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浙江省暨阳联谊学校2015届高三下学期模拟联考数学(理)试卷


浙江省暨阳联谊学校联考 2015 届高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.在△ ABC 中,“sinA=1”是“△ ABC 是直角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.必要充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.设 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,则( ) A.若 f(x) ,g(

x)都是 R 上的增函数,则 f(x)×g(x)是 R 上的增函数 B.若 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数,则 f(x)+g(x)是 R 上的增函数 C.若 f(x)×g(x)是 R 上的增函数,则 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数 D.若 f(x)+g(x)是 R 上的增函数,则 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数 3.设某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.48

B.40

C.32

D.16

4.正实数数列{an}满足:a1=1,a9=7,且 an+1= 则 a5=( A.4 ) B.3 C.16 D.9

(n∈N ,n≥2)

+

5. 设 I 是直角△ ABC 的内心, 其中 AB=3, BC=4, CA=5, 若 A. B. C. D.

, 则 x+y=(

)

6.设四边形 EFGH 的四条边长为 a,b,c,d,其四个顶点分别在单位正方形 ABCD 的四条 2 2 2 2 边上,则 2a +b +2c +d 的最小值为( )

A.3

B.6

C.

D.

7.双曲线 r:

(a>0,b>0)的左顶点为 C,A 为双曲线第一象限上的点,直

线 OA 交双曲线于另一点 B, 双曲线左焦点为 F, 连结 AF 交 BC 延长线于 D 点. 若 则双曲线 r 的离心率等于( A.2 B.
2 2

=3



) C .3 D.

8.实数 x,y 满足 x +y ≤5,则 3|x+y|+|4y+9|+|7y﹣3x﹣18|的最大值是( ) A.27+6 B.27 C.30 D.336

二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 9.设全集 U=R,集合 A={x| },B={x|x +x﹣2>0},则 CUB=__________,
2

A∩B=__________,A∪B=__________. 10.在等差数列{an}中,若 a4+a10=10,a6+a12=14,ak=13,则 k=__________;数列{an}的前 n 项和 Sn=__________. 11.已知 f(x)=2sinxcosx﹣cos2x,若 a∈(0, ],则 f(x)的值域是__________. ) ,且 f(a)=1,则 a=__________;若 x∈[﹣

12. 设区域 Ω 内的点 (x, y) 满足 若 x,y∈Z,则 2x+y 的最大值是__________.

, 则区域 Ω 的面积是__________;

13.过抛物线 C:y =4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B,若|AF|=3|BF|,则 l 的斜率 是__________.

2

14.已知向量

满足:| |=| |=|

|=2,

,则|

|

的最大值为__________.? 15.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 216,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的 重叠部分的体积为__________.

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 16. 在△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 (a﹣sinB) cosC=cosBsinC, c=1. (Ⅰ)求∠C 的大小; (Ⅱ)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时∠A,∠B 的值. 17.设 f(x)=|x﹣a|﹣ +a,x∈[1,6],a∈(1,6) . (Ⅰ)若 a∈(1,2],求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求 f(x)的最小值. 18.如图,已知等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD=2AD,E 为 AB 中点,现将△ ADE 折起,使平面 A1DE⊥平面 BCDE,P 是 DE 中点,Q 是 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:PQ∥平面 A1CD; (Ⅱ)求二面角 B﹣PC﹣Q 的余弦值.
2 2

19.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的短轴长为 2

,且 2a,2b,3c 成等比数列.设

F1、F2 是椭圆的左、右焦点,过 F2 的直线与 y 轴右侧椭圆相交于 M,N 两点,直线 F1M, F1N 分别与直线 x=4 相交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ F2PQ 面积的最小值.

20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=2,Sn+2=2an,n∈N , (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)求证 +…+ (Ⅲ)设 b1,b2,…,b2015 是数列 a1,a2,…,a2015 的任意一个排列,求( 的最大值,并说明何时取到等号. )

+

浙江省暨阳联谊学校联考 2015 届高考数学模拟试卷(理 科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.在△ ABC 中,“sinA=1”是“△ ABC 是直角三角形”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.必要充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:从两个方向去判断:先看 sinA=1 能否得出△ ABC 为直角三角形,再看△ ABC 为直 角三角形能否得出 sinA=1,这样即可判断“sinA=1”是“△ ABC 是直角三角形”的什么条件. 解答: 解: (1)若 sinA=1,则 A=90°; ∴△ABC 是直角三角形; (2)若△ ABC 是直角三角形,A 不一定为 90°; ∴得不到 sinA=1;

