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上海师大附中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年上海师大附中高一(上)期中数学试卷
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}的真子集的个数是__________. 2.命题“若 a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 __________.

/>3. 已知函数

g =x﹣3, , (x)

g +h =__________. , 则f (x) (x) (x)

4.已知集合 A={y|y=x2﹣2x﹣3},集合 B={y|y=﹣x2+2x+13},则 A∩B=__________. 5.设常数 a∈R,函数 f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若 f(2)=1,则 f(1)=__________. 6.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},且 B∩?UA={1,2},A∩?UB={5},?UA∩?UB={0,4}, 则集合 A=__________.

7.已知集合 A={a|关于 x 的方程 A=__________.

有唯一实数解,a∈R},用列举法表示集合

8.对于集合 A,B,定义运算:A﹣B={x|x∈A 且 x?B},A△ B=(A﹣B)∪(B﹣A) .若 A={1, 2},B={x||x|<2,x∈Z},则 A△ B=__________.

9.设全集为 R,对 a>b>0,集合 M= M∩CRN=__________. 10.已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为 等式﹣cx2+2x﹣a>0 的解集是__________.



,则

,其中 a,c∈R,则关于 x 的不

11.对于实数 x,若 n≤x<n+1,规定[x]=n, (n∈Z) ,则不等式 4[x]2﹣20[x]+21<0 的解集是 __________. 12. x2+2 x﹣3<0 对一切实数 x 恒成立, 不等式 (a﹣2) (a﹣2) 则实数 a 的取值范围是__________.

13.定义关于 x 的不等式|x﹣A|<B(A∈R,B>0)的解集称为 A 的 B 邻域.若 a+b﹣3 的 a+b 邻域是区间(﹣3,3) ,则 a2+b2 的最小值是__________. 14.给出下列四个命题: (1)若 a>b,c>d,则 a﹣d>b﹣c; (2)若 a2x>a2y,则 x>y; (3)a>b,则 (4)若 ; ,则 ab<b2.

其中正确命题是__________. (填所有正确命题的序号)

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.下列每组中的两个函数是同一函数的是( ) A.f(x)=1 与 g(x)=x0 B. C.f(x)=x 与 与 g(x)=x D.f(x)=x 与

16.若 a>0,b>0,则不等式﹣b< <a 等价于( A. <x<0 或 0<x< B.﹣ <x< D.x< 或 x>

)

C.x<﹣ 或 x>

17.下列说法正确的是( ) 2 A.“若 x =1,则 x=1”的否命题是“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件 C.“a+b≠3”是“a≠1 或 b≠2”的充分非必要条件 D.“ ”是“a>2 且 b>2”的充分必要条件

18.若 x>0,y>0,且 A.2 B. C.2

+ ≤a D.1

恒成立,则 a 的最小值是(

)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务 必写在答题纸上规定位置. 19.解关于 x 的不等式:mx2﹣(2m+1)x+2>0(m∈R) .

20. (14 分)已知集合 (1)求集合 A 与集合 B; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围.

,集合 B={x||x+2a|≤a+1,a∈R}.

21. (14 分)设 A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={x|x2+2x﹣8=0} (1)A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若??(A∩B)且 A∩C=?,求 a 的值; (3)A∩B=A∩C≠?,求 a 的值. 22. (16 分)我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建 一个占地面积为 S(平方米)的矩形 AMPN 健身场地.如图,点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上, 且 P 点在斜边 BC 上.已知∠ACB=60°,|AC|=30 米,|AM|=x 米,x∈[10,20].设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 的造价为 元,再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米

元(k 为正常数) .

(1)试用 x 表示 S,并求 S 的取值范围; (2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T=f(S) ; (3)如何选取|AM|,使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) .

