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数学实验第七次作业


4. 问题: 某公司将 3 种不同含硫量的液体原料(分别记为甲、乙、丙)混合生产两种产品(分别 记为 A,B) 。按照生产工艺的要求,原料甲、乙必须首先导入混合池中混合,混合后的液体 再分别与原料丙混合生产 A,B。一直原料甲、乙、丙的含硫量分别是 3%,1%,2%,进货价 格分别为 6 千元/t,16 千元/t,10 千元/t;产品 A,B 的含硫量分别不能超过 2.5%,1.

5%,售 价分别为 9 千元/t,15 千元/t。根据市场信息,原料甲、乙、丙的供应量都不能超过 500t; 产品 A,B 的最大市场需求量分别为 100t,200t。 (1) 应如何安排生产? (2) 如果产品 A 的最大市场需求量增长为 600t,应如何安排生产? (3) 如果乙的进货价格下降为 13 千元/t,应如何安排生产?分别对(1)、(2)两种情况进 行讨论。 模型: (只考虑问题 1,问题 2,3 只需改变一些约束条件) 设生产时使用原料甲、乙分别为 x1 , x2 t,分别取混合后的液体 x3 , x4 t 再加入原料丙

x5 , x6 t 生产产品 A,B。
有质量守恒,可得

x1 ? x2 ? x3 ? x4
甲乙混合后的液体的含硫量可表示为

3 x1 ? x2 % ,根据含硫量的要求,可得 x1 ? x2

? 3x1 ? x2 ? x ? x %* x3 ? 2%* x5 ? 2.5%*( x3 ? x5 ) ? 1 2 ? ? 3x1 ? x2 %* x ? 2%* x ? 1.5%*( x ? x ) 4 6 4 6 ? ? x1 ? x2
根据市场的限制,易得

? x1 ? 500 ? x2 ? 500 ? ? ? x5 ? x6 ? 500 ? x ? x ? 100 ? 3 5 ? ? x4 ? x6 ? 200
当然还有非负约束

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ? 0
公司的净利润为(单位:千元) :

z ? 9( x3 ? x5 ) ? 15( x4 ? x6 ) ? 6 x1 ? 16 x2 ? 10( x5 ? x6 ) ? ?6 x1 ? 16 x2 ? 9 x3 ? 15x4 ? x5 ? 5x6

合理选择 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 使得 z 最大。 计算过程: 这是一个非线性规划问题,可直接用 matlab 优化工具箱提供的函数,不断尝试极小值 点,最后找到最小值。在求解的过程中要注意将约束条件转化为标准型。 编写程序: function z=exp0904(x) z=6*x(1)+16*x(2)-9*x(3)-15*x(4)+x(5)-5*x(6); function [c1,c2]=exp09042(x) c1=[(0.03*x(1)+0.01*x(2))*x(3)/(x(1)+x(2))+0.02*x(5)-0.025*(x(3)+ x(5)); (0.03*x(1)+0.01*x(2))*x(4)/(x(1)+x(2))+0.02*x(6)-0.015*(x(4)+x(6) )]; c2=[x(1)+x(2)-x(3)-x(4)]; x0=[100,100,100,100,100,100]; A1=[1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 1; 0 0 1 0 1 0; 0 0 0 1 0 1]; b1=[500,500,500,100,200]; A2=[1,1,-1,-1,0,0]; b2=[0]; v1=[0,0,0,0,0,0]; [x,fv,ef,out,lag,grad,hess]=fmincon(@exp0904, x0, A1,b1, A2, b2, v1, [], @exp09042) 实验结果: x = 8.7120 113.0749 fv = -351.3069 iterations: 23

5.0914 116.6955

0

83.3045

不断改变初值(其他实验结果略) ,当 x0=[0,100,0,100,0,100]时,发现函数只迭代一 次,取到最大值。公司进货为甲 0t,乙 100t,丙 100t,全部用于生产 200t 产品 B,获利 400 千元,即 40 万元。 对于问题(2),改变约束条件的值,

? x1 ? 500 ? x2 ? 500 ? ? ? x5 ? x6 ? 500 ? x ? x ? 600 ? 3 5 ? ? x4 ? x6 ? 200
发现公司进货为甲 300t,乙 0t,丙 300t,全部用于生产 600t 产品 A,获利 600 千元, 即 60 万元。 (程序略) 对于问题(3),公司利润变为

