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辽宁省沈阳市第二十一中学高三数学(文)总复习课件 函数与方程


必考部分

第二章
函数、导数及其应用

第九节

函数与方程

考 纲 点 击

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断 一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.

理基础

悟题型

明考向

课时作业



知识梳理

1.函数的零点 一般地,如果函数 y = f(x)在实数 α 处的值 等于零 , 即 f(α)=0 , 则 α 叫做这个函数的零点. 在坐标系中表示图象 与 x 轴的公共点是(α,0)点.

2.零点存在定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且在 它的两个端点处的函数值 异号 ,即 f(a)f(b)<0 ,则这个函 数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点 x0∈(a,b), 使 f(x0)=0,如果函数图象通过零点且 穿过 x 轴 ,则称这 样的零点为变号零点,如果 没有穿过 x 轴 零点为不变号零点. ,则称这样的

3. 用二分法求函数 f(x)(定义在区间 D 上)零点近似值的 步骤: 第一步:在 D 内取一个闭区间[a0, b0 ]

?D, 使 f(a0)与 f(b0)异号, 即 f(a0)· f(b0)<0, 零点位于区间[a0, b0]中. 第二步:取区间[a0,b0]的中点(如图),则此中点对应的 1 1 坐标为 x0=a0+2(b0-a0)=2(a0+b0).

计算 f(x0)和 f(a0),并判断: (1)如果 f(x0)=0,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止; (2)如果 f(a0)· f(x0)<0,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1 =a0,b1=x0; (3)如果 f(a0)· f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令 a1 =x0,b1=b0.

第三步:取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标 1 1 为 x1=a1+2(b1-a1)=2(a1+b1).

计算 f(x1)和 f(a1),并判断: (1)如果 f(x1)=0,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止; (2)如果 f(a1)· f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令 a2 =a1,b2=x1; (3)如果 f(a1)· f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令 a2 =x1,b2=b1. …

继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总 位于区间[an,bn]上,当 an 和 bn 按照给定的精确度所取的近 似值相同时,这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零 点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点满足给定的精确 度.

基础自测
1 .下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 ( )

答案:C

?x-1?lnx 2.函数 f(x)= 的零点有( x-3 A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

)

?x-1?lnx 解析:由 f(x)= =0,得 x=1, x-3 ?x-1?lnx ∴f(x)= 只有一个零点. x-3

答案:B

1 3.函数 f(x)=lgx- x的零点所在的区间是( A.(0,1] C.(10,100] B.(1,10] D.(100,+∞)

)

1 1 解析:∵f(1)=lg 1-1=-1<0,f(10)=lg 10-10 9 =10>0, f(1)· f(10)<0,∴函数在(1,10]有零点.

答案:B

4.已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实 数 a 的取值范围是__________.

解析:∵函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上有零点. ∴f(0)f(1)<0.即 a(a+2)<0,解得-2<a<0.

答案:(-2,0)

5.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验 证 f(2)· f(4)<0,给定精确度 ε=0.01,取区间(2,4)的中点 x1= 2+4 =3, 计算得 f(2)· f(x1)<0, 则此时零点 x0∈__________(填 2 区间).
解析:由 f(2)· f(3)<0 可知.
答案:(2,3)

要点点拨
1.函数零点的理解 函数的零点是指方程 f(x)=0 的根,也可以认为函数 f(x) 与 x 轴交点的横坐标,但不是指交点(x,f(x)). 2.函数零点具有的性质 对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数 零点具有以下性质: (1)当它通过零点(不是偶次零点)时,函数值变号;

(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.零点存在定理的零点个数 (1)在(a,b)上存在零点(此处的零点不仅指变号零点), 个数不定,若仅有变号零点,则有奇数个. (2)若函数在(a,b)上有零点,不一定有 f(a)· f(b)<0.

热点题型一

确定函数零点所在的区间

[例 1] ( )

1 x-2 3 (1)函数 f(x)=(2) -x 的零点所在的区间为

A.(0,1) C.(2,3)

B.(1,2) D.(3,4)

2 (2) 函数 f(x) = ln(x - 2) - x 的零点所在的大致区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) [思路点拨] (1)根据函数零点的存在性定理,只需验证

选项中区间端点的函数值是否异号即可作出判断. (2)根据所给区间把不在定义域中的区间去掉, 然后把所 给区间的两个端点的函数值求出,再判断.

