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江西省七校2014届高三上学期第一次联考数学理试题 Word版含答案


江西省七校 2014 届高三上学期第一次联考理科数学试题
(测试时间:120 分钟
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分)

卷面总分:150 分)

N ? {x | y ? lg 2 1. 设集合 M ? { y | y ? 2 sin x , x ? [?5 , 5]} ,
A. {x | 1 ? x

? 5} C. {x | ?2 ? x ? 0} 2.设 a ? 30.5 , b ? log 3 5 , c ? cos3 ,则( A. a ? b ? c B. c ? a ? b
2

( x?1)

}, 则M ? N ? (



B. {x | ?1 ? x ? 0} D. {x | 1 ? x ? 2} ) C. c ? b ? a D. b ? c ? a

3 . 函 数 f ( x) ? a sin 2 x ? bx 3 ? 4 (a, b ? R) , 若 f ( lg ( ) A.2018

1 4 ? ) ? 2013, 则 f ( lg2 0 1 ) 2014
D.-2013

B.-2009

C.2013

4 .要得到函数 y ? cos ( 2x ? ( ) A.向左平移

?

1 3 cos2 x 的图像 ) 的图像,只需将函数 y ? s in 2 x ? 2 2 3

? 4

B.向左平移

? 8

C.向右平移

? 2

D.向右平移

? 3


5. 在等差数列 {a n } 中, 首项 a1=0, 公差 d≠0, 若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 , 则 k= ( A.22 B.23 C.24 D.25

b ? (1 , y ) , c ? (2 , ?4) , b // c , 6. 设 x, y ? R , 向量 a ? ( x , 1) , 且a ? c , 则 | a ? b |?
( ) B. 10 C. 2 5 D.10

A. 5

7.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和β 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件 中一定能推出 m⊥β 的是( ) A.α⊥β 且 m ? ? B.α⊥β 且 m // ? C. m // n 且 n⊥β D.m⊥n 且 ? // ?

8 .在 ?ABC 中,若 s in(A ? B) ? 1 ? 2 cos ( B ? C ) s in(A ? C ) ,则 ?ABC 的形状一定是 ( ) A.等边三角形 C.钝角三角形

B.不含 60°的等腰三角形 D.直角三角形

9. 定义域为 R 的连续函数 f ( x) , 对任意 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 且其导函数 f ?( x) 满足 ( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,有( A. f (2a ) ? f (2) ? f (log a 2)
a C. f (log a 2 ) ? f ( 2 ) ? f (2)



B. f (2) ? f (2a ) ? f (log a 2)
a D. f (2) ? f (log a 2 ) ? f (2 )

10.已知函数 f ( x) ? ?

? ?sin ?x (0 ? x ? 1) , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , x ? ?log 2014 x ? 1
C. (2,2015) D.[2,2015]

则 a+b+c 的取值范围是( ) A. (1,2014) B. (1,2015) 二.填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11.若 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ?( x) ? 0 的解集为 12.若点 P(cos? , sin? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 cos(2? ?



3? ) 的值等于 2




13.若正四棱锥的左视图如右图所示,则该正四棱锥体积为

第 13 题

第 14 题

14 .如图所示,在第一象限由直线 y ? 2 x , y ? 为 。

1 1 x 和曲线 y ? 所围图形的面积 2 x

15. 关于函数 f ( x) ? lg

x2 ? 1 ( x ? 0, x ? R) 有下列命题: ①函数 y ? f ( x) 的图像关于 y |x|

轴对称;②在区间(-∞,0)上,函数 y ? f ( x) 是减函数;③函数 f ( x) 的最小值 为 lg2 ;④在区间( 1 ,+ ∞ )上,函数 f ( x) 是增函数。其中是真命题的序号 为 。

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 12+12+12+12+13+14=75 分.解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤. 16 . (本小题满分 12 分)如图,平面四边形 ABCD 中, AB=13 , AC=10 , AD=5 ,