z ? 9( x3 ? x5 ) ? 15( x4 ? x6 ) ? 6 x1 ? 13x2 ? 10( x5 ? x6 ) ? ?6 x1 ? 13x2 ? 9 x3 ? 15x4 ? x5 ? 5x6
若A的最大市场需求量没变,公司进货为甲50t,乙100t,丙0t,全部用于生产200t 产 品B, 获利750千元, 即75万元。 若A的最大市场需求量增长为600t, 公司进货为甲50t, 乙100t, 丙0t,全部用于生产200t 产品B,获利750 千元,即75 万元。可以看到此结果与A 的需求 量无关。(程序略) 实验结果分析: 本题是非线性规划问题, 其约束是非线性的, 必须通过不断改变初值来求得不同的极值, 并从中找出最值。本题要去原料甲乙先混合,这样就把产品A,B的产量联系起来,将一个线 性规划问题转化为一个非线性规划问题。 对比:在 A 的需求量为100t 时乙为 16 千元/t 时:甲 0t,乙100t,丙100t,全部用于 生产200t 产品B,获利400 千元,即40 万元。乙为 13 千元/t 时:甲 50t,乙150t,丙0t, 全部用于生产200t 产品B,获利750 千元,即75 万元。浓度都恰好满足要求,即此时成本 最低。 A 需求量的约束条件没有起直接约束作用, 但却起到了间接约束的作用, 因为在 (2) 中,A 的需求为600t 时,商家会选择生产A,即在本题的需求约束条件,商家做出的决定 为:完全满足需求量生产一种商品。 8. 问题: 美国某三种股票(A,B,C)12年(1943-1954年)的价格(已经包括了分红在内)每年的 增长情况如下表所示 (表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况) 。 例如, 表中第一个数据1.300倍,即收益为30%,其余数据的含义以此类推。假设你在1955年时有一 笔资金准备投资这三种股票,并期望年收益率至少达到15%,那么你应当如何投资?此外, 考虑一下问题: (1) 当期望的年收益率在10%~100%变化时,投资组合和相应的风险如何变化? (2) 假设除了上述三种股票外,投资人还有一种无风险的投资方式,如购买国库劵。假 设国库券的年收益率为5%,如何考虑该投资问题? (3) 假设你手下目前握有的股票比例为:股票A占50%,B占35%,C占15%。这个比例与你 得到的最优解可能有所不同,到实际股票市场上每次股票买卖通常总有交易费,例 如按交易额的1%收取交易费,这时你是否仍需要对手上的股票进行买卖(换手), 以便满足“最优解”的要求?

年份 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954

股票A 1.300 1.103 1.216 0.954 0.929 1.056 1.038 1.089 1.090 1.083 1.035 1.176

股票B 1.225 1.290 1.216 0.728 1.144 1.107 1.321 1.305 1.195 1.390 0.928 1.715

股票C 1.149 1.260 1.419 0.922 1.169 0.965 1.133 1.732 1.021 1.131 1.006 1.908

股票指数 1.258997 1.197526 1.364361 0.919287 1.057080 1.055012 1.187925 1.317130 1.240164 1.183675 0.990108 1.526236

(1) 模型: 年投资收益率 R=x1R1+x2R2+x3R3 页是一个随机变量。根据概率论的知识,投资的总期 望收益为 ER=x1*ER1+x2*ER2+x3*ER3 年投资收益率的方差为 V=D(x1R1+x2R2+x3R3) =D(x1R1)+ D(x2R2)+ D(x3R3)+2cov(x1R1,x2R2)+ 2cov(x1R1,x3R3)+ 2cov(x2R2,x3R3) =x1^2DR1+ x2^2DR2+ x3^2DR3+2x1x2cov(R1,R2)+ 2x1x3cov(R1,R3)+ 2x2x3cov(R2,R3) =∑∑xixjcov(Ri,Rj)。 记股票 A,B,C 每年的收益率分别为 R1,R2 和 R3(注意表中的数据减去 1 以后才是年 收益率),可以计算出年收益率的数学期望为

ER1 ? 0.0890833,ER2 ? 0.213667, ER3 ? 0.234583.
同样,可以计算股票 A,B,C 年收益率的协方差矩阵为

?0.01080754 0.01240721 0.01307513? ? cov ? ? ? 0.01240721 0.05839170 0.05542639? ? ? 0.01307513 0.05542639 0.09422681? ?
用决策变量 x1,x2 和 x3 分别表示投资人投资股票 A,B,C 的比例.假设市场上没有其他投资 渠道,且受上资金(可以不妨假设只有 1 个单位的资金)必须全部用于投资这三种股票,则:

x1 ,x 2 ,x3 ? 0, x1 ? x 2 ? x3 ? 1
本题中,方差可表示为

V ? ? x1

x2

?0.01080754 0.01240721 0.01307513 ? ? x1 ? ? ? ? x3 ? * ? ? 0.01240721 0.05839170 0.05542639 ? * ? x2 ? ? ? 0.01307513 0.05542639 0.09422681? ? ? ? x3 ? ?