∴“sinA=1”是“△ ABC 是直角三角形”的充分不必要条件. 故选 A. 点评:考查特殊角的三角函数值,以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念. 2.设 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,则( ) A.若 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数,则 f(x)×g(x)是 R 上的增函数 B.若 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数,则 f(x)+g(x)是 R 上的增函数 C.若 f(x)×g(x)是 R 上的增函数,则 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数 D.若 f(x)+g(x)是 R 上的增函数,则 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数 考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:运用举反例和导数的运算法则,结合函数的单调性的性质,对选项一一加以判断即可 得到答案. 2 解答: 解:对于 A,比如 f(x)=x,g(x)=2x,则 f(x)×g(x)=2x 不是 R 上的增函 数,则 A 不对; 对于 B,若 f(x) ,g(x)都是 R 上的增函数,则 f′(x)≥0,g′(x)≥0, 即有 f(x)+g(x)的导数非负,则 f(x)+g(x)是 R 上的增函数,则 B 对; 2 3 对于 C,比如 f(x)=x,g(x)=x ,满足 f(x)×g(x)=x 是 R 上的增函数, 但 g(x)不是 R 上的增函数,则 C 不对; 对于 D,比如 f(x)=x,g(x)=﹣ x,满足 f(x)+g(x)是 R 上的增函数, 但 g(x)是 R 上的减函数,则 D 不对. 故选 B. 点评:本题考查函数的单调性的判断,主要考查单调性的性质,注意运用举反例和导数的运 算法则是解题的关键. 3.设某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )

A.48

B.40

C.32

D.16

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 首先根据三视图, 把平面图形转化成立体图形进一步根据几何体的体积公式求出结果.

解答: 解:根据三视图得知:该几何体是长、宽、高为 4、3、4 的长方体去掉一个外边的 左上角的三棱锥和去掉一个里边右上角的三棱锥的多面体, 所以:该几何体的体积为:V=V 长方体﹣2V 三棱锥 =3×4×4﹣2× × =48﹣16=32.

故选:C. 点评:本题考查的知识要点:三视图和立体图的关系,几何体的体积公式的应用,主要考查 学生的空间想象能力和对知识的应用能力.

4.正实数数列{an}满足:a1=1,a9=7,且 an+1= 则 a5=( A.4 ) B.3 C.16 D.9

(n∈N ,n≥2)

+

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由数列递推式得到数列{an+1}是等比数列,由等比数列的性质结合已知求得答案. 解答: 解:由 an+1= 即 ∴数列{an+1}是等比数列, 则 ,
+

,得 (n∈N ,n≥2) ,



∵an>0,∴a5+1=4,则 a5=3. 故选:B. 点评: 本题考查了数列递推式, 考查了等比关系的确定, 考查了等比数列的性质, 是中档题. 5. 设 I 是直角△ ABC 的内心, 其中 AB=3, BC=4, CA=5, 若 A. B. C. D.

, 则 x+y=(

)

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:将三角形放入直角坐标系,利用向量法进行求解,利用面积法先求出 I 的坐标,然后 利用向量坐标之间的关系进行求解即可. 解答: 解:将△ ABC 放置于直角坐标系中,如右图所示,设内切圆的半径为 r,则 A(3, 0)B(0,0)C(0,4) . ∵S△ ABC=S△ ABI+S△ BCI+S△ ACI ∴

求得 r=1 ∵ =(﹣3,0)+(1,1)=(﹣2,1) =(﹣3x﹣3y,4y) ∴﹣3x﹣3y=﹣2,4y=1 解得 x= ∴x+y= 故选:B. ,y=

点评: 本题考查了平面向量的应用以及平面向量运算的坐标表示, 同时利用面积相等是解题 过程中的一个关键. 6.设四边形 EFGH 的四条边长为 a,b,c,d,其四个顶点分别在单位正方形 ABCD 的四条 2 2 2 2 边上,则 2a +b +2c +d 的最小值为( )

A.3

B.6

C.

D.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:不妨设 EF=a,FG=b,GH=c,HE=d,且设 DG=x,GC=1﹣x,CF=y,FB=1﹣y,BE=z, AE=1﹣z,AH=t,DH=1﹣t.由勾股定理和二次函数的最值求法:配方,即可得到最小值. 解答: 解:不妨设 EF=a,FG=b,GH=c,HE=d, 且设 DG=x,GC=1﹣x,CF=y,FB=1﹣y, BE=z,AE=1﹣z,AH=t,DH=1﹣t.