23. (18 分)已知 M 是满足下列性质的所有函数 f(x)组成的集合:对于函数 f(x) ,使得对 函数 f(x)定义域内的任意两个自变量 x1、x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|成立. (1)已知函数 f(x)=x2+1, ,判断 f(x)与集合 M 的关系,并说明理由;

(2)已知函数 g(x)=ax+b∈M,求实数 a,b 的取值范围; (3)是否存在实数 a,使得 范围,若不存在,请说明理由. ,x∈[﹣1,+∞)属于集合 M?若存在,求 a 的取值

2015-2016 学年上海师大附中高一(上)期中数学试卷
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.设集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}的真子集的个数是 7. 【考点】子集与真子集. 【专题】计算题. 【分析】若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2n﹣1 个真子集,由此能求出集合 A={x|0≤x< 3 且 x∈N}的真子集的个数. 【解答】解:∵集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}={0,1,2}, ∴集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}的真子集的个数为 23﹣1=7, 故答案为:7. 【点评】本题考查集合的子集和真子集的个数的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细 解答. 2.命题“若 a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数. 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】阅读型. 【分析】根据逆否命题的定义,先否定原命题的题设做结论,再否定原命题的结论做题设, 就得到原命题的逆否命题. 【解答】解:∵“a,b 都是奇数”的否命题是“a,b 不都是奇数”, “a+b 是偶数”的否命题是“a+b 不是偶数”, ∴命题“若 a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇 数”. 故答案为:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数. 【点评】本题考查四种命题间的逆否关系,解题时要注意四种命题间的相互转化.

3. 已知函数

g =x﹣3, , (x)

g +h =x , 则f (x) (x) ( x) (x≠±3) .

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】先求出函数的定义域,再化简函数的解析式,可得答案. 【解答】解:由 得:x≠±3,

又∵函数

,g(x)=x﹣3,



∴f(x)g(x)+h(x)=

+

=x(x≠±3) ,

故答案为:x(x≠±3) 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解与化简,要注意函数定义域的限制. 4.已知集合 A={y|y=x2﹣2x﹣3},集合 B={y|y=﹣x2+2x+13},则 A∩B=[﹣4,14]. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】求出 A 与 B 中 y 的范围确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 A 中 y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4≥﹣4,得到 A=[﹣4,+∞) ; 由 B 中 y=﹣x2+2x+13=﹣(x﹣1)2+14≤14,得到 B=(﹣∞,14], 则 A∩B=[﹣4,14], 故答案为:[﹣4,14] 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 5.设常数 a∈R,函数 f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若 f(2)=1,则 f(1)=3. 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用 f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,f(2)=1,求出 a,然后求解 f(1)即可. 【解答】解:常数 a∈R,函数 f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若 f(2)=1, ∴1=|2﹣1|+|22﹣a|,∴a=4, 函数 f(x)=|x﹣1|+|x2﹣4|, ∴f(1)=|1﹣1|+|12﹣4|=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查函数值的求法,基本知识的考查. 6.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},且 B∩?UA={1,2},A∩?UB={5},?UA∩?UB={0,4}, 则集合 A={3,5}. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;数形结合法;集合. 【分析】画出利用韦恩图,直接得出结果. 【解答】解:全集 U={0,1,2,3,4,5},且 B∩?UA={1,2},A∩?UB={5},?UA∩?UB={0, 4}, 由韦恩图可知 A={3,5} 故答案为:{3,5}

【点评】本题考查了集合的描述法、列举法表示,集合的基本运算.若利用韦恩图,则形象、 直观.

7.已知集合 A={a|关于 x 的方程

有唯一实数解,a∈R},用列举法表示集合

A=



【考点】函数的零点. 【专题】分类讨论;转化思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】 若关于 x 的方程 有唯一实数解, 则 x+a=x2﹣1 有一个不为±1 的解, 或 x+a=x2

﹣1 有两解,其中一个为 1 或﹣1,分类讨论求出满足条件的 a 值,综合讨论结果,可得答案. 【解答】解:若关于 x 的方程 有唯一实数解,

则 x+a=x2﹣1 有一个不为±1 的解,或 x+a=x2﹣1 有两解,其中一个为 1 或﹣1, 当 x+a=x2﹣1 有一个解时, △ =1+4a+4=0,此时 a= ,x= ,满足条件;

