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江苏省扬州中学2016届高三上学期1月质量监测 数学 Word版含答案


扬州中学高三数学综合练习
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A ? {2,3}, B ? {1, a}, 若A ? B ?{2}, 则A ? B ? 2. 若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 (其中 i 为虚单位) ,则 z ? ▲ ▲ . ▲ ▲ .

2016.1.3

3.一组数据 8,12,x,11,9 的平均数是 10,则这样数据的方差是 4.从 ??1,1? 内任意取两个实数,这两个数的平方和小于 1 的概率为 5.如图是一个算法的流程图, 则最后输出的 S ? ▲ .

. .

6.在等比数列 ?an ? 中, a3a7 ? 8 , a4 ? a6 ? 6 , 则 a2 ? a8 ? ▲ .
2

7.用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮制作一 无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计) , 则该容器盛满水时的体积是 ▲ cm .
3



8.设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若m / / n, n ? ? , 则m / /? ② 若m ? ? , n ? ? , m / / ?,n / / ?,则? / / ? ③ 若? / / ? , m ? ? , n ? ?,则m / / n ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ; 其中正确命题的序号为 ▲ .

9.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线
3

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的焦点到一条渐近线 l 的 a 2 b2
2

距离为 4, 若渐近线 l 恰好是曲线 y ? x ? 3x ? 2x 在原点处的切线, 则双曲线的标准方程 为 ▲ .

10. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 满 足 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0, f ? x ?1? ? f ? x ?1? , 当

x ??0,1 ? 时, f ( x) ? 3x ?1,则 f (log 1 12) 的值为
3





? 11.在等腰梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 3 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 ,则 AC ? BD 的

???? ??? ?

值为





12.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上, ?ABC 的三个顶点都在抛物线上,并且

?ABC 的重心是抛物线的焦点, BC 边所在的直线方程为 4 x ? y ? 20 ? 0 ,则抛物线的方程
为 ▲ .

13. 设函数 f ( x) ? x ? 2x ? a ,若函数 y ? f [ f ( x)] 恰好有两个不同的零点,则实数 a 的取
2

值范围为





14. 已知 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角 , 向量 ? ? (cos

A? B A? B , 3 sin ) , | ? |? 2 . 2 2
| MC | | AB |
的最大值是

如果当 C 最大时,存在动点 M , 使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? ? sin 2 x, 2cos x ? , n ? (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ? A? ? 1, b ? 1, ?ABC 的面积 为

?

?

?

? ? 3, cos x ? x ? R ? ,函数 f ( x) ? m ? n ? 1 ,

?

3 ,求 a 边的长度. 2

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB ,PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中 点. (1)求证: 平面 ADC ? 平面 PBC ; (2)若 F 在线段 AC 上,且 AD // 平面 PEF ,求
P

AF 的值. FC
A

D F E B C

17.(本小题满分 14 分) 如图所示的一个不规则形铁片, 其缺口边界是口宽 4 分米, 深 2 分米 (顶点至两端点 A, B 所在直线的距离)的抛物线形的一部分,现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形. (1)若保持其缺口宽度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值; (2)若保持其缺口深度不变,求裁剪后梯形缺口面积的最小值.

18. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 F1 , F2 分别是椭圆的左、右 2 a b 2

焦点, P 为椭圆上一动点(异于左右顶点) , ?PF1 F2 面积的最大值为 1. (1)求椭圆的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆相切,证明:满足条件的所有矩形的顶点都 在一个定圆上,并写出该定圆的方程.
y

x F1 o F2

图(6)

19.(本小题满分 16 分)

5 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2
(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时 成立,求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在 点 B 处作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? ,使 得 k2 ? ? k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n} 满足 a1 ? x , a2 ? 3x , Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {a n} 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项公式 a n ; (ⅱ)设数列 {bn } 满足 b1 ?