[解析]

1 0-2 (1)∵f(0)=(2) -0=4>0,

1 1 -2 3 f(1)=(2) -1 =1>0, 1 2 -2 3 f(2)=(2) -2 =-7<0, ∴f(1)· f(2)<0, 1 x-2 3 故函数 f(x)=( ) -x 的零点所在的区间为(1,2). 2

(2)由题意知函数 f(x)的定义域为{x|x>2}, ∴排除 A. 2 1 ∵f(3)=- <0,f(4)=ln2- >0, 3 2 2 f(5)=ln3-5>0, ∴f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)>0, ∴函数 f(x)的零点在(3,4)之间,故选 C.
[答案] (1)B (2)C

[规律总结]

(1)判断函数零点所在的区间,当方程 f(x)

=0 无法解出或函数 y=f(x)的图象不易作出时,常用函数零 点存在的判定定理判断. (2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.

变式训练 1 函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) )

[解析]

因为 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点在

区间(0,1)上,故选 C.

[答案] C

热点题型二

函数零点个数的判定

[例 2]

(2012· 天津)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1) ) B.1 D.3

内的零点个数是( A.0 C.2

[思路点拨] 把求函数 f(x)的零点个数问题转化为函 数 y1=2x-2 与 y2=-x3 的图象在区间(0,1)内的交点个数 问题,作出函数图象结合区间端点值即可判断结果.

[解析]

解法一:函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的

零点个数即为函数 y1=2x-2 与 y2=-x3 的图象在区间(0,1) 内的交点个数.作图,可知在(0,+∞)内最多有一个交点, 故排除 C、D 项;当 x=0 时,y1=-1<y2=0,当 x=1 时, y1=0>y2=-1,因此在区间(0,1)内一定会有一个交点,所以 A 项错误,故选 B.

解法二:因为 f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+13-2=1, 故 f(0)· f(1)<0,又函数 f(x)在(0,1)内单调,故 f(x)在(0,1)内的 零点个数是 1.

[答案]

B

[规律总结]

在解决函数与方程问题中的函数的零点问

题时,要学会掌握转化与化归思想的运用,如本例直接根据 已知函数求函数的零点个数难度很大,也不是初等数学能轻 易解决的,所以遇到此类问题第一反应就是转化已知函数为 熟悉的函数再进行数形结合求解,实际上也是在考查考生的 转化与化归的能力.对于此类问题还要注意灵活运用函数的 性质,如函数的单调性、奇偶性等.

变式训练 2 (2013· 郑州模拟)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2) =f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的 零点个数是( )

A.多于 4 B.4 C.3 D.2

[解析]

由题意可知, 函数 y=f(x)是周期为 2 的偶函数,

在同一直角坐标系中作出函数 y=f(x)和 y=log3|x|的图象, 如图所示,结合图象可以知函数的零点有 4 个.

[答案]

B

热点题型三
[例 3]

二分法的应用
用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点

时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零 点 x0∈________,第二次应计算________.以上横线上 应填的内容为( )

A.(0,0.5) f(0.25) B.(0,1) f(0.25) C.(0.5,1) f(0.75) D.(0,0.5) f(0.125)

[解析]

由于 f(0)<0,f(0.5)>0,f(0)· f(0.5)<0,

所以零点 x0∈(0,0.5), 0+0.5 第二次应计算 f( ), 2 即 f(0.25),故选 A.
[答案] A

[规律总结] 利用二分法求近似解需注意的问题 (1)第一步中:①区间长度尽量小;②f(a)、f(b)的值比较 容易计算且 f(a)· f(b)<0; (2)根据函数的零点与相应方程根的关系, 求函数的零点 与相应方程的根是等价的.

变式训练 3 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数 值的部分参考数据如下: f(1)=-2 f(1.375)≈- 0.260 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.4375)≈0.1 62 f(1.40625)≈- 0.054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1) 为________.

[ 解析]

由参考数据知 f(1.4375) > 0 , f(1.40625) < 0 , 0.1 时 ,

f(1.4375)· f(1.40625) < 0 , 且 精 确 到

1.4375≈1.4,1.40625≈1.4,所以函数 f(x)的一个零点的近似 值是 1.4,也就是方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根.
[答案] 1.4

热点题型四

函数零点的应用

[例 4]

设函数 f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),

若关于 x 的函数 F(x)=g(x)-f(x)-m 在[1,2]上有零点, 求 m 的取值范围.

[解]

法一:令 F(x)=0,即 g(x)-f(x)-m=0.

