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直线和圆的综合题


1、 、 (2010·江苏徐州三调)已知圆 M 的方程为 x 2 + ( y ? 2)2 = 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y = 0 ,点 P 在直线 ( 0 江苏徐州三调)

l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B .
(1)若 ∠APB = 60o ,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD = (3)求证:经过 A, P, M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标. (1)设 P (2m, m) ,由题可知 MP = 2 ,所以 (2m) + ( m ? 2) = 4 , 解析:
2 2

2 时,求直线 CD 的方程;

解之得: m = 0, m =

4 5 8 4 5 5
…………………………………………4 分

故所求点 P 的坐标为 P (0, 0) 或 P ( , ) .

(2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 = k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为

2 , 2

所以

2 ?2 k ? 1 = , 2 1+ k 2

……………………………………………………………………6 分

解得, k = ?1 或 k = ?

1 , 7

故所求直线 CD 的方程为: x + y ? 3 = 0 或 x + 7 y ? 9 = 0 .………………………………8 分 (3)设 P (2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

m + 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P, M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) + ( y ?
2

m m ? 1) 2 = m 2 + ( ? 1) 2 , 2 2

……………………………10 分

化简得: x 2 + y 2 ? 2 y ? m( x + y ? 2) = 0 ,此式是关于 m 的恒等式, 故?

? x 2 + y 2 ? 2 y = 0, ? x + y ? 2 = 0,

解得 ?

? x = 0 ? x = 1, 或? ? y = 2 ? y = 1.
…………………………………14 分

所以经过 A, P, M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) .

(2010· 广东惠州调研· 2、 2010· 广东惠州调研·文)在直角坐标系中,以 M ( ?1, 0) 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 3 = 0 相切. (2010 (1)求圆 M 的方程; (2)已知 A( ?2, 0) 、 B (2, 0) ,圆内动点 P 满足 | PA | ? | PB |=| PO |2 ,求 PA ? PB 的取值范围. 解析: (1)依题意,圆 M 的半径等于圆心 M ( ?1, 0) 到直线 x ? 3 y ? 3 = 0 的距离, 解析: 即r =

uuu uuu r r

| ?1 ? 3 | = 2 .……………………………………………………4 分 1+ 3

∴圆 M 的方程为 ( x + 1) + y = 4 .…………………………………6 分
2 2

(2)设 P ( x,y ) ,由 | PA | ? | PB |=| PO | ,
2

得 ( x + 2) + y ? ( x ? 2) + y = x + y ,
2 2 2 2 2 2 2 2 即 x ? y = 2 . ………………………………………………………………9 分

uuu uuu r r PA PB = (?2 ? x, y ) (2 ? x, y ) = y 2 + x 2 ? 4 = 2( y 2 ? 1) . ? ?
2 2 2 2

…………11 分

∵点在圆 M 内,∴ ( x + 1) + y < 4 ? 0 ≤ y < 4 ? ?1 ≤ y ? 1 < 3 , ∴的取值范围为 [ ?2, 6) .…………………………………………………………14 分
2 2 ( 高三第二次联考理) 3、 福建省宁德三县市一中 2010 年 4 月高三第二次联考理)已知圆 O : x + y = 1 ,点 O 为坐标 原点,

一条直线 l : y = kx + b(b > 0) 与圆 O 相切并与椭圆 (1)设 b = f (k ) ,求 f (k ) 的表达式; (2)若 OA ?OB =

x2 + y 2 = 1 交于不同的两点 A、B . 2

2 求直线 l 的方程; 3, 2 3 (3)若 OA ? OB = m( ≤ m ≤ ) 求三角形 OAB 面积的取值范围。 3 4 ,

来源:学科网 ZXXK]

2 2 解析: 解析 (1) y = kx + b (b > 0) 与圆 x + y = 1 相切,则

|b| 1+ k
2

= 1 ,即 b 2 = k 2 + 1(k ≠ 0) ,

所以 b =

k 2 + 1 . ……………………………………………………………3 分

[来源:学科网 ZXXK]

? y = kx + b, ? (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则由 ? x 2 2 ? + y = 1, ?2
消去 y 得: (2k + 1) x + 4kbx + 2b ? 2 = 0 .
2 2 2 2 又 ? = 8k > 0 (Q k ≠ 0) ,所以 x1 + x2 = ?

4kb 2b 2 ? 2 , x1 x2 = 2 . ……………… 5 分 2k 2 + 1 2k + 1

[来源:学科网 ZXXK]

uuu uuu 2 r r uuu uuu r r k2 +1 则 OA ? OB = x1 x2 + y1 y 2 = . 由 OA ? OB = , 2k 2 + 1 3
所以 k 2 = 1. b 2 = 2. b > 0, 所以b =

2,

……………………………………………7 分

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

所以l : y = x + 2, y = ? x + 2 .………………………………………………………8 分

k 2 +1 2 3 2 k 2 +1 3 = m. 因为 ≤ m ≤ , 所以 ≤ 2 ≤ , (3)由(2)知: 2k 2 + 1 3 4 3 2k + 1 4
1 所以 ≤ k 2 ≤ 1, …………………………………………………………………………10 分 2
由弦长公式得 | AB |=

k 2 +1 ?

2 2k 2 , 2k 2 + 1

所以 S =

2k 2 ( k 2 + 1) 1 | AB |= , 2 2k 2 + 1
……………………………………………………………14 分

解得

6 2 ≤S≤ . 4 3



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