1 2 2 , bn?1 ? bn ? bn , ? n ? N* , k ? N* ? , 2 ak ? 1

求证:当 n ? k 时都有 bn ? 1. (2)若对任意 n ? N* ,不等式 an ? an?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

高三数学附加题
(满分 40 分,考试时间 30 分钟)

2016.1

21. (选修 4-2:矩阵与变换) ?0 a?满足:Mα =λ α ,其中 λ (i=1,2)是互不相等的实常数,a (i=1,2)是非 已知矩阵 M=? ? i i i i i ?b 0? ?1? 零的平面列向量,λ1=1,α2=? ?,求矩阵 M. ?1?

22.(选修 4-4:坐标系与参数方程) π 在极坐标系中,设直线 θ= 与曲线 ρ2-10ρcosθ+4=0 相交于 A、B 两点,求线段 AB 中点 3 的极坐标.

23. 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局 1 2 甲队获胜的概率是 外, 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立. 2 3 (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2, 则胜利方得 2 分、对方得 1 分.求甲队得分 X 的分布列及数学期望.

24. 已知整数 n≥3, 集合 M={1, 2, 3, …, n}的所有含有 3 个元素的子集记为 A1, A2, A3, …,

AC3 ,设 A1,A2,A3,…, AC3 中所有元素之和为 Sn.
n n

(1) 求 S3,S4,S5,并求出 Sn; (2)求和:S3+S4+S5+…+Sn. (注:可用组合数表示)

扬州中学高三数学试卷答案 2016.1.3
1. ?1, 2,3? 6. 9 2. 1 ? i 7. 3. 8.④

2

4.

1000 ? cm 3 3

? 4 x2 y 2 ? ?1 9. 4 16

5.36 10. ?

1 3

11. 3

12. y ? 16 x
2

13. (

? 5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

14.

2 3? 2 4

15.

又? AD ? 平面 ADC ? AD ? 平面 ADC ? 平面 PBC

17. 解: (1) 以抛物线顶点为原点, 对称轴为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 则 A(?2, 2), B(2, 2) ,

1 2 x , x ?? ?2, 2? . 2 因为抛物线在点 B 处的切线斜率 k ? y? x?2 ? 2 , 所以,切线方程为 y ? 2 x ? 2 ,与 x 轴的交点为 (1, 0) .
从而边界曲线的方程为 y ?

1 ? (2 ? 4) ? 2 ? 6 平方分米,即为所求. ………………6 分 2 1 2 (2)设梯形腰所在直线与抛物线切于 P ( x0 , x0 ) 时面积最小. 2 1 2 此时,切线方程为 y ? x0 ? x0 ( x ? x0 ) , 2 1 x 2 ?4 其与直线 y ? 2 相交于 ( 0 , 2) ,与 x 轴相交于 ( x0 , 0) . 2 2 x0
此时梯形的面积 S ? 此时,梯形的面积 S ?

1 x02 ? 4 4 ( ? x0 ) ? 2 ? 2 x0 ? , x0 ? ? 0, 2? .……11 分 2 x0 x0

(这儿也可以用基本不等式,但是必须交代等号成立的条件)

S? ? 2 ?

? 当 x ??

4 =0,得 x0 ? 2 , x0 2

当 x0 ? 0, 2 ? 时, S ? f ( x0 ) 单调递减;

? 2, 2 ? 0 ? 时, S ? f ( x0 ) 单调递增, 故,当 x0 ? 2 时,面积有最小值为 4 2 .
18. 解: (1)椭圆 C 的方程为

………………14 分

x2 ? y 2 ? 1 .…………5 分 2 x2 (2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 ? y 2 ? 1 的外切矩形, 2

(i) 若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点满足 x2 ? y 2 ? 3 . …………6 分 (ii) 若 矩 形 ABCD 的 边 与 坐 标 轴 不 平 行 , 则 可 设 一 组 对 边 所 在 直 线 的 方 程 为 ? x 2 ? y 2 ? 1, ? 2 2 2 y ? kx ? m(k ? 0) ,则由 ? 2 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0 , ? ? y ? kx ? m 于是 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? 2k 2 ? 1 .
2 2 2 2

