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河南省安阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


河南省安阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a+b≥2 B. C. D.a +b >2ab
2 2

2. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=

15,则 S6=() A.31 B.32 C.63 D.64 3. (5 分)在△ ABC 中,A=120°,b=1,△ ABC 的面积为 A. B. C. ,则 D. =()

4. (5 分)在 R 上定义运算?:x?y=x(1﹣y) ,若不等式(x﹣a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立,则() A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. ﹣ D.﹣

5. (5 分) 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为() A.1 升 B. 升 C. 升 D. 升

6. (5 分)在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(1﹣y) .若不等式(x﹣a)⊙(x+a)<1 对任意实数 x 成立,则() A.﹣1<a<1
2

B.0<a<2

C.
2

D.
2

7. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集为 A,不等式 x +x﹣6<0 的解集为 B,不等式 x +ax+b <0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于() A.﹣3 B. 1 C . ﹣1 D.3 8. (5 分)若 a>0,b>0 且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是() A. B. C. D.a +b ≥8
2 2

9. (5 分)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=() A.9 B.10 C.11 D.12

10. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正 整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA:sinB:sinC 为() A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4 11. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=10,cosC= ,则 △ ABC 面积的最大值为() A. B.

C.

D.

12. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分) 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn 若对任意自然数 n 都有 = ,



的值为.

14. (5 分)若实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是.

2

2

15. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 .

,则数列{an}的公差是

16. (5 分)如图,甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线 航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的南偏西 75°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处,此时两船相距 10 海里,则乙船每小时航行海里.

三、解答题 17. (10 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 cosB= ,b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 18. (12 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=3, (Ⅰ)证明数列{an+1﹣an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且对一切 n∈N ,都有 求 Sn. 19. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*

?

=2,



成立,

20. (12 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积.

,B=A+



21. (12 分)某糖果厂生产 A、B 两种糖果,A 种糖果每箱可获利润 40 元,B 种糖果每箱可 获利润 50 元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平 均时间(单位:min) . 混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中,混合的设备至多用机器 12h,烹调的设备最多只能用机器 30h,包装 的设备最多只能用机器 15h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润? 22. (12 分)已知数列{an},a1=﹣5,a2=﹣2,记 A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1, * * C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N ) ,若对于任意 n∈N ,A(n) ,B(n) ,C(n)成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 求数列{|an|}的前 n 项和.

河南省安阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a+b≥2 B. C. D.a +b >2ab
2 2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 常规题型. 分析: 根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确选 项. 解答: 解:因为 ab>0,则 仅当 a=b 时,取“=”,故 D 错; 由于 ab>0,则 ,即 ,所以选 C. 或 ,则排除 A 与 B;由于 a +b ≥2ab 恒成立,当且
2 2

故答案为 C 点评: 本题考查不等式与不等关系, 解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基 本不等式适用的范围. 2. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=() A.31 B.32 C.63 D.64 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等比数列的性质可得 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,代入数据计算可得. 2 4 解答: 解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q ,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q , 所以 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列, 即 3,12,S6﹣15 成等比数列, 2 可得 12 =3(S6﹣15) , 解得 S6=63 故选:C 点评: 本题考查等比数列的性质,得出 S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键, 属基础题. 3. (5 分)在△ ABC 中,A=120°,b=1,△ ABC 的面积为 A. B. C.

,则 D.

=()

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据三角形的面积公式,由 A 的度数,b 的值和面积的值即可求出 c 的值,然后利用 余弦定理,由 A 的度数,a 与 c 的值即可求出 a 的值,利用正弦定理得到所求的式子等于 a 比 sinA,把 a 的值和 sinA 的值代入即可求出值. 解答: 解:由 A=120°,b=1,面积为 , 得到 S= bcsinA= c?
2 2

=
2

,解得 c=4, ,

根据余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=1+16+4=21,解得 a= 根据正弦定理得: 则 = = = =2 = . ,

故选 D. 点评: 此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用三角形的面积公式及比 例的性质化简求值,是一道中档题. 4. (5 分)在 R 上定义运算?:x?y=x(1﹣y) ,若不等式(x﹣a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立,则() A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. ﹣ D.﹣

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 2 分析: 根据新定义化简不等式,得到 a ﹣a﹣1<x ﹣x 因为不等式恒成立,即要 a ﹣a﹣1 2 2 小于 x ﹣x 的最小值,先求出 x ﹣x 的最小值,列出关于 a 的一元二次不等式,求出解集即可 得到 a 的范围. 解答: 解:由已知: (x﹣a)?(x+a)<1, ∴(x﹣a) (1﹣x﹣a)<1, 2 2 即 a ﹣a﹣1<x ﹣x. 2 2 令 t=x ﹣x,只要 a ﹣a﹣1<tmin. t=x ﹣x=
2 2 2

,当 x∈R,t≥﹣ .

