论; 3.解决恒成立问题,一般需通过分离变量,通过转化为求函数的最值来实现. 4.解决与指数函数有关的综合问题时,除用研究函数图象与性质的相关知识及相关问题的处理方法外, 同时,要适时地用指数函数的图象与性质. 5.关于非具体函数(或具体函数)的不等式,往往先根据函数的单调性,将函数值间的不等式转化为 自变量间的不等式.

7

2.对数函数
【热点难点全析】
一、对数式的化简与求值 对数的化简与求值的基本思路

第一节 利用换底公式及

,尽量地转化为同底的和、差、积、商运算;

第二节 利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转化为对数真数的积、商、幂再运算; 第三节 约分、合并同类项,尽量求出具体值。 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对 数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用 对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 〖例 1〗计算 第四节 (lg 2) ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ;
2

(2)

(log3 2 ? log9 2) ? (log4 3 ? log8 3) ;

lg 5 ? lg 8000? (lg 2 3 ) 2 1 1 lg 600 ? lg 0.036 ? lg 0.1 2 2 (3)

8

二、比较大小 1、相关链接 (1)比较同底的两个对数值的大小,可利用对数函数的单调性来完成。 ①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则 logaf(x)>logag(x) ? f(x)>g(x)>0; ②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则 logaf(x)>logag(x) ? 0<f(x)<g(x) (2)比较两个同真数对数值的大小,可先确定其底数,然后再比较。 ①若 a>b>1,如图 1. 当 f(x)>1 时,logbf(x)>logaf(x);当 0<f(x)<1 时,logaf(x)> logbf(x).

②若 1>a>b>0,如图 2。 当 f(x)>1 时,logbf(x)> logaf(x);当 1>f(x)>0 时,logaf(x)> logbf(x). ③若 a>1>b>0。 当 f(x)>1 时,则 logaf(x)> logbf(x);当 0<f(x)<时,则 logaf(x)<logbf(x). (3)比较大小常用的方法 ①作差(商)法;②利用函数的单调性;③特殊值法(特别是 1 和 0 为中间值) 2、例题解析 〖例〗对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a) ? log a ( a ? ); ② log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) ; ③a
1? a

1 a

1 a

?a

1?

1 a

;④a

1? a

?a

1?

1 a

; 其中成立的是( )

( )①与③( )①与④( )②与③( )②与④ 注: (1)画对数函数图象的几个关键点 共有三个关键点: (2)解决与对数函数有关的问题时需注意两点 ①务必先研究函数的定义域; ②注意对数底数的取值范围。 (3)比较对数式的大小 ①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较; ②当底数不同,真数相同时,可转化为同底(利用换底公式)或利用函数的图象,数形结合解决; ③当不同底,不同真数时,则可利用中间量进行比较。
9

三、对数函数图象与性质 1、相关链接 (1)对数函数的性质是每年高考必考内容之一,其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调 性取决于底数与“1”的大小关系。 (2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法” 。即把不同底 的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决。 (3)与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 ①确定定义域; ②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x) ③分别确定这两个函数的单调区间; ④若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函数,即“同增异 减” 。 2、例题解析 〖例 1〗已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1) (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

方法提示:利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法 第五节 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的; 第六节 当外函数为对数函数时,找出内函数的定义域; 第七节 分别求出两函数的单调区间; 第八节 按照“同增异减”确定函数的单调区间; 第九节 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。
10

〖例 2〗设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

(1)求 f ?x ? 的单调区间;

?1 ? x ? ? ? 1, e ? 1? ?e ? 时,(其中 e ? 2.718 ? )不等式 f ?x? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若当
(3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数.
2

注:解决对数函数问题,首先要看函数的定义域,在函数的定义域内再研究函数的单调性,判断时可 利用定义,也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。
11

四、对数函数的综合应用
1? x ?x 〖例 1〗已知函数 f(x)=-x+ log 1 2 .

(1)求 f(

1 1 )+f()的值; 2012 2012

(2)当 x∈(-a,a] ,其中 a∈(0,1) ,a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若存在,求出 f(x)的最 小值;若不存在,请说明理由.

方法提示: (1)求 f(a)+f(-a)的值,常常联想到函数的奇偶性,因此,解此类问题一般先判断奇偶性,再求值. (2)求形如 f(2 012),f(2 011)的值往往与函数的周期性有关,求此类函数值一般先研究函数的周期性 (3)已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函数的单调性

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〖例 2〗 (12 分)已知过原点 O 的一条直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 、 两点,分别过 、 作 y, 轴的平行线与函数 y ? log8 x 的图象交于 、 两点。 第十节 证明点 、 和原点 O 在同一直线上; 第十一节 当 平行于 x 轴时,求点 的坐标。

注:在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到 x1 与 x2 关系无法进行正确地转化,并且求解坐标进 忽略函数定义域的情况,导致此种错误的原因是:没有正确地理解题意,没有熟练地掌握三点共线与斜率 相等的关系,或对 x1 、 x2 的范围没有搞清楚。 注:本题是典型的在知识交汇点处的命题,若用传统方法设直线方程,解方程组求交点必然思路受阻, 而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。 方法提示: 解决对数函数综合问题的方法

无论讨论函数的性质,还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞); (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行; (3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. (4)在处理与对数函数有关的问题时,应注意底数的取值范围对解决问题的影响,以及真数为正的限制 条件.

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