若 x+a=x2﹣1 有两解,其中一个为 1 时,a=﹣1,x=0,或 x=1,满足条件; 若 x+a=x2﹣1 有两解,其中一个为﹣1 时,a=1,x=2,或 x=﹣1,满足条件; 综上所述:A= 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,分类讨论思想,转化思想,难度 中档. 8.对于集合 A,B,定义运算:A﹣B={x|x∈A 且 x?B},A△ B=(A﹣B)∪(B﹣A) .若 A={1, 2},B={x||x|<2,x∈Z},则 A△ B={﹣1,0,2}. 【考点】子集与交集、并集运算的转换. 【专题】计算题;新定义;集合思想;集合. 【分析】由已知中 A﹣B={x|x∈A 且 x?B},A△ B=(A﹣B)∪(B﹣A) ,结合已知中集合 A, B,代入可得答案. 【解答】解:∵A={1,2},B={x||x|<2,x∈Z}={﹣1,0,1}, ∴A﹣B={2},B﹣A={﹣1,0}, ∴A△ B={﹣1,0,2}, 故答案为:{﹣1,0,2} 【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题. ,

9. 设全集为 R, 对 a>b>0, 集合 M= }. <x≤ 【考点】交、并、补集的混合运算.



, 则 M∩CRN={x|b

【分析】 由 a>b>0, 可得

>b,

<a, 由基本不等式可得,



, 进而可得 CRN,

由交集的意义,分析可得答案. 【解答】解:由 a>b>0,可得 由基本不等式可得, > , >b, <a,

由补集的运算可得 CRN={x|x≤ 或 x≥a}, }. 由交集的意义,可得 M∩CRN={x|b<x≤ 【点评】本题考查集合间的混合运算,注意由不等式的性质,分析出集合间的关系,再来求 解. 10.已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为

,其中 a,c∈R,则关于 x 的不

等式﹣cx2+2x﹣a>0 的解集是(﹣2,3) . 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】转化思想;判别式法;不等式的解法及应用. 【分析】根据一元二次不等式与对应二次方程的关系,结合根与系数的关系,求出 a、c 的值, 即可求出不等式﹣cx2+2x﹣a>0 的解集. 【解答】解:∵关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为(﹣ , ) , ∴﹣ , 是一元二次方程 ax2+2x+c=0 的两实数根,且 a<0;





解得 a=﹣12,c=2; ∴不等式﹣cx2+2x﹣a>0 化为﹣2x2+2x+12>0, 即 x2﹣x﹣6<0, 化简得(x+2) (x﹣3)<0, 解得﹣2<x<3, 该不等式的解集为(﹣2,3) . 故答案为: (﹣2,3) . 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应二次方程的应用问题,也考查了转化思想的应用 问题,是基础题目. 11.对于实数 x,若 n≤x<n+1,规定[x]=n, (n∈Z) ,则不等式 4[x]2﹣20[x]+21<0 的解集是[2, 4) . 【考点】其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由条件求得求得 <[x]< ,再根据[x]的定义,可得 x 的范围.

【解答】解:不等式 4[x]2﹣20[x]+21<0,求得 <[x]< ,2≤x<4, 故答案为:[2,4) . 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法,[x]的定义,属于基础题. 12.不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣3<0 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是(﹣ 1,2]. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】转化思想;判别式法;不等式的解法及应用. 【分析】根据题意,讨论 a 的值,求出不等式恒成立时 a 的取值范围. 【解答】解:当 a=2 时,不等式化为﹣3<0,对 x∈R 恒成立, 当 时,





