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数量积的坐标表示


1

复习回顾

1.向量 a 与 b 的数量积的含义是什?

a ? b ?| a || b | cos?

a ? a?a ? a
cos ? ? a ?b a b

2

2

2.用坐标表示向量的基本原理是什么?

/>
取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i、 j作为基底,

若a ? xi ? y j 则a ? ( x, y)
3

两向量的和与差及共线可以转化为它们相应的坐标来运

算,那么怎样用

a和b的坐标表示a ? b呢?

4

已知两个向量a = (x1 , y1 ), b= (x2 , y2 ),

如何用a与b的坐标表示 a ? b呢?
y B(x2,y2) A(x1,y1)

b

j

a
i
x
5

o

a ? x1i ? y1 j,b ? x2 i ? y2 j,
? a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2 .
6

2

2

向量的数量积

已知两个向量a = (x1 , y1), b= (x2 , y2 ),

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

重点:

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算 可转化为向量的坐标运算. zxxk
7

设a ? ( x, y), 能否用向量的坐标表示 a ?

a ? a?a ? x ? y ,
2 2

2

?a ? x ?y .
2 2

8

向量的模
设a ? ( x, y ), 则 a ? x ?y 或a ?x ?y .
2 2 2 2 2

设( A x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

9

向量的夹角

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为? (0 ? ? ? 180 ), 能否用向量的坐标表示两向量的夹角?
cos ? ? a ?b a b
2 1

?
2 1

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ? 0, x ? y ? 0.
10

向量垂直

已知两个向量a = (x1 , y1), b= (x2 , y2 ),

能否用向量的坐标表示两向量垂直?

a ? b ? a ?b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

11

理论迁移

例1.已知向量 a ? (1,3) ,b ? (3,4) ,求: (1) a ? b ; (2) | a |、 |b| ; (3)(a ? b) ? (2a ? b) .

12

例2. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断
?ABC的形状,并给出证明.
证明: AB ? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)
y C(-2,5)

AC ? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)
? AB ? AC ? 1? (?3) ?1? 3 ? 0

? AB ? AC
?三角形ABC是直角三角形.
A(1,2) B(2,3)

0

x

13

向量的坐标表示: a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 )
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

( 1 )数量积的定义:

| a |? x1 ? y1

2

2

a ? b ?| a || b | cos? (2)向量模的表示:
2 2

| a |? a , (a ? a ? a)
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
x1 x2 ? y1 y2 x1 ? y1
2 2

(3)两向量垂直:

a ? b  ? a ?b ? 0
(4)向量夹角的表示:
2

cos ? ?

x2 ? y2

2

cos ? ?

a ?b | a || b |
14

1.已知向量a ? (k ,3), b ? (1,4), c ? (2,1) 且(2a ? 3b) ? c, 则实数k ?
9 A. ? 2

B.0

C .3

15 D. 2

15

2.若a ? (1,1), b ? (2,5), c ? (3, x), 满足 条件(8a ? b) ? c ? 30, 则实数x为何值?

16

作业 习题2.4 A组 9、10、11

.

.

17


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