则 2a +b +2c +d =2[z +(1﹣y) ]+[y +(1﹣x) ]+2[x +(1﹣t) ]+[t +(1﹣z) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 =[2z +(1﹣z) ]+[y +2(1﹣y) ]+[2x +(1﹣x) ]+[t +2(1﹣t) ] =3(z﹣ ) + +3(y﹣ ) + +3(x﹣ ) + +3(t﹣ ) + , 当 x=z= ,y=t= 时,取得最小值,且为 . 故选 D. 点评:本题考查直角三角形的勾股定理和二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档 题.
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

7.双曲线 r:

(a>0,b>0)的左顶点为 C,A 为双曲线第一象限上的点,直

线 OA 交双曲线于另一点 B, 双曲线左焦点为 F, 连结 AF 交 BC 延长线于 D 点. 若 则双曲线 r 的离心率等于( A.2 B. ) C .3 D.

=3



考点:双曲线的简单性质. 专题:平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设 A(m,n) ,F(﹣c,0) ,则 B(﹣m,﹣n) ,设 D(x,y) ,由题意可得 C(﹣a, 0) ,运用向量的共线的坐标表示,可得 m=3a+2x,再由两直线 AF,BC 求得交点的横坐标, 化简整理,即可得到 c=3a,由离心率公式计算即可得到. 解答: 解:设 A(m,n) ,F(﹣c,0) ,则 B(﹣m,﹣n) , 设 D(x,y) ,由题意可得 C(﹣a,0) , 由 =3 ,可得﹣m﹣x=3(﹣a﹣x) ,

即有 m=3a+2x, 直线 AF 的方程为 y= 直线 BC 的方程为 y= (x+c) , (x+a) ,

可得(m+c) (x+a)=(m﹣a) (x+c) , 代入 m=3a+2x,可得 (3a+2x+c) (x+a)=(2a+2x) (x+c) , 化简即为(x+a) (c﹣3a)=0, 即有 x=﹣a 或 c=3a, 若 x=﹣a,则 y=0,D 与 C 重合,矛盾. 故只有 c=3a,即有 e= =3. 故选 C. 点评:本题考查双曲线的方程和性质,主要考查离心率的求法,同时考查直线方程和向量共 线的坐标表示,属于中档题.

8.实数 x,y 满足 x +y ≤5,则 3|x+y|+|4y+9|+|7y﹣3x﹣18|的最大值是( A.27+6 B.27 C.30 D.336

2

2

)

考点:绝对值三角不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:设 x=rcosθ,y=rsinθ,0≤r≤5,θ∈[0,2π) ,所给的式子化为 27+3|x+y|+3(x﹣y) ,分 类讨论求得它的最大值. 解答: 解:设 x=rcosθ,y=rsinθ,0≤r≤5,θ∈[0,2π) . 则|4y|=4rsinθ≤4 <9, |7y﹣3x|=|7rsinθ﹣3rcosθ|≤ r≤ <18, |x+y|=| rsin(θ+ )|≤ ? = ,

∴3|x+y|+|4y+9|+|7y﹣3x﹣18|=3|x+y|+(4y+9)+(18﹣7y+3x) =27+3|x+y|+3(x﹣y) . 当|x+y≥0 时,27+3|x+y|+3(x﹣y)=27+6x=27+6rcosθ≤27+6 , 当|x+y<0 时,27+3|x+y|+3(x﹣y)=27+6x=27+6rcosθ≤27+6 , 不妨假设 x≥y,则 27+3|x+y|+3(x﹣y)=27﹣6y=27﹣6rcosθ≤27+6 , 故 3|x+y|+|4y+9|+|7y﹣3x﹣18|的最大值是 27+6 , 故选:A. 点评:本题主要考查三角代换,绝对值不等式的解法,去掉绝对值是解题的关键,属于中档 题. 二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 9.设全集 U=R,集合 A={x| },B={x|x +x﹣2>0},则 CUB=[﹣2,1],A∩B=(﹣
2

∞,﹣2)∪(3,+∞) , ,A∪B=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 考点:交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算. 专题:集合. 分析:先解出集合 A、B,然后根据集合的运算求解即可. 解答: 解:∵集合 A={x|
2

}=(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) ,

B={x|x +x﹣2>0}=(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) , 又全集 U=R, ∴CUB=[﹣2,1], A∩B=(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞) , A∪B=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 故答案为:CUB=[﹣2,1], A∩B=(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞) , A∪B=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 点评:本题主要考查集合的运算,属于基础题.

