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【创新设】内蒙古大学附中2014版高考数学一轮复习 集合与逻辑单元能力提升训练


内蒙古大学附中 2014 版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升 训练:集合与逻辑
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列有关命题说法正确的是( )

A. " x ? ?1" 是 " x2 ? 5x ? 6 ? 0" 的必要不充分条件 B.命题 "?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0" 的否定是 "?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0" C. ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,则 cos 2 A ? cos 2 B 是 A ? B 的充要条件 D.函数 f ? x ? ? x ? sin x ? x ? R ? 有 3 个零点 【答案】C 2.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? A. [?1,??) 【答案】B 3.设 a, b ? R ,集合 {1, a} ? {0, a ? b},则 A.1 B. ? 1 【答案】A 4.下列有关命题的说法正确的是( B. [?1, 2 ] C. [ 2 ,??)

2 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
D. ?

)

b?a ?(

) D. ? 2

C.2 )

2 A. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件. 2 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. 2 2 C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 【答案】D 5.给出下面几种说法: ①两个非零向量 a =( x1 , y1 ) , b =( x2 , y2 ) ,若 a ∥ b ,则 x1 y1 ? x2 y2 ? 0 ; ②函数 f ( x) ? ln x ?

?

?

?

?

2 的零点所在的大致区间是(2,3) ; x

2 2 ③已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0 ;

④函数 y ? x ?

4 的最小值为 4。 x
) B.2 C.3 D.4

其中正确的个数为( A.1 【答案】B

1

6.命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 1 ? 0 ”的否定是( A. C. 【答案】A
2 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 2 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0

)
2 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 2 ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ?1 ? 0

B. D.

7.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?2,3, 4? , B ? ?2,5? ,则 B ? (CU A) =( A. ?5? B. ?1,, 2 5? C. ?1,, 2 3,, 4 5? D. ?

)

【答案】B 8.已知集合 M={x∈Z|-3<x<0},N={x∈Z|-1≤x≤1},则图中阴影部分表示的集合为 ( )

A.{-2} C.{-2,-1, 0} 【答案】A
2

B.{-2,- 1} D.{-2,-1,0,1}
2

9.已知全集 U=R,集合 M={y|y=x -1,x∈R},集合 N={x|y= 4-x },则 (?UM)∩N =( )

A.?x | -2 ? x ? -1? C.?x | -2 ? x ? 1?

B.?x | -2 ? x ? -1? D.?x | -2 ? x ? -1?

【答案】B 10.设集合 A ? {x x ? ?1或x ? 1}, B ? {x log2 x ? 0},则 A ? B ? ( A. )

?x | x ? ?1?

B. ?x | x ? 0? C. ?x | x ? 1? D.

?x | x ? ?1或x ? 1?
)

【答案】C 11.下列说法正确的是(

2 A. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.

2 2 B.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” .

C.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ” 的必要而不充分条件
2

D.命题“若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ”的逆否命题为真命题. 【答案】C 12.已知命题 P:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真 命题的是( ) A. (?p) ? q 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若集合 M ? y y ? x , x ? Z , N ? ? x ? R
2

B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

D. (?p) ? (?q)

?

?

? ?

3x ? 1 ? ? 1? ,则 M ? N 的真子集的个数 x ?9 ?

是 . 【答案】7 14.已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 A 是 B 的____________条 件. 【答案】必要 15.用描述法表示下图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________.

【答案】{(x,y)|-2≤x≤0 且-2≤y≤0} 16. 已知命题 “ ?x ? R ,| x ? a | ? | x ? 1|? 2 ” 是假命题, 则实数 a 的取值范围是____________. 【答案】 (??, ?3) ? (1, ??) 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 17.已知命题 p:关于 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负根 . 命题 q:关于 x 的方程 ..

4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 m 的取值范围. ? m 2 ? 4 ? 0, 2 【答案】由 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负根,则 ? , 解之得 m ? 2. ? m ? 0 ? 即命题 p : m ? 2. 由 4 x2 ? 4(m ? 2) ? 1 ? 0 无实根, 则 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 , 解之得 1 ? m ? 3 . 即命题 q: 1 ? m ? 3 . ∵ p ? q 为假, p ? q 为真,则 p 与 q 一真一假.
若 p 真 q 假, 则 ?