所以有 m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1) 2x-1 2 =log2 x =log2(1- x ) 2 +1 2 +1 ∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5, 2 2 2 ∵5≤ x ≤3, 2 +1

1 2 3 ∴3≤1- x ≤ , 2 +1 5 1 2 3 ∴log23≤log2(1- x )≤log25, 2 +1 1 3 即 log2 ≤m≤log2 , 3 5 法二:log2(2x-1)=m+log2(2x+1). ∴log2(2x-1)=log2[2m· (2x+1)]. ∴2x-1=2m· (2x+1).

m 2 +1 x m m x ∴2 (1-2 )=2 +1,2 = . 1-2m

2m+1 即 x=log2( ). 1-2m 2m+1 ∵1≤x≤2,∴1≤log2( )≤2. 1-2m 2m+1 1 3 m ∴2≤ ≤ 4 ,解得 ≤ 2 ≤ . m 3 5 1-2 1 3 即 log2 ≤m≤log2 . 3 5

[规律总结] 的方法和思路:

已知函数有零点(方程有根)求参数值常用

(1)直接法: 直接求解方程得到方程的根, 再通过解不等 式确定参数范围; (2)分离参数法: 先将参数分离, 转化成求函数值域问题 加以解决; (3)数形结合: 先对解析式变形, 在同一平面直角坐标系 中,画出函数的图象,然后观察求解.

变式训练 4 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[0,2] 1 |x-m| 时,f(x)=( ) . 2 (1)求 m 的值; (2)设 g(x)=log2x,证明:方程 f(x)=g(x)只有一个实数 解.

[解]

(1)由 x∈[0,2]时,f(x+2)=f(x),

有 f(2)=f(0),得|2-m|=|m|,∴m=1 1 (2)当 x∈[0,2]时,f(x)∈[ ,1],又 f(x)是周期为 2 的周 2 1 期函数,故 f(x)的值域为[2,1], 当 x>2 时,g(x)>1≥f(x),故此时方程无解; 当 0<x≤1 时,g(x)≤0<f(x),此时方程无解; 当 x=2 时,f(x)≠g(x),方程无解;

当 1<x<2 时,记 F(x)=f(x)-g(x) 1 - 1 =(2)x 1-log2x,F(1)· F(2)=-2<0 且 F(x)单调递减,所 以函数 F(x)在 x∈(1,2)内有惟一的零点, 即方程 f(x)=g(x)在 x∈(1,2)上有唯一实数解. 综上可知,方程 f(x)=g(x)有唯一的实数解.

命题透视

从近两年高考试题来看,函数的零点、方程的根的问题是 命题的热点,题型多为客观试题,着重考查利用函数零点的 存在性定理或函数的图象判断零点问题,及数形结合思想.

创新探究——数形结合思想在求函数零点中的应用

[例题]

(2011· 山东高考)已知函数 f(x)=logax+x-

b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0 ∈(n,n+1),n∈N*,则 n=__________.

[解析]

令 y1=logax,y2=b-x.

函数 f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标. 由于直线 y2=b-x 在 y 轴上的截距 b 满足 3<b<4. 结合图象(如图所示),函数 f(x)有唯一零点 x0,且 x0>2, 注意到 2<a<3,且 3<b<4,可进一步得到:

f(2)=loga2+2-b<1+2-b<0,f(3)=loga3+3-b>1+3 -b>0,且 f(x)=logax+x-b 在(0,+∞)上是增函数. ∴x0∈(2,3),故 n=2.

[答案]

2

【阅卷人点评】 本题易出现的错误是: (1)作图不规范, 难以直观观察到 x0>2,导致计算有误; (2)缺乏数形结合的思维意识,难以联想到求 f(2),f(3) 值的符号,思维受阻. 解题要注意以下几点: (1)判定函数的零点或由零点求参数问题要树立数形结 合的思想意识; (2)熟练掌握基本初等函数的图象及其特征, 是正确求解 的基础.

考题体验
1.(2012· 湖北)函数 f(x)=xcosx2 在区间[0,4]上的零点个 数为( A.4 ) B.5 C.6 D.7

解析:令 f(x)=xcosx2=0 可得,x=0 或 cosx2=0,故 x π =0 或 x =kπ+2,k∈Z.又 x∈[0,4],则 x2∈[0,16],则 k=
2

0,1,2,3,4 符合题意,故在区间[0,4]上的零点个数为 6.

答案:C

2. (2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函 数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区 间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 C.8 B.7 D.9 )

解析:当 0≤x<2 时,令 f(x)=x3-x=0,得 x=0 或 x =1. 根据周期函数的性质,由 f(x)的最小正周期为 2, 可知 y=f(x)在[0,6)上有 6 个零点, 又 f(6)=f(3×2)=f(0)=0, 所以 f(x)在[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7.
答案:B

3.(2011· 陕西)函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

)

解析:

令 f(x)=0,得 x=cosx,

∴在同一坐标系内画出两个函数 y= x与 y=cosx 的图 象如图所示,由图象知,两个函数只有一个交点,从而方程 x=cosx 只有一个解. ∴函数 f(x)只有一个零点.

答案:B

温 馨 提 示

请做:课时作业 (12)
课时作业·堂堂清

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