10.在等差数列{an}中,若 a4+a10=10,a6+a12=14,ak=13,则 k=15;数列{an}的前 n 项和 Sn= .

考点:数列的求和;等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过等差数列的性质可得 a7、a9,从而可得通项及前 n 项和公式,计算即可. 解答: 解:根据等差数列的性质可得: a7= = =5,a9= = =7,

∴公差 d=

=

=1,

首项 a1=a7﹣6d=5﹣6×1=﹣1, ∴an=﹣1+(n﹣1)×1=n﹣2,Sn= = ,

故答案为:15,



点评:本题考查等差数列的基本性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 11. 已知 f (x) =2sinxcosx﹣cos2x, 若 a∈ (0, 则 f(x)的值域是[ ]. ; 若 x∈[﹣ ],

) , 且f (a) =1, 则 a=

考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:首先通过三角函数的恒等变换,把函数的关系式变性成正弦型函数,进一步利用函数 的值确定 a 的值,进一步利用函数的定义域求出函数的值域. 解答: 解:f(x)=2sinxcosx﹣cos2x =sin2x﹣cos2x = ①若 a∈(0, 则: 所以: 解得: . ) ,且 f(a)=1, , , (k∈Z)

由于:a∈(0,

) , . , , , , ]. ]

所以:当 k=0 时, ②已知: 所以: 则: 则: 即:f(x)的值域为:[ 故答案为:① ,②[

点评:本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的求值问题,利用正 弦型函数的定义域求函数的值域,主要考查学生的应用能力.

12.设区域 Ω 内的点(x,y)满足 y∈Z,则 2x+y 的最大值是﹣2.

,则区域 Ω 的面积是 8π;若 x,

考点:圆的一般方程;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出区域 Ω 的图形,利用线性规划知识的应用及圆的面积、直线方程中截距的几何 意义,可求得答案. 解答: 解:区域 Ω 内的点(x,y)满足 ,即

,则区域 Ω 如图: 由于方程为 y=x+y+6 与 y=x 的两直线均经过(x+3) +(y+3) =16 的圆心 O′(﹣3,﹣3) , 且两者垂直, ∴阴影部分的面积为圆 O′面积的 ,即 S 阴影= ×π×4 =8π; (2)∵x,y∈Z,令 z=2x+y,显然,当直线 y=﹣2x+z 经过(﹣1,0)时,z 的值最大, 即 2x+y 的最大值是﹣2. 故答案为:8π;﹣2.
2 2 2

点评:本题考查二元一次不等式(组)与平面区域,考查线性规划的应用,突出考查作图能 力,属于中档题. 13.过抛物线 C:y =4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B,若|AF|=3|BF|,则 l 的斜率 是 . 考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,设出直线 l 的方程,和抛物线方程联立,化为 关于 y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到 A,B 两点纵坐标的和与积,结合 |AF|=3|BF|,转化为关于直线斜率的方程求解. 解答: 解:∵抛物线 C 方程为 y =4x,可得它的焦点为 F(1,0) , ∴设直线 l 方程为 y=k(x﹣1) , 由 ,消去 x 得 .
2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 可得 y1+y2= ,y1y2=﹣4①. ∵|AF|=3|BF|, ∴y1+3y2=0,可得 y1=﹣3y2,代入①得﹣2y2= ,且﹣3y2 =﹣4, 消去 y2 得 k =3,解之得 k=± . 故答案为: . 点评:本题考查了抛物线的简单性质,着重考查了舍而不求的解题思想方法,是中档题.
2 2

14.已知向量 的最大值为 .?

满足:| |=| |=|

|=2,

,则|

|

考点:平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用. 分析:分别用有向线段 表示向量 ,根据已知条件可

知四边形 ADBE 为菱形,从而分别以该菱形的对角线 DE,BA 所在直线为 x,y 轴建立平面 直角坐标系,设 C(x,y) ,从而能求出向量
2 2

的坐标,并表示出 的坐标,从而根据 的

即可得到 x +y =2, 所以 y 的范围﹣2≤y≤2, 从而根据 坐标即可表示出 解答: 解: 如图, 作 ,根据 y 的范围即可求得 , 的最大值. , 并满足