3 cos?DAC ? , AB ? AC ? 120 . 5
(Ⅰ) cos ?BAD ; (Ⅱ)设 AC ? x AB ? y AD ,求 x、y 的值。

17. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? (sin x ? 3 cos x) sin x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图像向左平移

1 . 2

? 个单位,再将得到的图像横坐标变为原来的 2 3
3 交 2

倍 (纵坐标不变) 后得到 y ? g ( x) 的图像, 若 y ? g ( x) ( x ? 0) 的图像与直线 y ? ? 点的横坐标由小到大依次是 x1 , x 2 ,?, xn ,?, 求数列 ?xn ? 的前 2n 项的和。

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a

2? x (a ? 0, a ? 1) . 2? x

(Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值和最小值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的定义域, 并求函数 g ( x) ? ?ax2 ? (2 x ? 4)a f ( x ) ? 4 的值域。 (用 a 表示) 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, ABCD 为平行四边形, 且 BC⊥平面 PAB, PA⊥AB, M 为 PB 的中点,PA=AD=2. P (Ⅰ)求证:PD//平面 AMC; (Ⅱ)若 AB=1,求二面角 B—AC—M 的余弦值。

M D A

C

B

20. (本小题满分 13 分)
2 2 已知各项均为正数的数列 {a n } 满足 an ?1 ? 2an ? an an ?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a 3 ?4 ,其中

n ? N *.
(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足 bn ?

nan 是否存在正整数 m、n(1<m<n) ,使得 b1 , bm ,b n (2n ? 1) ? 2 n

成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值,若不存在,请说明理由。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

a( x ? 1) ,其中 a>0. x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x 2 f ( x) ,求 g ( x) 在区间[1,e]上的最大值(其中 e 为自然 对的底数) 。

江西省七校 2014 届高三第一次联考数学答案 (理科)
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1—5 DCCAA 6—10 BCDDC

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 (2,+∞) 16、 (12分) 解: (1)设 ?CAB ? ?, ?CAD ? ? ,
cos ? ? AB ? AC | AB | ? | AC | ? 120 12 3 ? , cos ? ? 130 13 5

12、 ?

4 5

13、

2 3 3

14、ln2

15、①③④



? sin? ?

5 4 , sin ? ? , 13 5 …………………………………………………….3分

?cos ?BAD ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? 1 3 5 1 3 5 6 5 ……………………………………………………..6分

???? ??? ? ??? ?2 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ???? ? AC ? AB ? x AB ? y AD ? AB AC ? x ? AB ? y ? AD得 : ? ???? ???? ??? ? ???? ???? 2 ? AC ? AD ? x AB ? AD ? y AD ……….8分 ? (2)由

?120 ? 169x ? 16y ?? ?30 ? 16x ? 25y

………………………………………………..10分

解得:

x?

40 63

y?

50 63 . ………………………………………… 12分

17、 (12分) 【解析】 (Ⅰ)
f ( x) ? (sin x ? 3 cos x)sin x ? 1 1 ? sin 2 x ? 3 cos x sin x ? 2 2

? ?

1 ? cos 2 x 3 1 ? sin 2 x ? 2 2 2 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6 .………………………4分



2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

? 5 3? k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z (k ? Z) 2 3 6 ,所以
[k? ?

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为

5 , k? ? ? ], k ? Z 3 6 . ………………6分

f ( x) ? sin(2 x ? ) 6 的图象向左平移 3 个单位后, (Ⅱ)将 f ( x) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 3 6 2 得到 .…………………7分

?

?

?

?

?

再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后得到
y ? g ( x) ? cos x ,… 8 分解法 一:若 函数 g ( x) ? cos x( x ? 0) 的图象与直线
y??
x1

3 2 交点的横坐标由小到大依次是



x2



??? xn

、? 、

x2 n

,则由余弦曲线的对称性,周期性可知,

x ?x x ?x x1 ? x2 ? ? , 3 4 ? 2? ? ? ,?, 2 n?1 2 n ? 2(n ? 1)? ? ? , 2 2 2 …………9分

所以 x1 ? x2 ? ?? x2n?1 ? x2n ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ?? ( x2n?1 ? x2n )
? 2? ? 6? ? 10? ? ? ? (4n ? 2)? ? ?1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2n ? 1) ? ? 2?