∴a ﹣a﹣1<﹣ ,即 4a ﹣4a﹣3<0, 解得:﹣ .

故选:C. 点评: 考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值,会求一元二次不等式的解集,掌握 不等式恒成立时所取的条件.

5. (5 分) 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为() A.1 升 B. 升 C. 升 D. 升

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列,根据上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升列出关于首项和公差的方程, 联立即可求出首项和公差, 根据求出的首项和公 差,利用等差数列的通项公式即可求出第 5 节的容积. 解答: 解:设竹子自上而下各节的容积分别为:a1,a2,…,a9,且为等差数列, 根据题意得:a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即 4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4﹣①×3 得:66d=7,解得 d= 把 d= 则 a5= 代入①得:a1= + (5﹣1)= , . ,

故选 B 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一 道中档题. 6. (5 分)在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(1﹣y) .若不等式(x﹣a)⊙(x+a)<1 对任意实数 x 成立,则() A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. D.

考点: 一元二次不等式的解法. 分析: 此题新定义运算⊙:x⊙y=x(1﹣y) ,由题意(x﹣a)⊙(x+a)=(x﹣a) (1﹣x﹣a) , 再根据(x﹣a)⊙(x+a)<1,列出不等式,然后把不等式解出来. 解答: 解:∵(x﹣a)⊙(x+a)<1 ∴(x﹣a) (1﹣x﹣a)<1, 2 2 即 x ﹣x﹣a +a+1>0 ∵任意实数 x 成立, 2 故△ =1﹣4(﹣a +a+1)<0 ∴ ,

故选 C. 点评: 此题是一道新定义的题,要遵守命题人定的规则,另外此题主要还是考查一元二次 不等式的解法. 7. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集为 A,不等式 x +x﹣6<0 的解集为 B,不等式 x +ax+b <0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于() A.﹣3 B. 1 C . ﹣1 D.3
2 2 2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 分别求解两个一元二次不等式化简集合 A 与 B,取交集后得到不等式 x +ax+b<0 的 解集,利用一元二 次方程的根与系数关系列式求解 a 和 b 的值,则答案可求. 2 解答: 解:解 x ﹣2x﹣3<0 得:﹣1<x<3,∴A={x|﹣1<x<3}. 2 解 x +x﹣6<0 得:﹣3<x<2,∴B={x|﹣3<x<2}. ∴A∩B={x|﹣1<x<2}. 2 2 ∵不等式 x +ax+b<0 的解集是 A∩B,即不等式 x +ax+b<0 的解集是{x|﹣1<x<2}. 2 ∴﹣1,2 是方程 x +ax+b=0 的两根. 则 ,解得 .

∴a+b=﹣3. 故选:A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了一元二次方程的根与系数关系,是基础 的计算题. 8. (5 分)若 a>0,b>0 且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是() A. B. C. D.a +b ≥8
2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可判断出答案. 解:∵a>0,b>0,且 a+b=4,∴ ,∴ ,即 ab≤4. ,故 A 不恒成立; ,故 B 不恒成立;

A.∵ab≤4,∴ B.∵ab≤4=a+b,∴ C.∵ D.∵

,∴C 不恒成立; =8.∴D 恒成立.

故选 D. 点评: 熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式的性质是解题的关键. 9. (5 分)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=() A.9 B.10 C.11 D.12 考点: 等比数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 根据等比数列的性质得 a1?a5=a2?a4= 求出 m 的值.

, 结合条件和等比数列的通项公式列出方程,

解答: 解:根据等比数列的性质得,a1?a5=a2?a4= 又 am=a1a2a3a4a5,所以 因为
m﹣1 2



, , =q ,
2

=q
5

m﹣1

所以 q =(q ) ,所以 m﹣1=10,即 m=11, 故选:C. 点评: 本题考查等比数列的性质、通项公式的灵活应用,属于基础题. 10. (5 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为连续的三个正 整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA:sinB:sinC 为() A.4:3:2 B.5:6:7 C.5:4:3 D.6:5:4 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2,由余弦定理可得 cosA= 3b=20acosA,可得 cosA= ,从而可得 = ,再由

,由此解得 a=6,可得三边

长,根据 sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果. 解答: 解: 由于 a, b, c 三边的长为连续的三个正整数, 且 A>B>C, 可设三边长分别为 a、 a﹣1、a﹣2. 由余弦定理可得 cosA= 又 3b=20acosA,可得 cosA= 故有 = = = . = ,

,解得 a=6,故三边分别为 6,5,4.