所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? 2k 2 ? 1 ,即 y ? kx ? ? 2k 2 ? 1 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 2 ? k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx)2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,即 x2 ? y 2 ? 3 . 综上得,满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上. …………16 分 注:仅写成结果 x2 ? y 2 ? 3 而没有过错的给 1 分。 19.(1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) . 1 1 令 f ?(x)<0,解得 ?2 ? x ? ,所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) .………4 分 3 3 2 ?3 x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? 2 ? (2) f ( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2 5 得 2 x03 ? x02 ? x0 ? b ? 0 有唯一解.……………6 分 2 5 令 g ( x) ? 2x3 ? x2 ? x ,则 g ?( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2x ? 1)(3x ? 1) , 2

1 1 1 1 所以 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 (? , ? ) 上是减函数, 2 3 2 3 1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g ( ? ) ? ? , 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) ? (? , ??) .…………9 分 54 8 (3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 5 即 ( x ? x0 )2 [ x ? (2 x0 ? )] , 2 5 所以 B 点的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) . 2 5 25 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2x0 ? ) ? 12 x02 ? 20 x0 ? ?a, 2 4 25 若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12x02 ? 20 x0 ? ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ? , 4 ?4 ? ? ? 0, 25 ? 所以 ? 解得 ? ? 4 , a ? . 25 12 (? ? 1)a ? ? 0. ? ? 4 25 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ; 12 25 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 .…………16 分 a? 12 20.(1)(ⅰ)因为 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即 a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14 ,又 a1 ? x, a2 ? 3x ,所以 a3 ? 14 ? 9 x , 又因为数列 {a n} 成等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? ?14 ? 9 x ? ,解得 x ? 1 ,
故a ? 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 n ? N* ;……4 分

?

?

2 2 1 2 bn ? bn ? bn ? bn ? bn , ak ? 1 k ∴ {bn } 是单调递增数列,故要证当 n ? k 时, bn ? 1,只需证 bk ? 1. 1 当 k ? 1 时 , b1 ? ? 1 ,显然成立; 2 1 2 当 k ? 2 时,∵ bn?1 ? bn ? 0 , bn ?1 ? bn ? bn , k 1 1 1 1 ∴ bn ?1 ? bn ?1bn ? bn ,∴ ? ?? . k bn?1 bn k k 1 1 k ?1 1 k ?1 k ?1 ?1. ∴累加得 ? ? ? ,即 ∴ bk ? ?? ?2? k ?1 bk b1 k bk k k 综上,当 n ? k 时有 bn ? 1. ………………………9 分
(ⅱ)∵ bn ?1 ? (2)由 Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) 知 Sn?2 ? Sn?1 ? Sn ? 3? n ? 1? ? 2(n ? N* ) ,
2

两式作差,得 an? 2 ? an?1 ? an ? 6n ? 3(n ≥ 2, n ? N* ) ,……………10 分 所以,当 n ? 1 时, an ? a1 ? x ;

所以 an?3 ? an? 2 ? an?1 ? 6 ? n ? 1? ? 3(n ? N* ) ,作差得 an?3 ? an ? 6(n ≥ 2, n ? N* ) ,…11 分

当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a2 ? ? k ? 1? ? 6 ? 3x ? 6k ? 6 ? 2n ? 3x ? 4 ; 当 n ? 3k 时, an ? a3k ? a3 ? ? k ? 1? ? 6 ? 14 ? 9x ? 6k ? 6 ? 2n ? 9 x ? 8 ; 当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a4 ? ? k ? 1? ? 6 ? 1 ? 6x ? 6k ? 6 ? 2n ? 6x ? 7 ;…14 分 因为对任意 n ? N* , an ? an?1 恒成立,所以 a1 ? a2 且 a3k ?1 ? a3k ? a3k ?1 ? a3k ? 2 ,
? x ? 3x ?6 k ? 3 x ? 6 ? 6 k ? 9 x ? 8 13 7 ? 所以 ? ,解得, ? x ? , 15 6 ?6 k ? 9 x ? 8 ? 6 k ? 6 x ? 5 ? ?6 k ? 6 x ? 5 ? 6 k ? 3 x ? 13 7 ? 故实数 x 的取值范围为 ? , ? . ……16 分 ? 15 6 ?