连接 EA,EB,则四边形 ADBE 为菱形; ∴DE⊥AB,且互相平分; ∴分别以 DE,BA 所在直线为 x 轴,y 轴,建立如图所示平面直角坐标系; 则能求以下几点坐标: A(0, ) ,D(﹣1,0) ,B(0,﹣ ) ; 设 C(x,y) ,则: ∴ ∵ ∴x +y ﹣3=﹣1; 2 2 ∴x +y =2; ∴ ∴ 时取“=”; ∴| |的最大值为 . . ; = ,当 y=﹣
2 2

, , ; ;





故答案为:

点评:考查向量加法的平行四边形法则,菱形的概念,建立平面直角坐标系,通过向量坐标 解决向量问题的方法,能正确确定点的坐标,以及数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量 长度,以及完全平方式的运用. 15.已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 216,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的 重叠部分的体积为 36. 考点:棱柱的结构特征. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由题意画出图形,得到四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的重叠部分的形状,由棱锥 体积公式得答案. 解答: 解:如图所示,

四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的重叠部分是以长方体各面中心为定点的多面体, 摘出如图,

设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,则 abc=216, 重叠部分的体积为两个同底面的四棱锥体积和,等于 .

故答案为:36. 点评:本题考查了棱柱的结构特征,考查了学生的空间想象能力和思维能力,是中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 16. 在△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足 (a﹣sinB) cosC=cosBsinC, c=1. (Ⅰ)求∠C 的大小; 2 2 (Ⅱ)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时∠A,∠B 的值. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数恒等变换化简已知等式可得 sinA=acosC,结合正弦定理,可得 sinC=cosC,从而可求 C. (Ⅱ)由余弦定理整理可得 ,可求得 可求取得最大值时∠A,∠B 的值. 解答: 解: (Ⅰ)cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0, ?sinA=acosC,… ∵
2 2 2

,利用基本不等式 ab

,可得

,当且仅当 a=b 时取到等号,从而

,所以 sinC=cosC,所以 C=

;… ①,…

(Ⅱ)∵a +b ﹣c =2abcosC,所以 ∵ab ②, , …

∴②代入①可得: 所以

当且仅当 a=b 时取到等号,所以取到最大值时 A=B=



点评:本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的应用,综合性较强,属于基本知 识的考查. 17.设 f(x)=|x﹣a|﹣ +a,x∈[1,6],a∈(1,6) . (Ⅰ)若 a∈(1,2],求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求 f(x)的最小值. 考点:函数的单调性及单调区间;函数的最值及其几何意义. 专题:分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)运用绝对值的定义,将 f(x)转化,讨论 a∈(1,2],函数 f(x)在[1,a]上, 在[a,6]上的单调性即可得到; (Ⅱ)讨论①当 1<a≤2 时,②当 2<a<6 时,函数的单调性,即可得到最小值.

解答: 解: (Ⅰ)首先 f(x)=



因为当 1<a≤2 时,f(x)在[1,a]上是增函数,在[a,6]上也是增函数. 所以当 1<a≤2 时,y=f(x)在[1,6]上是增函数; (Ⅱ)①当 1<a≤2 时,由(Ⅰ)知,f(x)min=f(1)=2a﹣5, ②当 2<a<6 时,f(x)在[1,2]上是增函数,在[2,a]上是减函数,在[a,6]上是增函数. 又 f(1)=2a﹣5,f(a)=a﹣ ,且 f(1)﹣f(a)=a+ ﹣5>0,解得 4<a<6 所以当 2<a<4 时,f(x)min=f(1)=2a﹣5, 当 4≤a<6 时,f(x)min=f(a)=a﹣ .

综上可知,f(x)min=



点评:本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调区间和最值的求法,注意运用分类讨 论的思想方法和函数的单调性的性质是解题的关键. 18.如图,已知等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD=2AD,E 为 AB 中点,现将△ ADE 折起,使平面 A1DE⊥平面 BCDE,P 是 DE 中点,Q 是 A1B 的中点. (Ⅰ)求证:PQ∥平面 A1CD; (Ⅱ)求二面角 B﹣PC﹣Q 的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ) 取 A1C 的中点 R, 连接 QR, DR, 证明四边形 PDQR 是平行四边形, 所以 PQ∥DR, 即可证明 PQ∥平面 A1CD; (Ⅱ) 连接 A1P, BP, 设 M 是 PB 的中点, 连接 QM, 过 M 作 MH⊥PC, 连接 QH, 则∠QHM 是二面角 B﹣PC﹣Q 的平面角,即可求二面角 B﹣PC﹣Q 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 A1C 的中点 R,连接 QR,DR. 由题意知 PD∥BC 且 PD= BC,QR∥BC 且 QR= BC, 所以 PD∥QR 且 PD=QR,即四边形 PDQR 是平行四边形,所以 PQ∥DR. 又 PQ?平面 A1CD,DR?平面 A1CD,所以 PQ∥平面 A1CD.… (Ⅱ)解:连接 A1P,BP,设 M 是 PB 的中点,连接 QM. 因为 A1P⊥DE,平面 A1DE⊥平面 BCD 所以 A1P⊥平面 BCDE 又 QM∥A1P,所以 QM⊥平面 BCDE,过 M 作 MH⊥PC,连接 QH, 则∠QHM 是二面角 B﹣PC﹣Q 的平面角,… 设 CD=a,则 A1P= a,所以 QM= a,

