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江苏省宿迁市宿豫中学2015届高考数学二轮复习专题检测:空间向量解决立体几何问题两妙招


29 空间向量解决立体几何问题两妙招 ——“选基底”与“建系” → → → → 1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,则 x, y 的值分别为________. 答案 1 1 , 2 2 → → → 解析 如图,AE=AA1+A1E → 1→ =AA1+ A1C1 2 → 1 → → =AA1+

(AB+AD), 2 1 1 所以 x= ,y= . 2 2 2.给出下列命题: → → → → ①AB+BC+CD+DA=0; ②|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; ③若 a 与 b 共面,则 a 与 b 所在的直线在同一平面内; → 1→ 1→ ④若OP= OA+ OB,则 P,A,B 三点共线. 2 3 其中正确命题的序号是________. 答案 ① 解析 由向量的运算法则知①正确;只有当向量 a,b 共线反向且|a|>|b|时成立,故②不正 1 1 确;当 a 与 b 共面时,向量 a 与 b 所在的直线平行、相交或异面,故③不正确;由 + ≠1 2 3 知,三点不共线,故④不正确.综上可得①正确. 3.(2014·无锡模拟)如图, 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 和 BM 所 成的角的大小是________. 答案 90° 解析 方法一 延长 A1B1 至 D,使 A1B1=B1D,则 AB1∥BD,∠MBD 就是直线 AB1 和 BM 所成的 角. 设三 棱柱的各条棱长为 2, 则 BM= 5,BD=2 2, C1D2=A1D2+A1C2 1-2A1D·A1C1cos 60°=16+4-2×4=12. DM2=C1D2+C1M2=13, BM2+BD2-DM2 ∴cos∠DBM= =0, 2·BM·BD ∴∠DBM=90°. → → → 方法二 不妨设棱长为 2,选择基向量{BA,BC,BB1}, → → → → → 1→ 则AB1=BB1-BA,BM=BC+ BB1, 2 → → → 1→ (BB1-BA)·(BC+ BB1) 2 → → cos〈AB1,BM〉= 2 2· 5 0-2+2+0 → → = =0,故〈AB1,BM〉=90°. 2 2· 5 4.P 是二面角 α -AB-β 棱上的一点,分别在平面 α 、β 上引射线 PM、PN,如果∠BPM =∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角 α -AB-β 的大小为________. 答案 90° 解析 不妨设 PM=a,PN=b,如图, 作 ME⊥AB 于 E,NF⊥AB 于 F, ∵∠EPM=∠FPN=45°, ∴PE= 2 2 a,PF= b, 2 2 → → → → → → ∴EM·FN=(PM-PE)·(PN-PF) → → → → → → → → =PM·PN-PM·PF-PE·PN+PE·PF 2 2 2 2 =abcos 60°-a× bcos 45°- abcos 45°+ a× b 2 2 2 2 = - - + =0, 2 2 2 2 → → ∴EM⊥FN,∴二面角 α -AB-β 的大小为 90°. ab ab ab ab 5.如图所示,正四面体 VABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M. (1)求证:AO、BO、CO 两两垂直; → → (2)求〈DM,AO〉 . → → → (1)证明 设VA=a,VB=b,VC=c, 正四面体的棱长为

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