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吴中区2014届高三数学寒假作业4(数列1)


2014 届高三数学寒假作业四(数列 1)
姓名____________学号___________ 一、填空题 1.数列 ?an ? , ?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? ________. 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 9n ,则其通项 an ? ________


2

3.若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S11 ?

22? ,则 cos a6 的值为________. 3

4.已知 ? an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ________. 5.公差不为 0 的等差数列 ? an ? 中, a1 , a3 , a4 成等比数列,则该等比数列的公比为________. 6.数列 {an } 中, a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 14, a4 ? 26 ,试写出 {an } 的一个通项公式________.
? 7.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 6 , ?n ? N ,都有 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,则 a2014 ? ________.

?

8.设 {an } 为递减的等比数列,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,{a1 , a2 , a3} ? {?4, ?3, ?2, 0,1, 2,3, 4} , 那么

S10 ? ________. 1 ? q5
S6 S ? 3 ,则 9 ? ________. S3 S12

9.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 10.已知数列 {an } 的通项公式是 an ?

n 1 ,那么 ? ai ai ?1 ? ________. 2n ? 1 i ?1

11.已知不等式 x ? y ? 2 的自然数解有 (0,0),(0,1),(0, 2),(1,0),(1,1),(2,0) ,共 6 组解,不等式

x ? y ? 3 的自然数解有 10 组解.根据以上事实,可以发现,不等式 x ? y ? n 的自然数解有
________组. 12. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列结论: ① d ? 0 ; ② S11 ? 0 ; ③ S12 ? 0 ; ④ S13 ? 0 ; ⑤ S8 ? S6 ; ⑥ S9 ? S3 .

上述正确的结论的序号为________. 13. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,如果三边 a, b, c 成等差数列,那么角 B 的 最大值是________.

? an ? , 当an为偶数时, 14.已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数) , an ?1 ? ? 2 若 a3=1 ,则 m ?3an ? 1, 当an为奇数时. ?
所有可能的取值为________. 二、解答题 15.已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (1)求等差数列 {an } 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和 S n .

16.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S10 ? 55, S20 ? 210 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

an ? ,是否存在 m, k ( k ? m ? 2, k , m ? N ) ,使得 b1 , bm , bk 成等比数列.若存 an ?1

在,求出所有符合条件的 m, k 的值;若不存在,请说明理由.

17.在数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? (1)求数列 {a n } 的通项公式;

1 )an . n ?1

(2)记 bn ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 n ,试比较 bn , bn ?1 的大小; (3)不等式 an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 n ?

1 7 log a (a ? 1) ? 恒成立,求实数 a 的取值范围. 12 12

18.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且有 a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an ?1 ? 3Sn ?1 ( n ? 2 ) . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若 bn ? (2n ? 1) an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ;

) ? an ? 2 ] ( 0 ? t ? 1) (3)若 cn ? t ? lg[(2 t ,且数列 ?cn ? 中的每一项总小于它后面的项,求实
n n

数 t 的取值范围.

2014 届高三数学寒假作业四(数列 1) 参考答案
1.35; 5. 2. 2n ?10 ; 6. 2n ? 2n ? 2 ;
2

3. ?

1 ; 2

4. ?7 ; 8.

1 ; 2

7. ?1 ;

33 ; 4

9 .记 S3 ? m ,则 S6 ? 3m ,所以 S6 ? S3 ? 2m ,从而得到 S9 ? S6 ? 4m, S12 ? S9 ? 8m ,从而

S9 ? 7m, S12 ? 15m ,所以

S9 7 . ? S12 15

10.

?a a
i ?1

n

i i ?1

?

1 1 1 ? ??? 3? 5 5? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 3)
11 . 不 等 式

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ?( ? )] ? ( ? ) ? 2 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9

x ? y ? 2 的自然数解分为三类:当 x ? 0 时有 3 组,当 x ? 1 时有 2 组,当 x ? 3 时有 1 组,共计 6
组;不等式 x ? y ? 3 的自然数解分为四类:当 x ? 0 时有 4 组,当 x ? 1 时有 3 组,当 x ? 2 时有 2 组,当 x ? 3 时有 1 组,共计 10 组;不等式 x ? y ? n 的自然数解分为 n ? 1 类:当 x ? 0 时,

y ? 0,1, 2,? ,n 有 n ? 1组,当 x ? 1 时, y ? 0,1, 2,? ,n ? 1有 n 组,当 x ? 2 时有 n ? 1 组,…当

x ? n 时, y ? 0 ,有 1 组,共计 (n ? 1) ? n ? (n ? 1) ??? 2 ?1 ?

(n ? 1)(n ? 2) 组. 2

S n 是关于 n 的二次函数, 12. 画出示意图, 如右所示, 抛物线开口向下, ①正确, 对称轴方程 x ? m ,

m ? (6, 6.5) , 从 而 函 数 的 两 个 零 点 是 0 和 2m ? (12,13) , 所 以
S1 1 ? S 1 2?0 ? S ,②正确,③错误,④正确,由抛物线示意图可知, 1 3 S6 ? S7 ? S8 ,⑤错误,由对称性和 S7 ? S5 可知 S9 ? S3 ,⑥正确.所以正
确选项①②④⑥;

( a ? c) 2 a 2 ? c 2 ? b2 3a 2 ? 3c 2 ? 2ac 6ac ? 2ac 1 4 13. cos B ? ? ? ? ? , 60? 2ac 2ac 8ac 8ac 2 a 3m ? 1 1 14.当 m 是奇数时, a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 是偶数, a3 ? 2 ? ? 1 , m ? 舍去;当 m 是 2 2 3 a m a m m 偶数时, a2 ? 1 ? ,奇偶性不确定,再分类:当 是偶数时, a3 ? 2 ? ? 1,m ? 4 满 2 2 2 4 2 a2 ? c2 ?