解得﹣1<a<2,不等式也恒成立; 综上,实数 a 的取值范围是(﹣1,2]. 故答案为: (﹣1,2]. 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题,解题时应对字母系数进行讨 论,是基础题目. 13.定义关于 x 的不等式|x﹣A|<B(A∈R,B>0)的解集称为 A 的 B 邻域.若 a+b﹣3 的 a+b 邻域是区间(﹣3,3) ,则 a2+b2 的最小值是 . 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】根据新定义由题意得:|x﹣(a+b﹣3)|<a+b 的解集为区间(﹣3,3) ,从而得到关 2 2 a b a +b 于 , 的等量关系,再利用基本不等式求得 的最小值. 【解答】解:由题意可得|x﹣(a+b﹣3)|<a+b 的解集为(﹣3,3) ,|x﹣(a+b﹣3)|<a+b 等 价于(﹣3,2(a+b)﹣3) , ∴2(a+b)﹣3=3,求得 a+b=3,∴a2+b2≥ 故 a2+b2 的最小值为 , 故答案为: . 【点评】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力 与化归与转化思想,属于基础题. 14.给出下列四个命题: (1)若 a>b,c>d,则 a﹣d>b﹣c; = ,

(2)若 a2x>a2y,则 x>y; (3)a>b,则 (4)若 ; ,则 ab<b2.

其中正确命题是(1) (2) (4) . (填所有正确命题的序号) 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;规律型;转化思想;综合法;不等式的解法及应用;简易逻辑. 【分析】分别利用不等式的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【解答】解: (1)由 c>d,得﹣d>﹣c,又 a>b,则 a﹣d>b﹣c.故(1)正确; (2)若 a2x>a2y,则 a2≠0,则 (3)若 a>0>b,则 a﹣b>a>0,则 (4)若 ,∴x>y.故(2)正确; .故(3)错误;

,则 b<a<0,∴ab<b2 .故(4)正确.

故答案为: (1) (2) (4) . 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了不等式的基本性质,是基础题. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15.下列每组中的两个函数是同一函数的是( ) A.f(x)=1 与 g(x)=x0 B. C.f(x)=x 与 与 g(x)=x D.f(x)=x 与

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;阅读型;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】分别由函数的定义域及对应关系是否相同逐一核对四个选项得答案. 【解答】解:∵f(x)=1 的定义域为 R,g(x)=x0 的定义域为{x|x≠0},两函数的定义域不同, 不是同一函数; =x,g(x)=x,两函数为相同函数; f(x)=x 的定义域为 R,g(x)= 是同一函数; f(x)=x, =|x|,两函数对应关系不同,不是相同函数. 的定义域为[0,+∞) ,两函数的定义域不同,不

故选:B. 【点评】本题考查函数相等的概念,考查了函数定义域的求法,是基础题.

16.若 a>0,b>0,则不等式﹣b< <a 等价于(

)

A.

<x<0 或 0<x< B.﹣ <x< D.x< 或 x>

C.x<﹣ 或 x>

【考点】不等关系与不等式. 【专题】计算题. 【分析】由题意不等式﹣b< <a,然后再进行等价变换,进行移项、通分,然后进行求解. 【解答】解:

故选 D. 【点评】此题考查不等关系与不等式的性质,解题的关键是利用已知条件进行通分. 17.下列说法正确的是( ) 2 A.“若 x =1,则 x=1”的否命题是“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件 C.“a+b≠3”是“a≠1 或 b≠2”的充分非必要条件 D.“ ”是“a>2 且 b>2”的充分必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】A.原命题的否命题是“若 x2≠1,则 x≠1”,即可判断出正误; B.由 x2﹣5x﹣6=0 解得 x=﹣1 或 6,即可得出结论; C.由 a=1 且 b=2?a+b=3,且逆否命题为:若“a+b≠3”,则“a≠1 或 b≠2”,即可判断出正误. D.由“a>2 且 b>2”?“ ”,反之不成立,例如 a=1,b=5,即可判断出正误.

【解答】解:A.“若 x2=1,则 x=1”的否命题是“若 x2≠1,则 x≠1”,因此不正确; B.由 x2﹣5x﹣6=0 解得 x=﹣1 或 6.∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件,因此不 正确; C.由 a=1 且 b=2?a+b=3,且逆否命题为:若“a+b≠3”,则“a≠1 或 b≠2”,因此“a+b≠3”是“a≠1 或 b≠2”的充分非必要条件,正确. D.由“a>2 且 b>2”?“ ”,反之不成立,例如 a=1,b=5,因此“ ”是“a>2

且 b>2”的必要非充分条件,不正确.