由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a: (a﹣1) : ( a﹣2)=6:5:4, 故选 D. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,求出 a=6 是解题的关键,属于中档题. 11. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=10,cosC= ,则 △ ABC 面积的最大值为() A. B. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形.

C.

D.

分析: 由 cosC 的值,求出 sinC 的值,由 a+b+c=10,得到 a+b=10﹣c,利用余弦定理表示出 cosC,利用完全平方公式变形后,把 a+b=10﹣c 代入整理表示出 ab,利用基本不等式得到 ab≤ ( ) ,把 a+b=10﹣c 代入,结合表示出的 ab,求出 c 的范围,利用三角形面积公
2

式表示出 S△ ABC,根据 c 的范围求出 S△ ABC 的最大值即可. 解答: 解:在△ ABC 中,由 cosC= ,可得 sinC= ∵a+b+c=10,即 a+b=10﹣c, ∴由余弦定理得: cosC= 化简可得 ab= ①.
2

=



=

=

= ,

由于 ab≤ 求得 c≥2.

=

,∴



,化简可得 3c +4c﹣20≥0,

△ ABC 面积 S= ab?sinC=

ab≤

?

,故当 c=2 时,S 取得最大值为



故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,三角 形面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握余弦定 理是解本题的关键,属于基础题. 12. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 基本不等式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 a7=a6+2a5 求得 q=2,代入 最小值. 解答: 解:由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,可得 ∴q ﹣q﹣2=0,∴q=2. ∵ ∴ 成立. ,∴q
m+n﹣2 2

求得 m+n=6,利用基本不等式求出它的



=16,∴2

m+n﹣2

=2 ,∴m+n=6, ,当且仅当 = 时,等号

4



的最小值等于



故选 A. 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分) 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn 若对任意自然数 n 都有 = ,



的值为



考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和求和公式可得原式= 解答: 解:由等差数列的性质和求和公式可得: = + ,代值计算可得.

=

=

=

=

=

=

故答案为: 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
2 2

14. (5 分)若实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的最大值是



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式,根据 xy≤ 范围,则 x+y 的最大值可得. 2 2 解答: 解:∵x +y +xy=1 把题设等式整理成关于 x+y 的不等式,求得其

∴(x+y) =1+xy ∵xy≤

2

∴(x+y) ﹣1≤ ∴x+y 的最大值是 故答案为:

2

,整理求得﹣

≤x+y≤

点评: 本题主要考查了基本不等式.应熟练掌握如均值不等式,柯西不等式等性质.

15. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 2. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 在题设条件 解答: 解:∵ ∴ , ,

,则数列{an}的公差是

的两边同时乘以 6,然后借助前 n 项和公式进行求解.

∴6a1+6d﹣6a1﹣3d=6, ∴d=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意前 n 项和公式的灵活运用. 16. (5 分)如图,甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线 航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的南偏西 75°方 向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处,此时两船相距 10 海里,则乙船每小时航行 30 海里.

考点: 解三角形的实际应用.

专题: 应用题;解三角形. 分析: 先求出 B1B2 的距离,再由时间求出乙船航行的速度. 解答: 解:在△ A1A2B2 中,A1A2=A2B2=10 ,∠A1A2B2=60°,∴A1B2=10 在△ B1A1B2 中,A1B1=20,A1B2=10 ,∠B1A1B2=45°, 则由余弦定理得:B1B2= =10 ,v 乙=30 .

∴乙船每小时航行 30 海里. 故答案为: 点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题. 三、解答题 17. (10 分)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知 cosB= ,b=3,求: (Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: ( Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简 ? =2,将 cosB 的值代入求出 ac=6,
2 2

?

=2,

再利用余弦定理列出关系式,将 b,cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13,联立即可求出 ac 的 值; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB,利用正弦 定理求出 sinC 的值,进而求出 cosC 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各 自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? =2,cosB= ,

∴c?acosB=2,即 ac=6①, ∵b=3, 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴a +c =13②, 联立①②得:a=3,c=2; (Ⅱ)在△ ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,

得:sinC= sinB= ×

∵a=b>c,∴C 为锐角, ∴cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本 关系,熟练掌握定理是解本题的关键. 18. (12 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=3, (Ⅰ)证明数列{an+1﹣an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且对一切 n∈N ,都有 求 Sn. 考点: 数列递推式;等比数列的前 n 项和;等比关系的确定. 专题: 综合题. 分析: (I )由 an+1=4an﹣3an﹣1 可得 an+1﹣an=3(an﹣an﹣1) ,故而=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣ an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1,结合等比数列的求和公式可求 an (II)由 可求 ,利用错位相减可求和 sn
*