足;当

3m m 是奇数时, a3 ? 3a2 ? 1 ? ? 1 ? 1 , m ? 0 舍去.所以 m 的所有取值只能是 4. 2 2

15.解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ? a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ? d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (2)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7) (n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ?5? ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 4, n ? 1, ? ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 16.解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d .由已知,得 2

10 ? 9 ? 10a1 ? d ? 55, ? ?2a1 ? 9d ? 11, ? a1 ? 1, ? 2 即? 解得 ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . ? 2 a ? 19 d ? 21, d ? 1, 20 ? 19 ? ? 1 ?20a ? d ? 210, 1 ? ? 2
( 2 )假设存在 m, k ( k ? m ? 2, k , m ? N ) ,使得 b1 , bm , bk 成等比数列,则 bm ? b1bk .因为
2

?

bn ?

an n 1 m k m 2 1 k ? , 所 以 b1 ? , bm ? .所以 ( .整理,得 , bk ? ) ? ? an ?1 n ? 1 2 m ?1 k ?1 m ?1 2 k ?1

k?

2m 2 2 . 因 为 k ? 0 , 所 以 ?m ? 2m ? 1? 0. 解 得 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2. 因 为 2 ? m ? 2m ? 1

m ? 2, m ? N ? ,所以 m ? 2 ,此时 k ? 8 .故存在 m ? 2, k ? 8 ,使得 b1 , bm , bk 成等比数列.

n an n ?1 方法一:∴ (n ? 1)an?1 ? nan ? 0 ,∴ ?nan ? 是以 1 为首项,0 为公差的等差数列.
17. 解: (1)∵ an ?1 ? ∴ nan ? 1 , ∴ an ?

1 . n

a a a a2 1 2 n ?1 1 ? , 3 ? , …, n ? (n ? 2) ,∴累加可得 n ? (n ? 2) a1 2 a2 3 an ?1 n a1 n 1 1 ∴当 n ? 2 时, an ? ;∵ n ? 1 时 a1 ? 1 亦满足上式. ∴ an ? . n n 1 1 1 (2) an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n ? ? ? ??? ? n ?1 n ? 2 2n 令 bn ? an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n ,∴ bn ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? ??? ? a2 n ? 2 1 1 1 1 ∴ bn ?1 ? bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? an ?1 ? ? ? ? 2n ? 2 2n ? 1 n ? 1 2(2n ? 1)(n ? 1) ∴ ?n ? 1, n ? N , bn ?1 ? bn ? 0 恒成立 1 1 7 (2) (bn ) min ? b1 ? ;∴由题意可知 log a (a ? 1) ? ? (bn )min 2 12 12 1? 5 1 ∴ log a (a ? 1) ? ?1 又 a ? 1 ;∴ 0 ? a ? 1 ? ; ∴ 1 ? a ? . 2 a 18. (1)∵ 3Sn ? 5an ? an ?1 ? 3Sn ?1 (n ? 2) ,∴ 3Sn ? 3Sn ?1 ? 5an ? an ?1 (n ? 2) ,
方法二:∴ ∴ 3an ? 5an ? an ?1 (n ? 2) ,即 2an ? an ?1 (n ? 2) ;∵ a1 ? 2 ,

1 1 1 为公比的等比数列. ∴ an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 . 2 2 2 1 n?2 (2) bn ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)( ) 2 1 ?1 1 0 11 1 n?2 ∴ Tn ? ( ) ? 3( ) ? 5( ) ? ? ? (2n ? 1)( ) , 2 2 2 2 1 1 0 11 1 2 1 Tn ? ( ) ? 3( ) ? 5( ) ? ? ? (2n ? 1)( ) n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 ? 1 2 n?2 ? ∴ Tn ? 2 ? 2 ?1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? ? (2n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 ? ( ) n ?1 1 1 1 2 ? 2 ? 2? ? (2n ? 1)( ) n ?1 ? 6 ? ( )n ?3 ? (2n ? 1)( ) n ?1 , 1 2 2 2 1? 2 1 n?4 1 n?2 1 ∴ Tn ? 12 ? ( ) ? (2n ? 1)( ) ? 12 ? (2n ? 3)( ) n ?2 . 2 2 2 n (3) cn ? nt lg t ,∵数列 ?cn ? 中的每一项总小于它后面的项,
∴ ? an ? 是以 2 为首项, ∴ cn ?1 ? cn 对 n ? N 恒成立. ∴ (n ? 1)t
*
n n ?1

lg t ? nt n lg t ,
*

∵ 0 ? t ? 1 ,∴ lg t ? 0, t ? 0 ,∴ (n ? 1)t ? n 对 n ? N 恒成立.

n n 1 * 在 n ? N 时单调递增, )min . ∵ ? 1? n ?1 n ?1 n ?1 n 1 1 ∴( )min ? , ∴ 0 ? t ? . n ?1 2 2
∴t ? (


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