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北京市石景山区2015届高三3月统一测试(一模)数学(文)试题


2015 年石景山区高三统一测试



学(文)

本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

[来源:.Com]

、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1.已知集合 A ? {?1, 2} , B ? x ? Z 0 ? x ? 2 ,则 A A. {0} B. {2} C. {0,1, 2} ) D.关于 x ? ? 对称 D. ?

?

?

B =(



2.函数 y ? sin(? ? x) ?1 的图象( A.关于 x ?

?
2

对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

3.两旅客坐火车外出旅游,希望座位 连在一起,且有一个靠窗,已知火车上 的座位的排法如图所示,则下列座位 号码符合要求的是( A.48,49 C.75,76 ) 窗

1

2

过 道
[来

3

4

[



5 窗

源:.Com]

6 口 11 16

7 12 17

源:学&科&

8 13 …

9 14 …

10 口 15 …

网][来源:学,科,

B.62,63 D.84,85

网]

4.如图,在 6 ? 6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量

开始

b
输入整数x



a, b , c 满足 c ? xa ? yb ,( x, y ? R) ,则 x ? y ? (
A. 0 B. 1 C. 5 5



13 D. 5

c


x?2


a


1 5.阅读右面的程序框图,若输出的 y ? , 2
则输入的 x 的值可能为( A. ?1 B. 0 )

? y ? sin( x) 6
输出

y ? 2x

y

结束

C. 1

D. 5

6.函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) (其中 a ? b )
f ( x)

y

的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的大致图象是( y ) y y 1 y

-1 O

. . 1

x

. . O 1 x
1 A

. . O 1 x
1 B

. 1 . x O
C

. . O 1 x
1 D

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线 画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度为( A. 2 2 C. 3 ) B. 6 D. 2 3

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 M 在棱 AB 上,且 AM ?

D1 A1 B1

C1

1 ,点 P 是平面 3

ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离 与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.抛物线 ) C.双曲线 D.椭圆 A

D

. P . M

C B

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

9.已知角 ? 的终边经过点 P( x, ? 6) ,且 tan ? ? ?

3 ,则 x 的值为 5



?x ? y ? 2 ? 0 y ? 10.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? 1 ?



11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“是 乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.四位歌 手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (0, 2) ,B ( ?2,0) ,C (1,0) ,分别以△ABC 的 边 AB、AC 向外作正方形 ABEF 与 ACGH , 则直线 FH 的一般式方程为 . B O C E F y H A G x .

13.某学校拟建一块周长为 400 米的操场,如图所示, 操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操 一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域 尽可能大,矩形的长应该设计成 14 . 已 知 集 合 M ? {( x , y ) | y? 米.

f ( x )} , 若 对 于 任 意 ( x1, y1 ) ? M , 存 在 ( x2 , y2 ) ? M , 使 得

x1 x2 ? y1 y2? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:
① M ? {( x, y )| y ? x +1} ;
2

② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

③ M ? {( x, y )| y ? 2 ? 2} ;
x

其中是“垂直对点集”的序号是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ( n ,

Sn ), n ? N * 均在函数 y ? x 的图象上. n

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 ?bn ? 为等比数列,且 b1 ? 1, b1b2b3 ? 8 ,求数列 ?an +bn ? 的前 n 项和 Tn .

16.(本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值; (Ⅲ)若 b ? 3 3 ,求△ABC 的面积.
b 2 3 ? , A ? 3C ? ? . c 3

17. (本小题满分 13 分) 已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表,若抽取学生 n 人,成绩分为 A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级,设 x,y 分别表示语文成绩与数学成绩.例如:表中 语文成绩为 B 等级的共有 20+18+4=42 人.已知 x 与 y 均为 B 等级的概率是 0.18.

x
人数 语 文

A

B

C

y

数学

A B C (Ⅰ)求抽取的学生人数;

7 9 a

20 18 4

5 6 b

(Ⅱ)设该样本中,语文成绩优秀率是 30%,求 a,b 值; (Ⅲ)已知 a ? 10, b ? 8 ,求语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,已知 AF ? 平面 ABCD,四边形 ABEF 为矩形,四边形 ABCD 为直角梯形,

? DAB ? 90 ,AB//CD,AD = AF = CD = 2,AB = 4.
(Ⅰ)求证:AC ? 平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 A ? CDE 的体积; (Ⅲ)线段 EF 上是否存在一点 M,使得 BM ? CE ? 若存在,确定 M 点的位置;若不存在,请说明理由. F