成立,

解答: (I)证明:由 an+1=4an﹣3an﹣1 可得 an+1﹣an=3(an﹣an﹣1) 所以数列{an+1﹣an}是以 2 为首项,3 为公比的等比数列 …(3 分) 故有 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1= …(6 分)

(II)解:由

可知

当 n=1 时,

,b1=3,S1=3

当 n≥2 时,



…(8 分)

=2(1×3 +2×3 +3×3 +…n×3 )+1 0 1 2 n﹣1 1 2 n﹣1 n n n﹣1 n﹣ 设 x=1×3 +2×3 +3×3 +…+n×3 3x=1×3 +2×3 +…+(n﹣1)×3 +n×3 ∴2x=n×3 ﹣(3 +3
2

0

1

2

n﹣1

+…3 )= …(12 分)

0

…(11 分)

综上

点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式,而数列求和的错 位相减是数列求和的重点与难点,要注意掌握

19. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意得 a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0,解得 d=﹣3,即可写出通项公 式; (Ⅱ)利用裂项相消法求数列和即可. 解答: 解: (Ⅰ)由 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4 得 s3≤s4,s5≤s4,即 s4﹣s3≥0,s5﹣s4≤0, ∴a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0,解得﹣ ∴d=﹣3, ∴{an}的通项公式为 an=13﹣3n. (Ⅱ)∵bn= ∴Tn=b1+b2+…+bn= ( ﹣ = . = ( + ﹣ +…+ ﹣ ﹣ ) , )= ( ﹣ ) ≤d≤﹣ ,

点评: 本题主要考查数列通项公式及数列和的求法,考查学生对裂项相消求和的能力及运 算能力,属中档题.

20. (12 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ ABC 的面积.

,B=A+



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用 cosA 求得 sinA,进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB,最后利用正弦定理求 得 b 的值. (Ⅱ)利用 sinB,求得 cosB 的值,进而根两角和公式求得 sinC 的值,最后利用三角形面积公 式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵cosA= ∴sinA= ∵B=A+ . )=cosA= , = , ,

∴sinB=sin(A+

由正弦定理知 ∴b= ?sinB=

= ×

, =3 .

(Ⅱ)∵sinB= ∴cosB=﹣

,B=A+ =﹣ ,



sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴S= a?b?sinC= ×3×3 × = .

×(﹣

)+

×

= ,

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数 恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用. 21. (12 分)某糖果厂生产 A、B 两种糖果,A 种糖果每箱可获利润 40 元,B 种糖果每箱可 获利润 50 元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平 均时间(单位:min) . 混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中,混合的设备至多用机器 12h,烹调的设备最多只能用机器 30h,包装 的设备最多只能用机器 15h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 应用题. 分析: 先设生产 A 种糖果 x 箱,生产 B 种糖果 y 箱,可获利润 z 元,列出约束条件,再根 据约束条件画出可行域, 设 z=40x+50y, 再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=40x+50y 过可行域内的点时,从而得到 z 值即可. 解答: 解:设生产 A 种糖果 x 箱,生产 B 种糖果 y 箱,可获利润 z 元,即求

z=40x+50y 在约束条件

下的最大值.

作出可行域,如图. 作直线 l0:40x+50y=0,平移 l0 经过点 P 时, z=40x+50y 取最大值, 解方程组 得 P(120,300) .

∴zmax=40×120+50×300=19 800. 所以生产 A 种糖果 120 箱,生产 B 种糖果 300 箱时,可以获得最大利润 19 800 元.

点评: 在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式 组, 即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数 Z 与直线截 距之间的关系?④ 使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中. 22. (12 分)已知数列{an},a1=﹣5,a2=﹣2,记 A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1, * * C(n)=a3+a4+…+an+2(n∈N ) ,若对于任意 n∈N ,A(n) ,B(n) ,C(n)成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 求数列{|an|}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意可得,A(n)+C(n)=2B(n) ,代入已知即可求解 an+2,an+1 之间的 递推关系,结合等差数列的通项可求 an, (Ⅱ)由(I)可得, ,结合 n 的范围及等差数列的求和公式即可求

解 解答: 解: (Ⅰ)根据题意 A(n) ,B(n) ,C(n)成等差数列 ∴A(n)+C(n)=2B(n)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 整理得 an+2﹣an+1=a2﹣a1=﹣2+5=3 ∴数列{an}是首项为﹣5,公差为 3 的等差数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴an=﹣5+3(n﹣1)=3n﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (Ⅱ) 记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n≤2 时, 当 n≥3 时, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

综上,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题主要考查了等差数列的 通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题


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