?

n ?1 ? (2n ? 1)? 2

? 2? ? 2n 2?

.………………………………………………12分
y?? 3 2 交点的横坐标由小

解法二:若函数 g ( x) ? cos x( x ? 0) 的图象与直线
x1 x2 ??? xn x2 n

到大依次是





、? 、

,则

x1 ?

2? 4? , x2 ? 3 3 .……………9分

由余弦曲线的周期性可知,
x3 ? x1 ? 2? , x5 ? x1 ? 4? ,?, x2 n?1 ? x1 ? 2(n ? 1)?



x4 ? x2 ? 2? , x6 ? x2 ? 4? ,?, x2n ? x2 ? 2(n ?1)? .
所以 x1 ? x2 ? ?x2n?1 ? x2n ? ( x1 ? x3 ? ?? x2n?1 ) ? ( x2 ? x4 ? ?x2n )

? [nx1 ? 2? ? 4? ? ? ? 2(n ? 1)? ] ? [nx2 ? 2? ? 4? ? ? ? 2(n ? 1)? ] ? n( x1 ? x2 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 4?

? n(

2? 4? (n ? 1)n ? )? ? 4? ? 2n 2? .………………………12分 3 3 2
2? x 4 1 ? ? 1 ,显然 u 在 x ? [?1,1] 上单调递减,故 u ? [ ,3] , 2? x x?2 3

18.(12 分) 解: (1)令 u ?

故 y ? log 3 u ? [?1,1] , 即当 x ? [?1,1] 时, f ( x) max ? 1 , (在 u ? 3 即 x ? ?1 时 取得) ? ? ? ? ? ?
1 即 x ? 1时取得) 3

f ( x) m ? 1, (在 u ? i ? n

2? x g ( x) ? ?ax 2 ? 2 x, x ? (?2,2) , 由题易得: ? 0 ? f ( x) 的定义域为 (?2,2) , 2? x 1 因为 a ? 0, a ? 1 ,故 g ( x) 的开口向下,且对称轴 x ? ? 0 ,于是: a 1 1 当 1? ? ? (0,2) 即 a ? ( ,1) ? (1,??) 时 , g ( x) 的 值 域 为 a 2 1 1 ( ( g (?2), g ( )] ? (?4(a ? 1), ] ; a a 1 1 当 2? ? ? 2 即 a ? (0, ] 时 , g ( x) 的 值 域 为 a 2

(II)由

( ( g (?2), g (2)) ? (?4(a ? 1),4(1 ? a)) 19. (12 分) 解: (Ⅰ)证明:? ? ? ? ? ∵? ? ? ? 连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM ,

四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , ∴ 点 O 为 BD 的 中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

点.? ?

∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线, ∴ OM ???
PD ,?

?

?

?

?

?

?

?

?

…… 3 分

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC .? ? ? (Ⅱ)? ? 解法一? :? ? ? ? ? ? ? ……6 分 则 AD ? 平面 PAB ,

∵ BC ? 平面 PAB , AD ?? BC ,?

故 PA ? AD , 又 PA ? AB ? ? 且 AD ? AB ? A ,

∴?

PA ? 平面ABCD

取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF ?? PA ,且? ∴?
MF ? 平面ABCD .

MF ?

1 PA ? 1 .? 2

?

?

作 FG ? AC ,垂足为 G ,连接 MG ,由于 MF ? AC ,且 MF ? FG ? F , ∴ AC ? 平面MGF ,∴?
AC ? MG .

∴ ?MGF 为二面角 B ? AC ? M 的平面角.?

……?

9分

1 ?2 GF AF AF ? BC 2 5 由 Rt ?AGF ∽ Rt ?ABC ,得 ,得 GF ? , ? ? ? BC AC AC 5 5
GF 在 Rt?MGF 中, cos ?MGF ? ? MG 5 5 1? 1 5 ? 6 . 6

∴? ? (Ⅱ? )?