E

B C A D

19.(本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C: 为线段 OB 的中点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任意作一条直线与椭圆 C 相交于两点 P,Q 试问在 x 轴上是 否存在定点 N,使得∠PNM =∠QNM ? 若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理由.
Q

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴的右端点为 B, M(1,0) 2 2 b a
y

O

. . M B N x

P

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ? 取值范围; (Ⅲ)设各项为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2(n ? N *) , 求证: an ? 2 ? 1 .
n

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 [1 , 4] 上恰有两个不等的实根,求实数 b 的 2 2

2015 年石景山区高三统一测试

数 学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 B 7 C 8 B

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 10 6 11 丙 12 13 100 14 ③④

x + 4 y - 14 = 0

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题共 13 分) (Ⅰ )依题意得

Sn ? n ,即 Sn =n2 . n
……………1 分 ……………3 分

当 n=1 时,a1=S1=1 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ; 当 n=1 时,a1= 2 ? 1 ? 1 =1 所 源。 以

an ? 2n ? 1

















……………4 分

(Ⅱ) b1b2b3 ? b23 ? 8 得到 b2 ? 2 ,又 b1 ? 1 错误!未找到引用源。,? q ? 2 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 未找到引用源。 ……………8 分错误!

?an ? bn ? 2n ? 1 ? 2n?1 错误!未找到引用源。, Tn ? (2 ? 1 ? 20 ) ? (4 ? 1 ? 21 ) ? ??? ? (2n ? 1 ? 2n?1 ) ? (2 ? 1 ? 4 ? 1 ? ???2n ? 1) ? (20 ? 21 ? ??? ? 2n?1 )

? n 2 ? 2n ? 1

……………13 分

16.(本小题共 13 分) (Ⅰ )因为 A ? B ? C ? p , A ? 3C ? p ,所以 B ? 2C . ……………………1 分

b c b sin B 2 3 2sin C cos C ? , ? , , ? 3 sin C sin B sin C c sin C 3 化简得, cos C ? . … ……………………4 分 3
又由正弦定理, 得 (Ⅱ)因为 C ? ? 0, p ? ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? 所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? (Ⅲ)因为 B ? 2C ,
1 6 ? . 3 3

6 3 2 2 ? ? . 3 3 3

………………………7 分

1 1 所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 3 3
所以 sin A ? sin( B ? C ) ? 因为
2 2 3 1 6 6 ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 3 9

……………………9 分 ……………………11 分 ……………………12 分

b 2 3 9 ? , b ? 3 3 ,所以 c ? . c 3 2

1 1 9 6 9 2 ? 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 3 ? ? . ………………………13 分 2 2 2 9 4

17.(本小题共 13 分) (Ⅰ )由题意可知

18 =0.18,得 n=100.故抽取的学生人数是 100. n

………………2 分 ………………4 分 ………………6 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ )知 n=100,所以 (7 ? 9 ? a) /100=0.3 ,故 a=14, 而 7+9+a+20+18+4+5+6+b=100,故 b=17.

(Ⅲ)设“语文成绩为 A 等级的总人数比语文成绩为 C 等级的总人数少”为事件 A, 由(Ⅱ)易知 a+b=31,且 a≥10,b≥8, 满足条件的(a,b)有 (10,21),(11,20),(12,19),(13,18), (14,17), (15,16),(16,15 ),(17,14),(18,13),(19,12), (20,11),(21,10),(22,9),(23,8),共有 14 组, 其中 b+11 ? a+16 的有 3 组, 则所求概率为 P ( A)= ………………7 分

………………10 分 ………………12 分 ………………13 分

3 . 14

18.(本小 题共 14 分) (Ⅰ )过 C 作 CN ? AB,垂足为 N, 因为 AD ? DC,所以四边形 ADCN 为矩形.所以 AN ? NB ? 2. 又因为 AD ? 2,AB ? 4,所以 AC ? 2 2 ,CN ? 2 ,BC ? 2 2 , 所以 AC2+BC2 ? AB2,所以 AC ? BC; ………2 分

因为 AF ? 平面 ABCD,AF//BE 所以 BE ? 平面 ABCD,所以 BE ? AC, 又因为 BE ? 平面 BCE,BC ? 平面 BCE,BE 所以 AC ? 平面 BCE. (Ⅱ) 因为 AF ? 平面 ABCD,AF//BE 所以 BE ? 平面 ABCD BC ? B
E M F

………3 分

………4 分

B N C D

VA?CDE ? VE ? ACD

1 4 ? EB ? S?ACD ? 3 3

………8 分
A

(Ⅲ)存在,点 M 为线段 EF 中点,证明如下:

…………9 分

在矩形 ABEF 中,因为点 M,N 为线段 AB 的中点,所以四边形 BEMN 为正方形, 所以 BM ? EN; 因为 AF ? 平面 ABCD,AD ? 平面 ABCD,所以 AF ? AD. 在直角梯形 ABCD 中,AD ? AB,又 AF 又 CN//AD,所以 CN ? 平面 ABEF, 又 BM ? 平面 ABEF 所以 CN ? BM; 又 CN EN ? N,所以 BM ? 平面 ENC,又 EC ? 平面 ENC, …………14 分 …………12 分 AB ? A,所以 AD ? 平面 ABEF, …………10 分

所以 BM ? CE.