在四边形 DECB 中,因为 BC⊥CP,所以 HM∥CB, 又 M 是 PB 中点,所以 HM= 所以 HQ= a,所以 cos∠QHM= = . …

所以二面角 B﹣PC﹣Q 的平面角的余弦值是

点评:本题考查直线与平面平行的判定,平面与平面所成的角的求法,考查学生空间想象能 力,逻辑思维能力,是中档题.

19.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的短轴长为 2

,且 2a,2b,3c 成等比数列.设

F1、F2 是椭圆的左、右焦点,过 F2 的直线与 y 轴右侧椭圆相交于 M,N 两点,直线 F1M, F1N 分别与直线 x=4 相交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ F2PQ 面积的最小值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过椭圆短轴长为 2 及 2a,2b,3c 成等比数列,计算可得椭圆方程; (Ⅱ)设直线 MN 的方程为:x=ty+1 (﹣ <t< ) ,代入 + =1,利用韦达定理,

三角形面积公式及换元法计算可得结论. 解答: 解: (Ⅰ)因为 ,所以 6ac=12,即 ac=2, 2 2 2 2 又 a ﹣3=c ,所以 a =4,c =1, 所以椭圆 C 的方程是 + =1; <t< ) ,

(Ⅱ)设直线 MN 的方程为:x=ty+1 (﹣
2 2

代入

+

=1 化简得(3t +4)y +6ty﹣9=0, ,y1y2=﹣ ,△ =144(t +1) ,
2

∴y1+y2=﹣

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 :y= (x+1) ,

令 x=4,得 P(4,

) ,同理 Q(4,

) ,

所以

= ?3|



|=

|

|=90|

|,

令 μ=

,则 μ∈[1,

) ,则

=90



∵y=

=

在[1,

)上是增函数,

所以当 μ=1,即 t=0 时,

=



点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意 解题方法的积累,属于中档题. 20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=2,Sn+2=2an,n∈N , (Ⅰ)求 an; (Ⅱ)求证 +…+ (Ⅲ)设 b1,b2,…,b2015 是数列 a1,a2,…,a2015 的任意一个排列,求( 的最大值,并说明何时取到等号. )
+

考点:数列与不等式的综合;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 n≥2 时,运用 an=Sn﹣Sn﹣1,再由等比数列的定义和通项公式,即可得到; (Ⅱ)运用裂项相消求和,由
2 2 2 2 2 2 2 2

=
2



,累加即可得证;

(Ⅲ)由(ab+1) =a b +2ab+1≤a b +a +b +1=(a +1) (b +1) ,所以 ab+1≤ 2,…,2015)时取等号. 解答: 解: (Ⅰ)当 n≥2 时,由 相减可得 an=2an﹣2an﹣1,所以 an=2an﹣1, 所以{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, n 故 an=2 ; (Ⅱ)证明: = = ﹣ , ,运用不等式的性质,即可得到最大值,当且仅当 ai=bi(i=1,

即有

+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣

+…+

=

=



< ;

(Ⅲ)由(a1+

) (a2+

)…(an+

)=

=
2 2 2 2 2 2 2 2


2

又(ab+1) =a b +2ab+1≤a b +a +b +1=(a +1) (b +1) , 所以 ab+1≤ ,



? =

?

?…?

. 当且仅当 ai=bi(i=1,2,…,n)时取等号. 则( ) 的最大值为

, 当且仅当 ai=bi(i=1,2,…,2015)时取等号. 点评:本题考查数列的通项和前 n 项和的关系,考查等比数列的通项公式的求法,同时考查 数列求和的方法:裂项相消求和,以及最值的求法,属于中档题和易错题.


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