高三数学附加题参考答案
21. 解:由题意,λ1,λ2 是方程 f(λ)=?

2016.1

?λ -a? 2 ?=λ -ab=0 的两根. ?-b λ?

因为 λ1=1,所以 ab=1. ①(2 分) 因为 Mα2=λ2α 2,所以?
?a=λ2, ?0 a??1?=λ ?1?,从而? ? (5 分) ?? ? 2? ? ?b 0??1? ?1? ?b=λ2. ?

所以 λ2 2=ab=1. 因为 λ1≠λ2,所以 λ2=-1.从而 a=b=-1.(8 分) 故矩阵 M=?

? 0 -1? ?.(10 分) 0? ?-1

π 22. 解:(解法 1)将直线 θ= 化为普通方程,得 y= 3x, 3 将曲线 ρ2-10ρcosθ+4=0 化为普通方程,得 x2+y2-10x+4=0,(4 分)

?y= 3x, 1 联立? 2 2 并消去 y,得 2x2-5x+2=0,解得 x1= ,x2=2, 2 ?x +y -10x+4=0
x1+x2 5 5 所以 AB 中点的横坐标为 = ,纵坐标为 3,(8 分) 2 4 2

5 π 化为极坐标为? , ?.(10 分) ?2 3 ? π ? ?θ=3, (解法 2)联立直线 l 与曲线 C 的方程组? (2 分) 2 ? ?ρ -10ρcosθ+4=0, 消去 θ,得 ρ2-5ρ+4=0,解得 ρ1=1,ρ2=4,(6 分) 所以线段 AB 中点的极坐标为? ρ1+ρ2 π ? ?5 π ? ? 2 , 3 ?,即?2, 3 ?.(10 分)

5 π (注:将线段 AB 中点的极坐标写成? , +2kπ ?(k∈Z)的不扣分) ?2 3 ? 23. 解:(1) 记甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜分别为事件 A,B,C.
2 2?3 8 1 2 8 2?2? 由题意得 P(A)=? = , P ( B ) = C 3 3 · · = , ?3? 27 ? ? 3 3 27

2?2 ?1?2 1 4 ? P(C)=C2 · 4 ?3? ·?3? ·2=27.(5 分) (2) X 的可能取值为 0,1,2,3. 16 P(X=3)=P(A)+P(B)= , 27 4 P(X=2)=P(C)= , 27
2 2 ?2? ?1? 1 4 , P(X=1)=C2 4 3 · 3 · = ? ? ? ? 2 27

1 P(X=0)=1-P(1≤X≤3)= . 9 所以 X 的分布列为 X P 0 1 9 1 4 27 2 4 27 3 16 27

1 4 4 16 20 从而 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 9 27 27 27 9 8 8 4 20 答:甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 获胜的概率分别为 , , .甲队得分 X 的数学期望为 .(10 27 27 27 9 分) 24. (1) 解:当 n=3 时,集合 M 只有 1 个符合条件的子集, S3=1+2+3=6,(1 分) 当 n=4 时,集合 M 每个元素出现了 C2 3次, 2 S4=C3(1+2+3+4)=30,(2 分) 当 n=5 时,集合 M 每个元素出现了 C2 4次, 2 S5=C4(1+2+3+4+5)=90,(3 分) 所以,当集合 M 有 n 个元素时,每个元素出现了 C2 n-1次, 故 Sn=C2 n-1· n(n+1) .(5 分) 2

n(n+1) (n+1)n(n-1)(n-2) (2)因为 Sn=C2 = =6C4 n-1· n+1.(7 分) 2 4
4 4 4 则 S3+S4+S5+…+Sn=6(C4 4+C5+C6+…+Cn+1 ) 4 4 4 5 =6(C5 5+C5+C6+…+Cn+1)=6Cn+2.(10 分)


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