?m ? 2, 所以 m ≥ 3. ?m ≥ 3, 或m ≤ 1,

若 p 假 q 真, 则 ?

?m ≤ 2, 所以 1 ? m ≤ 2. ?1 ? m ? 3,

所以 m 取值范围为 m|1 ? m ≤ 2,或m ≥ 3

?

?
3

18.命题 p:关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒成立,命题 q:函数

f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围;
【答案】设 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 ,由于关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒 成立,所以函数 g ( x) 的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 ? ? 4a 2 ? 16 ? 0 ,∴

?2? a ? 2
函数 f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数,则有 3 ? 2a ? 1 ,即 a ? 1 . 由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p、q 一真一假. ① 若 p 真 q 假,则 ?

?? 2 ? a ? 2 ∴1 ? a ? 2 ; ? a ?1 ?a ? ?2 或a ? 2 ∴ a ? ?2 ; ? a ?1

② ②若 p 假 q 真,则 ?

综上可知,所求实数 a 的取值范围是{ a | 1 ? a ? 2 或 a ? ?2 }.
x ?1 19.已知命题 p:?x ? [1,3], ( ) ? m ? 1 ? 0 ,命题 q:?x ? (0, ??), mx2 ? x ? 4 ? 0 . 若

1 2

“p 且 q”为真命题,求实数 m 的取值范围.
1 1 【答案】由 ( ) x ?1 ? m ? 1 ? 0 ,知 1 ? m ? ( ) x ?1 , 2 2 1 1 ? x ? ?1,3? ,? ( ) x ?1 ?[ ,1] , 2 4 ?1 ? m ? 1 ,即 m ? 0 .

又由 mx 2 ? x ? 4 ? 0 , x ? 0 ,得 m ?
?

4? x , x2

4? x 1 1 1 1 1 1 ? 4( )2 ? ? 4( ? )2 ? ?[? , ??) , x2 x x x 8 16 16

1 , ??) 16 由“ p 且 q ”为真命题,知 p 和 q 都是真命题,

由题意, m ?[?

所以,符合题意的 m 的取值范围是 [?

1 ,0) . 16

2 2 20.已知集合 A ? x ax ? 2 x ? 3 ? 0, a ? R, x ? R , B ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,

?

?

?

?

(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并求出这个元素; (2)若 A∩B=A,求 a 的取值范围. 【答案】(1)当 a=0 时,A={x|2x+3=0,x∈R}={-

3 } ,适合题意; 2

4

当 a≠0 时,△=4-12a=0,得 a=

(2) B={-1,3} ,由 A∩B=A 得 A ? B, 当△=4-12a<0,即 a>

1 1 ,A={-3} .故所求 a 的值为 0 或 . 3 3

当 A 中只有一个元素时,由(1)可知 A ? B 不成立;

1 时,A= ? ,A∩B=A 成立; 3 1 ,解得 a=-1. a

当 A 中只有二个元素时, A=B={-1,3} ,故-1+3=- 综上所述,所求 a 的值为 a> 21.已知集合 A ? ? x ? N |

1 或 a=-1 3

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 。 6? x ?

【答案】由题意可知 6 ? x 是 8 的正约数,当 6 ? x ? 1, x ? 5 ;当 6 ? x ? 2, x ? 4 ; 当 6 ? x ? 4, x ? 2 ;当 6 ? x ? 8, x ? ?2 ;而 x ? 0 ,∴ x ? 2, 4,5 ,即 A ? ?2,4,5?;
? ?x -4x+3<0, 22.已知命题 p:2x -9x+a<0,命题 q:? 2 ?x -6x+8<0, ?
2 2

且非 p 是非 q 的充分条件求实

数 a 的取值范围. 【答案】由 q 得:Q={x|2<x<3}, ∵非 p 是非 q 的充分条件, 2 ∴非 p? 非 q 即 q? p.,设函数 f(x)=2x -9x+a,则命题 p 为“f(x)<0” . ∴q? p,利用数形结合, 2 ? ? ?f?2?≤0, ?2×2 -9×2+a≤0, ? ? 应有 即 2 ?f?3?≤0, ?2×3 -9×3+a≤0, ? ?
? ?a≤10, 解得? ?a≤9, ?

∴a≤9.

5


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