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2006年全国高中数学联赛吉林预赛试题与答案


2006 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试卷 2006 年 5 月 21 日 8:30~11:00 一、选择题(每题 6 分共 36 分) 1. 如果集合 A={y|y=-x2+1,x∈R+},B={y|y=-x+1,x∈R},则 A 与 B 的交集是( A. (0,1)或(1,1) B. {(0,1),(1,1)} C. {0,1} D. (-∞,1) ) 2. 对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,?,pn),P 的“蔡查罗和”定义为 s1、s2、?sn、的 算术平均值,其中 sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,?,p2006)的“蔡查罗和”为 2007, 那么数列(1,p1,p2,?,p2006)的“蔡查罗和”为( A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 ) 3. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和直线 BC1 所成的角均 为 60° ,则这样的直线 l 的条数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于 3 ) 4. 已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x=5π/3 对称,则函数 y=asinx+cosx 的图象的一条对称 轴是( A. x=π/3 ) B. x=2π/3 C. x=11π/6 D. x=π ) 5. 若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A. (0,1) B. (-∞,1) C. (0,+∞) D. (0,0.5) 6. 在 6 个产品中有 4 个正品,2 个次品,现每次取出 1 个作 检查(检查完后不再放回) ,直到两个次品都找到为止,则 经过 4 次检查恰好将 2 个次品全部都找到的概率是 ( A. 1/15 B. 2/15 C. 1/5 D. 4/15 ) 1 1 1 1 1 1 ? ? 5 ? 4 10 ? 3 6 10 ? 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ? 二、填空题(每题 9 分共 54 分) 7. 若 sin 2 ( x ? ? 12 ) ? sin 2 ( x ? ? 12 )?? ? 3? 1 ,且 x ? ( , ) ,则 tanx 的值为__________。 2 4 4 8. 已知函数 f ( x) ? log1 x ,设 x ? 2 a b c ,y ? ,z ? ,其中 0<c<b<a<1,那么 f (a) f (b) f (c ) x、y、z 的大小顺序为_________。 9. 椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,左焦点为 F,若∠ABF 是直角,则 这个椭圆的离心率为_________。 10. 若关于 x 的方程 1 ? x 2 ? log2 ( x ? a) 有正数解,则实数 a 的取值范围为________。 11. 已知 P 为△ABC 内一点,且满足 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 ,那么 S△PAB:S△PBC:S△PCA =___。 12. 如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3,6,10,?,记这个数列前 n 项和为 S(n),则 lim n3 =___________。 n ??? S (n) 三、解答题(每题 15 分共 60 分) 13. 求证 1 ? 2 3 4? n ? 3 ,其中 n 为任意正整数。 14. 已知抛物线 C:x2=2py(p>0),O 是坐标原点,M(0,

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