故选:C. 【点评】本题考查了充要条件的判定、命题之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 18.若 x>0,y>0,且 A.2 B. C.2 + ≤a D.1 恒成立,则 a 的最小值是( )

【考点】不等式的基本性质. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】由于 【解答】解:∵ ∴ , ∴a 的最小值是 故选:B. ≤2(x+y) ,x>0,y>0,且 ≤2(x+y) ,x>0,y>0,且 + + ≤a ≤a 恒成立,即可得出. 恒成立,



【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务 必写在答题纸上规定位置. 19.解关于 x 的不等式:mx2﹣(2m+1)x+2>0(m∈R) . 【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;分类讨论;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】讨论 m=0、m>0 以及 m<0 时,对应的不等式解集的情况,求出解集即可. 【解答】解: (1)当 m=0 时,原不等式可化为﹣x+2>0,即 x<2;… (2)当 m≠0 时,分两种情形: ①当 m>0 时,原不等式化为(mx﹣1) (x﹣2)>0,即 若 若 若 时,即 时,即 时,即 时,不等式的解集为 时,不等式的解集为 时,不等式的解集为(﹣∞,2)∪(2,+∞) ;… ; ;… ;… ;… ;

②当 m<0 时,原不等式化为 显然 ,不等式的解集为

综上所述:当 m=0 时,解集为(﹣∞,2) ; 当 当 时,解集为 时,解集为 .… ; ;

当 m<0 时,解集为

【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题,解题时应对字母系数进行分 类讨论,是易错题目.

20. (14 分)已知集合

,集合 B={x||x+2a|≤a+1,a∈R}.

(1)求集合 A 与集合 B; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】 (1)求出 A 中不等式的解集确定出 A,表示出 B 中不等式的解集确定出 B 即可; (2)由 A 与 B 的交集为 B,得到 B 为 A 的子集,确定出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)由 A 中方程变形得: (x﹣3) (x+2) (x+1)≤0, 解得:x≤﹣2 或﹣1<x≤3,即 A=(﹣∞,﹣2]∪(﹣1,3], 当 a+1<0 时,即 a<﹣1 时,B=?; 当 a+1≥0 时,即 a≥﹣1 时,B=[﹣3a﹣1,﹣a+1]; (2)∵A∩B=B, ∴B?A, 当 a<﹣1 时,B=?满足题意; 当 a≥﹣1 时,B=[﹣3a﹣1,﹣a+1], 此时有:﹣a+1≤﹣2 或 ,

解得,a≥3 或﹣1≤a<0, 综上所述,a∈(﹣∞,0)∪[3,+∞) . 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 21. (14 分)设 A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={x|x2+2x﹣8=0} (1)A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若??(A∩B)且 A∩C=?,求 a 的值; (3)A∩B=A∩C≠?,求 a 的值. 【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】先通过解二次方程化简集合 B,C. (1)根据 A∩B=A∪B?A=B,利用二次方程根与系数的关系列出方程求出 a 的值. (2)根据??(A∩B)且 A∩C=?,?3∈A,将 3 代入二次方程求出 a,注意要验证是否满足题 意. (3)由 A∩B=A∩C≠?,?2∈A,将 2 代入二次方程求出 a,注意要验证是否满足题意. 【解答】解: (1)∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2,3 },A∩B=A∪B,∴A=B. ∴2 和 3 是方程 x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根,∴2+3=a,∴a=5. (2)∵??(A∩B)且 A∩C=?,∴A 与 B 有公共元素而与 C 无公共元素,∴3∈A ∴9﹣3a+a2﹣19=0,解得 a=﹣2,或 a=5. 当 a=﹣2 时,A={3,﹣5}满足题意;当 a=5 时,A={2,3}此时 A∩C={2}不满足题意,∴a= ﹣2