19.(本小题共 14 分) (Ⅰ)由题意知, b ? 2 由e ? …………………1 分 …………………3 分

2 a ? 2 2, 2 ,

椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 8

…………………4 分

(Ⅱ)若存在满足条件的点 N,坐标为(t,0),其中 t 为常数. 由题意直线 PQ 的斜率不为 0, 直线 PQ 的方程可设为: x ? my ? 1 , (m ? R) 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) , …………………5 分

? x ? my ? 1, ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x 得: (1 ? 2m2 ) y 2 ? 4my ? 6 ? 0 , ? ?1 ? 8 ?4
? ? 16m2 ? 24(1 ? 2m2 ) ? 0 恒成立,所以 y1+y2=
由 ?PNM ? ?QNM 知: kPN +kQN ? 0

…………………7 分

?4m ?6 , y1 y2= 2 1 ? 2m 1 ? 2m 2

……8 分

…………………9 分

k PN ?

y1 y , kQN ? 2 , x1 ? t x2 ? t
…………………10 分



y1 y y1 y2 , ? 2 ? 0 ,即 ?? x1 ? t x2 ? t my1 ? 1 ? t my2 ? 1 ? t

展开整理得 2my1 y2 ? (1 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 , 即

2m( ?6) ?4m(1 ? t ) ? ? 0, 1 ? 2m 2 1 ? 2m 2

…………………12 分

0) ……14 分 即 m(t ? 4) ? 0 ,又 m 不恒为 0,? t =4 .故满足条件的点 N 存在,坐标为 (4,

20.(本小题共 13 分) (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ?? ) , f ?( x ) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) , x

……………2 分

依题意 f ?( x) ? 0 在 ( x ? 0) 时恒成立,则 a ?

1 ? 2x 1 ? ( ? 1)2 ? 1 在 ( x ? 0) 时恒成立, 2 x x
………… 4 分

当 x ? 1 时, (

1 ? 1)2 ? 1 取最小值 ?1 ,? a ? ( ??, ?1] . x

(Ⅱ)已知条件等价于方程

1 2 3 x ? x ? ln x ? b ? 0 在 [1, 4] 上有两个不同的实根, 4 2

设 g ( x) ?

1 2 3 x ? x ? ln x, x ? [1, 4] , 4 2

g ?( x ) ?

( x ? 2)( x ? 1) , x ? [1,2) 时, g ?( x ) ? 0 , x ? (2, 4] 时, g ?( x) ? 0 2x
………… 6 分

5 g ( x) min ? g (2) ? ln 2 ? 2, g (1) ? ? , g ( 4) ? 2 ln 2 ? 2 , 4
由 g (1) ? g ( 4) ?

3 1 ? 2 ln 2 ? (3 ? 4 ln 4) ? 0 ,得 g (1) ? g (4) 4 4
5 ] 4
……………8 分

则 b ? (ln 2 ? 2 , ?

(Ⅲ)先证:当 x ? 0 时, ln x ? x ? 1 . 令 h( x ) ? ln x ? x ? 1,h?( x ) ?

1? x ,可证 x ? (0,1) 时 h( x ) 单调递增, x ? (1, ??) 时 h( x ) 单调递 x
……………9 分

减, x ? 1 时 h( x) max ? 0 .所以 x ? 0 时, ln x ? x ? 1 . 用以上结论,由 an ? 0, 可得 ln an ? an ? 1 .

? an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ? 1 ? an ? 2 ? 2an ? 1 ,故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ……10 分
所以当 n ? 2 时, 0 ?

a ?1 an ? 1 a ?1 ? 2, ? 2, 0 ? n ?1 ? 2 ,…, 0 ? 2 a1 ? 1 an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1
………12 分

相乘得 0 ?

an ? 1 ? 2n ?1 . a1 ? 1

又 a1 ? 1, 故 an ? 1 ? 2 ,即 an ? 2 ? 1 .
n n

……………13 分

【注:若有其它解法,请酌情 给分.】


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