实际的投资者可能面临许多约束条件,这里只考虑题中要求的年收益率(的数学期望) 不低于 15%,即

ER ? 0.0890833*x1 ? 0.213667*x2 ? 0.234583*x3
所以,最后的优化模型就是收益和资金约束下极小化收益的方差,其中 ER 的约束在 10%~100%之间波动。由于目标函数 V 是决策变量的二次函数,而约束都是线性函数,所以 这是一个二次规划问题。 计算方法: 这是一个二次优化问题,可以直接利用 matlab 优化工具盒中给出的函数。 (注意将约束 转化为标准型)
H=[0.01080754,0.01240721,0.01307513;0.01240721,0.05839170,0.05542639; 0.01307513,0.05542639,0.09422681]./2; f=[0,0,0]; A1=[-0.0890833,-0.213667,-0.234583]; b1=-0.15; A2=[1,1,1]; b2=1; v1=[0,0,0]; v2=[1,1,1]; [x,fval,exit,out]=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2) x = 0.5301 0.3564 0.1135 即股票 A,B,C 分别投资 53。01%,35.64%,11。35%。 改变期望值。又股票的收益一定不会超过单个股票的最大收益,即股票 C 的收益,所以仅 考虑收益在 10%~23.5%之间波动的情况。 Q=[]; for b1=-0.1:-0.001:-0.235 [x]=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2) Q=[Q,x]; end [-b1;Q]

得到结果:

结果分析: 发现当投资人期望增加时,他将增加股票B,C的购买比例,减少股票A的购买比例。的 年收益大于21.9%时,投资人将不再购买股票A。 (2) 模型: 若增加国库券,设国库券的购买比例为 x4,则

x1 ,x 2 ,x3 ,x 4 ? 0, x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 1
由于国库券无风险,所以它收益的方差为 0,与其他股票的相关系数自然也为 0。协方 差阵变为:

?0.01080754 0.01240721 0.01307513 0 ? ? 0.01240721 0.05839170 0.05542639 0? ? cov = ? ? 0.01307513 0.05542639 0.09422681 0? ? ? 0 0 0 0? ?
收益变为:

ER ? 0.0890833*x1 ? 0.213667*x2 ? 0.234583*x3 +0.05*x4
程序变为: H=[0.01080754,0.01240721,0.01307513,0;0.01240721,0.05839170,0.

05542639,0;0.01307513,0.05542639,0.09422681,0;0,0,0,0]./2; f=[0,0,0,0]; A1=[-0.0890833,-0.213667,-0.234583,-0.05]; b1=-0.15; A2=[1,1,1,1]; b2=1; v1=[0,0,0,0]; v2=[1,1,1,1]; >> [x,fval,exit,out]=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2) x = 0.0869 0.4285 0.1434 0.3412 股票A,B,C,国库券的投资比例为8.69%,42.85%,14.34%,34.12%。 (3) 模型: 用x1,x2和x3分别表示投资人应当投资股票A、B、C的比例。为了避免出现非线性的情 况,将买卖股票的比例分离,假设购买股票A、B、C的比例为y1,y2和y3,卖出股票A、B、C 的比例为z1,z2和z3。其中,yi与zi(i=1,2,3)中显然最多只能有一个严格取正数,且 x1,x2,x3≧0, y1,y2,y3≧0, z1,z2,z3≧0 由于交易费用的存在,这是约束x1+x2+x3=1不一定还成立。关系应表示为: x1+x2+x3+0.01(y1+y2+y3+z1+z2+z3)=1. 另外,考虑到当前持有的各只股票的份额ci,xi,yi与zi(i=1,2,3)之间也应该满 足守恒关系式 xi=ci+yi-zi, i=1,2,3. 这就是新问题的约束条件,模型的其他部分不用改变。 计算方法:
H=[0.01080754,0.01240721,0.01307513;0.01240721,0.05839170,0.05542639; 0.01307513,0.05542639,0.09422681]./2; H=[H,zeros(3,6);zeros(6,9)] f=zeros(9,1); A1=[-0.0890833,-0.213667,-0.234583,0,0,0,0,0,0]; b1=-0.15; A2=[1,1,1,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01; 1,0,0,-1,0,0,1,0,0; 0,1,0,0,-1,0,0,1,0; 0,0,1,0,0,-1,0,0,1;]; b2=[1,0.5,0.35,0.15]; v1=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];

v2=[1,1,1,1,1,1,1,1,1]; [x,fval,exit,out]=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2)

x = 0.5293 0.3546 0.1155 0.0293 0.0046 0 0.0000 0 0.0345
结果分析: 投资人将买入股票A, 卖出股票C, 不交易股票B。 本程序中发现股票B不满足x2=c2+y2-z2, 可能是规划精度有问题。 参考LINDO软件的结果, 投资人最后应持有股票A, B, C分别为52.6%, 35%,12.3%。

实验总结: 通过本次实验, 我掌握了非线性规划的一些基本知识和用法。 这两道实验的难度都很大, 跟课本例题都有很大区别。其中第1题的约束是非线性的,这是我第一次遇到这种题目,第 二题与经济学的联系很大, 并用到了许多统计学的知识。 在解题过程中体会到解非线性问题 比线性问题更复杂, 非线性求解经常会出现一些偏差, 其实现的方法和手段更需要考虑效率 问题。解题时,进行了许多简化处理,有很多假设,这样使我们能够简化计算,节约了运算 时间。


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