(3)A∩B=A∩C≠?,∴2∈A,∴4﹣2a+a2﹣19=0 解得 a=﹣3,a=5. 当 a=﹣3 时,A={2,﹣5}满足题意;当 a=5 时,A={2,3}不满足题意,故 a=﹣3. 故答案为:a=﹣3. 【点评】本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合关系中的参数取值问题、方程的解 法等基础知识,考查运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想.属于基础题. 22. (16 分)我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建 一个占地面积为 S(平方米)的矩形 AMPN 健身场地.如图,点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上, 且 P 点在斜边 BC 上.已知∠ACB=60°,|AC|=30 米,|AM|=x 米,x∈[10,20].设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 的造价为 元,再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米

元(k 为正常数) .

(1)试用 x 表示 S,并求 S 的取值范围; (2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 T=f(S) ; (3)如何选取|AM|,使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) .

【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】 (1) 由解直角三角形, 可得矩形 AMPN 的面积 20],运用二次函数的最值求法,可得值域; (2)由三角形的面积和题意可得总造价 T=T1+T2,即可得到所求; (3)运用基本不等式,计算即可得到所求 x=12 或 18. 【解答】解: (1)在 Rt△ PMC 中,显然|MC|=30﹣x,∠PCM=60°, ∴ , 矩形 AMPN 的面积 ,x∈[10,20], 由 x(30﹣x)≤( )2=225,当 x=15 时,可得最大值为 225 ,

x∈[10, ,

当 x=10 或 20 时,取得最小值 200 , 于是 为所求. (2)矩形 AMPN 健身场地造价 T1= 又△ ABC 的面积为

, ,

,即草坪造价 T2=

由总造价 T=T1+T2, ∴ (3)∵ 当且仅当 即 , , 时等号成立, .

此时 ,解得 x=12 或 x=18, 答:选取|AM|的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低. 【点评】本题考查函数模型的运用,考查函数的值域和最值的求法,注意运用函数的单调性 和基本不等式,考查运算能力,属于中档题. 23. (18 分)已知 M 是满足下列性质的所有函数 f(x)组成的集合:对于函数 f(x) ,使得对 函数 f(x)定义域内的任意两个自变量 x1、x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|成立. (1)已知函数 f(x)=x2+1, ,判断 f(x)与集合 M 的关系,并说明理由;

(2)已知函数 g(x)=ax+b∈M,求实数 a,b 的取值范围; (3)是否存在实数 a,使得 ,x∈[﹣1,+∞)属于集合 M?若存在,求 a 的取值

范围,若不存在,请说明理由. 【考点】函数与方程的综合运用;函数的值. 【专题】计算题;新定义;函数思想;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用已知条件,通过判断任取 ,证明|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1

﹣x2|成立,说明 f(x)属于集合 M. (2)利用新定义,列出关系式,即可求出实数 a,b 的取值范围. (3)通过若 p(x)∈M,推出 ∪(1,+∞)时,p(x)?M. 【解答】解: (1)任取 , ,然后求解 a∈(﹣∞,﹣1)



,∴﹣1≤x1+x2≤1,∴0≤|x1+x2|≤1

∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2| 即|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|成立,f(x)属于集合 M… (2)∵g(x)=ax+b∈M, ∴使得任意 x1、x2∈R,均有|g(x1)﹣g(x2)|≤|x1﹣x2|成立. 即存在|g(x1)﹣g(x2)|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2| ∴ …

(3)若 p(x)∈M,则|p(x1)﹣p(x2)|≤|x1﹣x2|对任意的 x1、x2∈[﹣1,+∞)都成立.





∴|a|≤|(x1+2) (x2+2)| ∵x1、x2∈[﹣1,+∞) ,∴|(x1+2) (x2+2)|≥1, ∴|a|≤1,﹣1≤a≤1 ∴当 a∈[﹣1,1]时,p(x)∈M; 当 a∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)时,p(x)?M.…(18 分) 【点评】本题考查新定义的应用,函数与方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力、


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