二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

6 .? 6

?

?

?

…… 12 分

解法二: ?

∵ BC ? 平面 PAB , AD / / BC , ?

则 AD ? 平面 PAB ,故

PA ? AD,

又 ∴ PA ? 平面ABCD .?

PA ? AB

? ? ? ? ? ?

? ? ……?

且 9分

AD ? AB ? A



?

?

?

以点 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴和 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 A(0,0,0) , C (2,1,0) , P(0,0,2) , B(0,1,0) , M (0, ,1) ,? ? ? ?
???? ? 1 AM ? (0, ,1) , 2 D ? x 求得平面 AMC 的法向量为 n ? (1, ?2,1) ,? 1 2

z P

?
M A

∴ AC ? (2,1,0) ,?

????

又平面 ABC 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) ,? ∴?

??? ?

O B y

C ? ??? ? ? ??? ? n ? AP 2 1 6 ? ???? ?? cos ? n, AP ?? ?? ? ? ? 6 1? 4 ?1 ? 2 6 n ? AP

.? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

∴? ?

二面角 B—AC—M 的余弦值为
2 2 因为 a n?1 ? 2a n ? a n a n ?1 ?

6 .? 6

?

…… 12 分

20、解析: (1)? 又 an ? 0 ?

即 (a n ?1 ? a n )( 2a n ? a n?1 ) ? 0 ?

所以有 2a n ? a n ?1 ? 0 ? 即 2a n ? a n ?1 所以数列 ?a n ?是公比为 2 的等比数列? 由 a 2 ? a 4 ? 2a3 ? 4 得 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4 ? 解得 a1 ? 2 。 n 从而,数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 2 (n ? N ? ) 。……………………6 分 ( II ) ?
(

??

bn ?

nan n , 若 b1 , bm , bn 成 等 比 数 列 , 则 n ? (2n ? 1) ? 2 2n ? 1

m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1
m2 n ? . 2 4m ? 4m ? 1 6 n ? 3 m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 由 2 ,可得 ? , n m2 4m ? 4m ? 1 6 n ? 3 6 6 ? m ? 1? 所以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0 ,解得: 1 ? 。 2 2



又 m ? N* ,且 m ? 1,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 . 故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 ? 使得 b1 , bm , bn 成等比数列。……………………13 分

ax 2 ? 2ax( x ? 1) ?ax ? 2a ? 21、(Ⅰ)① f '( x) ? (a ? 0) x4 x3
令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 2 ,又 f ( x) 的定义域是 x ? 0

∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,2) ,递减区间为(-∞,0)和(2,+∞) (4 分) ? ? y ? x ?1 0 ? 0 ? ? x0 ? 1 a ( x0 ? 1) (II)设切点为 ( x0 , y0 ) 则 ? y0 ? 解得 ? x0 2 ?a ? 1 ………………7 分 ? ? a (2 ? x0 ) ?1 ? 3 ? x0 (III) g ( x) ? x ln x ? a( x ?1)
g ' (x ) ? ln x? ? 1a

令 g '( x) ? 0 ,则 ln x ? a ?1 , x ? ea ?1 ①当 0 ? a ? 1时, g ( x) 在 [1, e] 单调增加
g ( x) ? g ( e) ? m a x e ? a? e a …………9 分

②当 1 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [1, e a ?1 ) 单调减少,在 (e a ?1 , e] 单调增加; 若 1 ? a ? e 时, g ( x)max ? g (e) ? e ? ae ? a ; e ?1 若 e ? a ? 2 时, g ( x)max ? g (0) ? 0 ;……………………11 分 e ?1 ③当 a ? 2 时, g ( x) 在 [1, e] 上单调递减, g ( x)max ? g (0) ? 0 ; 综上所述, 0 ? a ? e 时, g ( x)max ? g (e) ? e ? ae ? a ; e ?1

a ? e 时, g ( x)max ? g (0) ? 0 。……………………14 分 e ?1


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